两个数的和、两个数的积

两个数之和是2的两倍,且两个数之积也是2的两倍,两数之和的立方是多少？~

可设两数为x y

则x+y=4
xy=4
可解x=y=2
所以 2+2=4 4*4*4=64

思路：使用for循环，用减法得到两个数之后，验证乘法是否符合要求，符合则输出，不符合则跳过该循环。程序源码及运行结果如下所示（程序排版系统会自动去掉句首空格，结构混乱请见谅）：
#include
int main()
{
int sum,product;
printf("请输入两数之和：");
scanf("%d",&sum);
printf("请输入两数之积：");
scanf("%d",&product);
for(int i=0;i<=sum/2;i++)
{
if(i*(sum-i)==product)
{
printf(“两数是%d和%d”,i,sum-i);
}
}
printf("结束！");
return 0;
}

4和13
（下面的解法有点道理）

解题思路1：

假设数为 X,Y;和为X+Y=A,积为X*Y=B.
根据庞第一次所说的：“我肯定你也不知道这两个数是什么”。由此知道，X+Y不是两个素数之和。那么A的可能11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,95,97.
我们再计算一下B的可能值：
和是11能得到的积:18,24,28,30
和是17能得到的积:30,42,52,60,66,70,72
和是23能得到的积:42,60...
和是27能得到的积:50,72...
和是29能得到的积:...
和是35能得到的积:66...
和是37能得到的积:70...
......
我们可以得出可能的B为....，当然了，有些数（30=5*6=2*15）出现不止一次。

这时候，孙依据自己的数比较计算后，“我现在能够确定这两个数字了。”
我们依据这句话，和我们算出来的B的集合，我们又可以把计算出来的B的集合删除一些重复数。

和是11能得到的积:18,24,28
和是17能得到的积:52
和是23能得到的积:42,76...
和是27能得到的积:50,92...
和是29能得到的积:54,78...
和是35能得到的积:96,124...
和是37能得到的积:,...
......
因为庞说：“既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。”那么由和得出的积也必须是唯一的，由上面知道只有一行是剩下一个数的，那就是和17积52。 那么X和Y分别是4和13。

解题思路2：

说话依次编号为S1，P1，S2。
设这两个数为x，y，和为s，积为p。
由S1，P不知道这两个数，所以s不可能是两个质数相加得来的，而且s＜＝41，因为如果s＞41，那么P拿到41×（s－41）必定可以猜出s了（关于这一点，参考老马的证明，这一点很巧妙，可以省不少事情）。所以和s为{11，17，23，27，29，35，37，41}之一，设这个集合为A。
1).假设和是11。11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，如果P拿到18，18＝3×6＝2×9，只有2＋9落在集合A中，所以P可以说出P1，但是这时候S能不能说出S2呢？我们来看，如果P拿到24，24＝6×4＝3×8＝2×12，P同样可以说P1，因为至少有两种情况P都可以说出P1，所以A就无法断言S2，所以和不是11。
2).假设和是17。17＝2＋15＝3＋14＝4＋13＝5＋12＝6＋11＝7＋10＝8＋9，很明显，由于P拿到4×13可以断言P1，而其他情况，P都无法断言P1，所以和是17。
3).假设和是23。23＝2＋21＝3＋20＝4＋19＝5＋18＝6＋17＝7＋16＝8＋15＝9＋14＝10＋13＝11＋12，咱们先考虑含有2的n次幂或者含有大质数的那些组，如果P拿到4×19或7×16都可以断言P1，所以和不是23。
4).假设和是27。如果P拿到8×19或4×23都可以断言P1，所以和不是27。
5).假设和是29。如果P拿到13×16或7×22都可以断言P1，所以和不是29。
6).假设和是35。如果P拿到16×19或4×31都可以断言P1，所以和不是35。
7).假设和是37。如果P拿到8×29或11×26都可以断言P1，所以和不是37。
8).假设和是41。如果B拿到4×37或8×33，都可以断言P1，所以和不是41。
综上所述：这两个数是4和13。

解题思路3：

孙庞猜数的手算推理解法

1)按照庞的第一句话的后半部分，我们肯定庞知道的和S肯定不会大于54。

因为如果和54恰好是53和a，那么孙知道的积M就是M=53*a，于是孙知道，这原来两个数中至少有
一个含有53这个因子，因为53是个素数。可是小于100，又有53这个因子的，只能是
53本身，所以孙就可以只凭这个积53*a推断出这两个数术53和a。所以如果庞知道的
S大于54的话，他就不敢排除两个数是53和a这种可能，也就不敢贸然说“但是我肯定
你也不知道这两个数是什么”这种话。

如果53+99
如果S=98+99，那么庞可以立刻判断出，这两个数只能是98和99，而且M只能是98*99，
孙也可以知道这两个术，所以显然不可能。

2)按照庞的第一句话的后半部分，我们还可以肯定庞知道的和S不可以表示为两个素数的和。

否则的话，如果鬼谷子选的两个数字恰好就是这两个素数，那么孙知道积M后，就可以得到唯一的素因子分解，判断出结果。于是庞还是不敢说“但是我肯定你也不知道这两个数是什么”这种话。

根据哥德巴赫猜想，任何大于4的偶数都可以表示为两个素数之和，对54以下的偶数，猜想肯定被验证过，所以S一定不能是偶数。

另外型为S=2+p的奇数，其中p是奇素数的那些S也同样要排除掉。

还有S=51也要排除掉，因为51=17+2*17。如果鬼谷子选的是(17,2*17)，那么孙知道
的将是M=2*17*17，他对鬼谷子原来的两数的猜想只能是(17,2*17)。（为什么51要单独拿出来，要看下面的推理）

