初一数学

初一数学知识点总结~

第一册

第一章 有理数
1.1正数和负数
以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的书叫做负数。
以前学过的0以外的数叫做正数。
数0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界。
在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义

1.2有理数
1.2.1有理数
正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。
整数和分数统称有理数。
1.2.2数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。
注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。
⑵同一根数轴，单位长度不能改变。
一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。
1.2.3相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。
在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。
1.2.4绝对值
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
⑵两个负数，绝对值大的反而小。

1.3有理数的加减法
1.3.1有理数的加法
有理数的加法法则：
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
⑶一个数同0相加，仍得这个数。
两个数相加，交换加数的位置，和不变。
加法交换律：a＋b＝b＋a
三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
1.3.2有理数的减法
有理数的减法可以转化为加法来进行。
有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数。
a－b＝a＋(－b)
1.4有理数的乘除法
1.4.1有理数的乘法
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同0相乘，都得0。
乘积是1的两个数互为倒数。
几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
ab＝ba
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
（ab）c＝a（bc）
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
a（b＋c）＝ab＋ac
数字与字母相乘的书写规范：
⑴数字与字母相乘，乘号要省略，或用“”
⑵数字与字母相乘，当系数是1或－1时，1要省略不写。
⑶带分数与字母相乘，带分数应当化成假分数。
用字母x表示任意一个有理数，2与x的乘积记为2x，3与x的乘积记为3x，则式子2x＋3x是2x与3x的和，2x与3x叫做这个式子的项，2和3分别是着两项的系数。
一般地，合并含有相同字母因数的式子时，只需将它们的系数合并，所得结果作为系数，再乘字母因数，即
ax＋bx＝（a＋b）x
上式中x是字母因数，a与b分别是ax与bx这两项的系数。
去括号法则：
括号前是“＋”，把括号和括号前的“＋”去掉，括号里各项都不改变符号。
括号前是“－”，把括号和括号前的“－”去掉，括号里各项都改变符号。
括号外的因数是正数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
1.4.2有理数的除法
有理数除法法则：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
a÷b＝a• (b≠0)
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

1.5有理数的乘方
1.5.1乘方
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
有理数混合运算的运算顺序：
⑴先乘方，再乘除，最后加减；
⑵同级运算，从左到右进行；
⑶如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行
1.5.2科学记数法
把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学记数法。
用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n－1。
1.5.3近似数和有效数字
接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数。
精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。
从一个数的左边第一个非0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。
对于用科学记数法表示的数a×10n，规定它的有效数字就是a中的有效数字。



第二章 一元一次方程
2.1从算式到方程
2.1.1一元一次方程
含有未知数的等式叫做方程。
只含有一个未知数（元），未知数的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是数学解决实际问题的一种方法。
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
2.1.2等式的性质
等式的性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

2.2从古老的代数书说起——一元一次方程的讨论⑴
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

2.3从“买布问题”说起——一元一次方程的讨论⑵
方程中有带括号的式子时，去括号的方法与有理数运算中括号类似。
解方程就是要求出其中的未知数（例如x），通过去分母、去括号、移项、合并、系数化为1等步骤，就可以使一元一次方程逐步向着x＝a的形式转化，这个过程主要依据等式的性质和运算律等。
去分母：
⑴具体做法：方程两边都乘各分母的最小公倍数
⑵依据：等式性质2
⑶注意事项：①分子打上括号
②不含分母的项也要乘

2.4再探实际问题与一元一次方程

第三章 图形认识初步
3.1多姿多彩的图形
现实生活中的物体我们只管它的形状、大小、位置而得到的图形，叫做几何图形。
3.1.1立体图形与平面图形
长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形。此外棱柱、棱锥也是常见的立体图形。
长方形、正方形、三角形、圆等都是平面图形。
许多立体图形是由一些平面图形围成的，将它们适当地剪开，就可以展开成平面图形。
3.1.2点、线、面、体
几何体也简称体。长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。
包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。
面和面相交的地方形成线。
线和线相交的地方是点。
几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。

3.2直线、射线、线段
经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
两点确定一条直线。
点C线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。类似的还有线段的三等分点、四等分点等。
直线桑一点和它一旁的部分叫做射线。
两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。

3.3角的度量
角也是一种基本的几何图形。
度、分、秒是常用的角的度量单位。
把一个周角360等分，每一份就是一度的角，记作1；把1度的角60等分，每份叫做1分的角，记作1；把1分的角60等分，每份叫做1秒的角，记作1。
3.4角的比较与运算
3.4.1角的比较
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。类似的，还有叫的三等分线。
3.4.2余角和补角
如果两个角的和等于90（直角），就说这两个角互为余角。
如果两个角的和等于180（平角），就说这两个角互为补角。
等角的补角相等。
等角的余角相等。
本章知识结构图









第四章 数据的收集与整理
收集、整理、描述和分析数据是数据处理的基本过程。
4.1喜爱哪种动物的同学最多——全面调查举例
用划记法记录数据，“正”字的每一划（笔画）代表一个数据。
考察全体对象的调查属于全面调查。
4.2调查中小学生的视力情况——抽样调查举例
抽样调查是从总体中抽取样本进行调查，根据样本来估计总体的一种调查。
统计调查是收集数据常用的方法，一般有全面调查和抽样调查两种，实际中常常采用抽样调查的方式。调查时，可用不同的方法获得数据。除问卷调查、访问调查等外，查阅文献资料和实验也是获得数据的有效方法。
利用表格整理数据，可以帮助我们找到数据的分布规律。利用统计图表示经过整理的数据，能更直观地反映数据规律。
4.3课题学习 调查“你怎样处理废电池？”
调查活动主要包括以下五项步骤：
一、设计调查问卷
⑴设计调查问卷的步骤
①确定调查目的；
②选择调查对象；
③设计调查问题
⑵设计调查问卷时要注意：
①提问不能涉及提问者的个人观点；
②不要提问人们不愿意回答的问题；
③提供的选择答案要尽可能全面；
④问题应简明；
⑤问卷应简短。
二、实施调查
将调查问卷复制足够的份数，发给被调查对象。
实施调查时要注意：
⑴向被调查者讲明哪些人是被调查的对象，以及他为什么成为被调查者；
⑵告诉被调查者你收集数据的目的。
三、处理数据
根据收回的调查问卷，整理、描述和分析收集到的数据。
四、交流
根据调查结果，讨论你们小组有哪些发现和建议？
五、写一份简单的调查报告









第二册

第五章 相交线与平行线
5.1相交线
5.1.1相交线
有一个公共的顶点，有一条公共的边，另外一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角。
两条直线相交有4对邻补角。
有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。
两条直线相交，有2对对顶角。
对顶角相等。
5.1.2
两条直线相交，所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
注意：⑴垂线是一条直线。
⑵具有垂直关系的两条直线所成的4个角都是90。
⑶垂直是相交的特殊情况。
⑷垂直的记法：a⊥b，AB⊥CD。
画已知直线的垂线有无数条。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

5.2平行线
5.2.1平行线
在同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线互相平行，记作：a∥b。
在同一平面内两条直线的关系只有两种：相交或平行。
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
5.2.2直线平行的条件
两条直线被第三条直线所截，在两条被截线的同一方，截线的同一旁，这样的两个角叫做同位角。
两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，截线的两侧，这样的两个角叫做内错角。
两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，截线的同一旁，这样的两个角叫做同旁内角。
判定两条直线平行的方法：
方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：同位角相等，两直线平行。
方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行。
方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
5.3平行线的性质
平行线具有性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做着两条平行线的距离。
判断一件事情的语句叫做命题。
5.4平移
⑴把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等。
图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。


第六章 平面直角坐标系
6.1平面直角坐标系
6.1.1有序数对
有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对。
6.1.2平面直角坐标系
平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴取2向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面上的任意一点都可以用一个有序数对来表示。
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分为了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。
6.2坐标方法的简单应用
6.2.1用坐标表示地理位置
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：
⑴建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
⑵根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
⑶在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
6.2.2用坐标表示平移
在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）（或（x－a，y））；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）（或（x，y－b））。
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。

第七章 三角形
7.1与三角形有关的线段
7.1.1三角形的边
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
三角形两边的和大于第三边。
7.1.2三角形的高、中线和角平分线
7.1.3三角形的稳定性
三角形具有稳定性。
7.2与三角形有关的角
7.2.1三角形的内角
三角形的内角和等于180。
7.2.2三角形的外角
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
7.3多边形及其内角和
7.3.1多边形
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
n边形的对角线公式：
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
7.3.2多边形的内角和
n边形的内角和公式：180（n－2）
多边形的外角和等于360。
7.4课题学习 镶嵌

第八章 二元一次方程组
8.1二元一次方程组
含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程叫做二元一次方程
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
8.2消元
由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含有另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
8.3再探实际问题与二元一次方程组

第九章 不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.1不等式及其解集
用“＜”或“＞”号表示大小关系的式子叫做不等式。
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式解的集合，简称解集。
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
9.1.2不等式的性质
不等式有以下性质：
不等式的性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
不等式的性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
9.2实际问题与一元一次不等式
解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x＝a的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x＜a（或x＞a）的形式。
9.3一元一次不等式组
把两个不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。
几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式的解集。解不等式就是求它的解集。
对于具有多种不等关系的问题，可通过不等式组解决。解一元一次不等式组时。一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。
9.4课题学习 利用不等关系分析比赛

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数学术语
[编辑本段]
集合的概念

一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。如（1）阿Q正传中出现的不同汉字（2）全体英文大写字母。任何集合是它自身的子集.

元素与集合的关系：
元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

集合的分类:
并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
交集： 以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}
差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集）
注:空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”.

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集，任何集合是它本身的子集，子集，真子集都具有传递性。
『说明一下：如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素，则 A 称作是 B 的子集，写作 A ⊆ B。若 A 是 B 的子集，且 A 不等於 B，则 A 称作是 B 的真子集，写作 A ⊂ B。
所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』

集合的性质：
确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。
互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}。
无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。
集合有以下性质：若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B

集合的表示方法：常用的有列举法和描述法。
1.列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}
2.描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0<x<π}
3.图式法：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。

常用数集的符号：
（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N
（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+（或N*）
（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z
（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q
（5）全体实数的集合通常简称实数集，记作R
（6）复数集合计作C

集合的运算：
1.交换律
A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
2.结合律
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
3.分配律
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

2德.摩根律
Cs(A∩B)=CsA∪CsB
Cs(A∪B)=CsA∩CsB

3“容斥原理”
在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a,b,c}，则card(A)=3

card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)
1985年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。

吸收律
A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A
求补律
A∪CsA=S
A∩CsA=Φ

[标题] 集合

浙江苍南龙港高级中学 陈啸游

教学目标

1.初步理解集合概念及其表示法，按指定的方法表示一些集合.

2.理解集合中元素的性质.

3.培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.

教学重点与难点

教学重点是集合概念及其表示法.教学难点是正确理解集合概念.

教学过程设计

师：初中时我们已学习了哪些基本数集?

生：自然数集、整数集、有理数集、实数集等.

师：当时是如何给出这些概念的，例如自然数集?

生：自然数的全体组成自然数集.

师：如何表示自然数集?

生：在椭圆圈内填上一些自然数，点上三点，在圈下写上"自然数集"，用此形式表示自然

数集.

师：初中已学过的数集就是今天要学习的"集合"中的一种.(板书课题：1.1集合(一))

(温故而知新，以旧带新，便于引导学生在已有的知识基础上去探求新知识，使学生对出现

的概念不至于感到突然，符合学生的认识规律.)

师：上述每一个数集中的数是否确定?即是否有着明确的标准判断任何一个对象在或不在该

数集中?如2，-2是否在自然数集合中?

生：2在自然数集中，而-2不在.说明数集中的无素是确定的.

师：由上可知，任给一个数可以确定它要么在该数集中，要么不在该数集中，两者必居其一

.这些在数集中的每一个数叫做数集中的元素.数集中的元素必须具有确定性，这是数集中

元素的一个特性.

(启发学生对已有的知识进行深入分析、提炼，使潜在的特性昭之于世.)

师：非常大的一些自然数能形成一个数集吗?为什么?

生：(议论后)不能.因为非常大的自然数有多大不知道，不具有确定性.

(通过正反两方面的例子，使学生在对比中明确数集中元素的特性之一--确定性的重要性

.)

师：上述所讲都是一些数构成的集合，那么，只有数才能形成集合吗?其实不然，构成集合

的元素只要具有确定性即可.

(通过分析数集中元素的特征展开联想、分析、探索，为集合概念引入由特殊到一般进行铺

垫.)

师：回答下列每组对象是否确定?对象是什么?

例1 下列对象是否构成集合?对象的属性是什么?有多少对象?

(1)所有的直角三角形.

(2)与一个角的两边距离相等的所有的点.

(3)

(4)本校高一学生(420)名.

(5)本班第一小组12人中共有5个姓氏：李、陈、黄、张、明.

生：每组对象都能确定，按题号依次是：一些图形，一些点，一些整式，一些人，一些姓氏.

师：上述每一组对象都能予以确定，我们就认为每一组对象的全体形成一个集合(简称集).

集合里的各个对象叫做这个集合的元素.

(由特殊到一般得出集合的描术性概念，使数集的概念拓宽了.)

师：你认为上述五个集合中的元素种类是否受限制?

生：集合中的元素种类可以是任意的，没有限制.

师：对.集合中的元素具有"任意性"是集合元素的又一特性.只要集中元素具有确定性即

可.

(及时总结是人类进步的原因，也是数学工作者的工作手段.)

师：大家对上述集合进行观察，每一个集合的元素是什么?元素个数各具什么特征?

生：(1)中的元素是直角三角形，有无数多个.

(2)中的元素是点，也有无数多个.

(3)中的元素是整式，有4个.

(4)中的元素是学生，有420个.

(5)中的元素是姓氏，有5个.

师：回答正确.其个数特征是：类似于(1)、(2)中的集合，含有无限个元素，具有这种特征

的集合我们称为无限集；类似于(3)、(4)、(5)中的集合，含有有限个元素，具有这种特征

的集合叫有限集.

(通过问题得出概念，使学生在问题中牢记概念的实质.)

师：请各举一个有限集、无限集的例子.

生：(回答)……

师：你认为(5)中集合的元素个数为什么不是12个而只有5个?

(再一次通过提问去揭示集合的又一特性.)

生：因为有些姓氏相同.

师：从(5)中你认为集合的元素能重复吗?

生：不能.

师：由此可见，集合中的元素应该分别表示不同的对象，而相同的对象归入某一个集合时，

只能算作集合的一个元素.集合中元素无重复现象，即元素的"互异性"是集合的又一特性.

师：上述姓氏集合是由陈、李、黄、张、明五个元素组成的，能否说由陈、李、黄、张、明

姓氏组成的集合与由明、张、黄、李、陈姓氏组成的集合是同一个集合?

生：应该是同一个集合

师：集合中元素的这一特性我们称其为"无序性".综合上述，集合中的元素有几个特性?

性：确定性、互异性、无序性、任意性.

(通过设问，及时归纳、总结，有利于学生掌握知识.)

师：上面研究了集合的概念及关集合中元素的性质，下面我们一起将集合表示出来.

(承上启下一语带出需解决的问题.)

师：初中我们是如何表示数集的?

师：这种表示集合的方法即为图示法.此外，还有一种表示法是将所有元素一一列出，写在

大括号内，称为列举法.

(顺手牵羊，自然产生.)

例如上述(3)之集合可表示 为｛ ｝.请同学们用此法表示(5)之合生：｛明、陈、张、黄、李｝.

师：你能用列举法写出(4)之集合吗?

生：能.只要将全校高一学生名字一一列在大括号内就能做到，但很麻烦.

师：你能用列举法写出自然数集合吗?

(上述两问为描述法表示集合设下埋伏.)

生：能.即｛1，2，3，…｝

师：是否所有的集合，其元素都能无遗漏地一一列举出来呢?例如(1)、(2)中的集合.

(将集合中所有元素表示出来这个难点给予学生，使学生明白只有列举法是不够的.)

生：(议论后)很难表示.

师：有一些集合，其元素不能无遗漏地一一列举出来，或不便于、不需要一一列举出来，这

就要根据其属性来确定集合的元素.这样的集合表示法可采用另一方法：把集合中元素的公

共属性描术出来，写在大括号内.这种表示集合的方法叫描述法.此时往往在大括号内先写上这

个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线右边写上这个集合的元素的公共属性.如

，集合(1)可表为｛x｜x是直角三角形｝，集合(2)可表为｛x｜x是到角两边距离相等的点｝.

在不致于引起混淆的情况下，用描述法表示集合还可以有简单的形式.如集合(1)可表示为

｛直角三角形｝，集合(2)可表示为｛到角两边距离相等的点｝.

(适当注入也是需要的.)

例2 用描述法表示下列集合.

(1)x-3＞2的所有解.

(2)抛物线y= +1上所有的点.

(3)直角坐标系下第一象限的点.

(通过练习使学生初步掌握描述法表示集合)

生甲：第(1)题为｛x｜x-3＞2｝.

生乙：第(2)题为｛y｜y= +1｝.

生丙：第(3)题为｛点｜点在第一象限｝.

师：第(2)题的表示对吗?抛物线上的点是y值吗?

生：｛(x，y)｜y= +1｝.

师：第(3)题用描述法能表示得更清楚吗?

生：｛(x，y)｜x＞0，y＞0｝.

师：由上可知，集合的表示有列举法、描述法和图示法.你认为什么情况下用列举法方便?

描述法呢?

生：若元素个数较少或元素有明显的规律性，则采用列举法；若有些集合不能用列举法，或

表示起来不大方便时则用描述法.

(通过这一回答，让学生明白两种方法使用的场合，同时培养学生的概括能力.)

练习1 下列表示的集合或叙述正确否?为什么?

(1)｛x｜x是美丽的小鸟｝

(2)｛1，1，2｝.

(3)｛1，2｝与｛2，1｝是同一个集合.

(4)｛1，2｝与｛1，2｝是同一个集合，集合中都有两个元素.

(5)｛(x，y)｜x+y=1｝就是｛x+y=1｝.

生：(1)中对象--"美丽的小鸟"不能构成集合.因集合中的元素须具有确定性，而美丽

的标准是不确定的.

(2)的表示不正确.因集合中的元素必须是互异的.应写成｛1，2｝.

(3)的叙述是正确的，因集合中元素排列是无序的.

(4)是错误的叙述.这两个集合中，集合｛1，2｝含二个元素，而集合｛1，2｝中含一个元

素.

(5)也是错误的叙述.｛(x，y)｜x+y=1｝是无限集，表示直线上的许多点，而)｛x+y=1｝表

示有限集，只有一个元素.错误在于描述法的代表元没写.另一个错因在于对描述法的省略形式何时适用还不清楚.

(通过正反练习，使学生对所学的集合的概念、元素的特征及用描述法、列举法表示集合的

方法更加巩固.)

练习2 用列举法表示下列集合：

(1)绝对值小于4的非正的整数.

(2)所有的正偶数.

(3)ɑ-b，ɑ+b，

生：

(1)｛-3，-2，-1，0｝.

(2)｛2，4，6，8，10，…｝.

(3)｛ɑ-b，ɑ+b， ｝.

(通过上述列举法表示集合的练习，巩固不同类型的列举法的表示方法，使之明白，不仅有

限集可用列举法表示，有规律的无限集也可用列举法表示.)

练习3 用描述法表示下列集合.

(1)平方等于1的数.

(2)方程 -3x+2=0的解.

(3)抛物线y= 上的点.

生：

(1)｛x｜ =1｝.

(2)｛x｜ -3x+2=0｝.

(3)｛(x，y)｜y= ｝.

(通过此例让学生掌握由描述法表示集合的不同类型：序对集、点集、数集或有限集、无限

集的表示方法.)

师：(小结)本节课学习了一始(原始概念)，二集(有限集、无限集)，三法(描述法、列举法

、图示法)，四性(确定性、互异性、无序性、任意性).

作业

1.用列举法表示课本P4练习的第1，3，4，6题中的集合.

2.用描述法表示课本P4练习的第6，7，9题中的集合.

思考题：

1.任何一个集合是否都可用两种方法表示?两种方法各有什么优缺点?

2.用列举法表示集合)｛(x，y)｜x+y=2，x，y是自然数｝.

3.用描述法表示集合｛1， ｝.

答案

1.略.

2.｛(1，1)｝.

3.｛x｜x= ，n是小于6的自然数｝.

课堂教学设计说明

1.本教案需用两课时完成.第一课时以初中学过的数集为导入，通过对于数集的深入分析和

延拓，自然引入了集合的概念.通过对几个例子的内含揭示集合中元素的几个特性，加深对

集合概念的理解.而集合的表示法则通过比较、分析，分别介绍了列举法和描述法.描述法

较难掌握，先初步介绍，然后在第二课时重点解决，使学生掌握之.第二课时重点解决用描

述法表示集合及两种方法表示的适用场合，且能灵活运用.另外掌握元素与集合的关系、符

号及常用数集符号.

2.本节课能力培养侧重放在培养分析、比较、归纳的逻辑思维能力上.

3.这节课集合中元素的有关特性在课本上虽没有直接指出，但课本中都有举例，教师的作用

在于启发学生揭示其实质，并归纳为"四性".
参考资料：http://www.edu.ganyu.org/teachresource/show.asp?key=2085

大括号,最前端是元素(字母) 如 X ,字母后加一个竖线:"|", 然后添加对元素X进行描述(限制范围) 如 X∈R 其中R表示任意实数(这个会单学) "∈"表示属于,属于号后加一个范围.
{ X | X∈R }

高中对解集用集合来表示非常重视,
假如解出不等式 2 < X < 4 就这样把结果放在那里是要扣分的.
正确的答案(答案不唯一,因为描述方法不唯一)应该是 { X | 2 < X < 4 }
或{ X | X∈(2,4) } 其中(2,4)表示区间.这个学集合后单讲吧

一个数<X<一个数
例如：2<x<4

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