3)于是我们得到S必须在以下数中：
11 17 23 27 29 35 37 41 47 53

另外一方面，只要庞的S在上面这些数中，他就可以说“但是我肯定你也不知道这两个
数是什么”，因为这些数无论怎么拆成两数和，都至少有一个数是合数（必是一偶一
奇，如果偶的那个大于2，它就是合数，如果偶的那个等于2，我们上面的步骤已经保
证奇的那个是合数），也就是S只能拆成
a) S=2+a*b 或 b) S=a+2^n*b
这两个样子，其中a和b都是奇数，n>=1。
那么（下面我说的“至少两组数”中的两组数都不相同，而且的确存在（也就是那些
数都小于100）的理由我就不写了，根据条件很显然）
a)或者孙的M=2*a*b，孙就会在(2*a,b)和(2,a*b)至少两组数里拿不定主意（a和
b都是奇数，所以这两组数一定不同）；
b)或者M=2^n*a*b，
如果n>1，那么孙就会在(2^(n-1)*a,2*b)和(2^n*a,b)至少两组数里拿不定主意；
如果n=1，而且a不等于b，那么孙就会在(2*a,b)和(2b,a)至少两组数里拿不定主
意；
如果n=1，而且a等于b，这意味着S=a+2*a=3a，所以S一定是3的倍数，我们只要
讨论S=27就可以了。27如果被拆成了S=9+18，那么孙拿到的M=9*18，他就会在
(9，18)和(27,6)至少两组数里拿不定主意。
（上面对51的讨论就是从这最后一种情况的讨论发现的，我不知道上面的论证是否
过分烦琐了，但是看看51这个“特例”，我怀疑严格的论证可能就得这么烦）

现在我们知道，当且仅当庞得到的和数S在
C={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}
中，他才会说出“我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数
是什么”这句话

孙膑可以和我们得到同样的结论，他还比我们多知道那个M。

4)孙的话“我现在能够确定这两个数字了”表明，他把M分解成素因子后，然后组合成
关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想中，有且仅有一个猜想的和在C中。否则的话，他
还是会在多个猜想之间拿不定主意。

庞涓听了孙的话也可以得到和我们一样的结论，他还比我们多知道那个S。

5)庞的话“我现在也知道这两个数字是什么了”表明，他把S拆成两数和后，也得到了
关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想，但是在所有这些拆法中，只有一种满足4)里的
条件，否则他不会知道究竟是哪种情况，使得孙膑推断出那两个数来。

于是我们可以排除掉C中那些可以用两种方法表示为S=2^n+p的S，其中n>1，p为素数。
因为如果S=2^n1+p1=2^n2+p2，无论是(2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这两种情况，孙膑都
可以由M=2^n1*p1或M=2^n2*p2来断定出正确的结果，因为由M得到的各种两数组合，
只有(2^n,p)这样的组合，两数和才是奇数，从而在C中，于是孙膑就可以宣布自己知道
了是怎么回事，可庞涓却还得为(2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这两种情况犯愁。

因为11=4+7=8+3，23=4+19=16+7，27=4+23=16+11，35=4+31=16+19，37=8+29=32+5，
47=4+43=16+31。于是S的可能值只能在
17 29 41 53
中。让我们继续缩小这个表。

29不可能，因为29=2+27=4+25。无论是(2,27)和(4,25)，孙膑都可以正确判断出来：
a)如果是(2,27)，M=2*27=2*3*3*3，那么孙可以猜的组合是(2,27)(3,18)(6,9)，
后面两种对应的S为21和15，都不在C中，故不可能，于是只能是(2,27)。
b)如果是(4,25)，M=4*25=2*2*5*5，那么孙可以猜的组合是(2,50)(4,25)(5,20)
(10,10)。只有(4,25)的S才在C中。
可是庞涓却要为孙膑的M到底是2*27还是4*25苦恼。

41不可能，因为41=4+37=10+31。后面推理略。

53不可能，因为53=6+47=16+37。后面推理略。

研究一下17。这下我们得考虑所有17的两数和拆法：
(2,15)：那么M=2*15=2*3*5=6*5，而6+5=11也在C中，所以一定不是这个M，否则4)
的条件不能满足，孙“我现在能够确定这两个数字了”的话说不出来。
(3,14)：那么M=3*14=2*3*7=2*21，而2+21=23也在C中。后面推理略。
(4,13)：那么M=4*13=2*2*13。那么孙可以猜的组合是(2,26)(4,13)，只有(4,13)
的和在C中，所以这种情况孙膑可以说4)中的话。
(5,12)：那么M=5*12=2*2*3*5=3*20，而3+20=23也在C中。后面推理略。
(6,11)：那么M=6*11=2*3*11=2*33，而2+33=35也在C中。后面推理略。
(7,10)：那么M=7*10=2*5*7=2*35，而2+35=37也在C中。后面推理略。
(8,9)：那么M=8*9=2*2*2*3*3=3*24，而3+24=27也在C中。后面推理略。

于是在S=17时，只有(4,13)这种情况，孙膑才可以猜出那两数是什么，既然如此，庞涓就知道这两个数是什么，说出“我现在也知道这两个数字是什么了”。听了庞涓的话，于是我们也知道，这两数该是(4,13)。

参考答案：

这两个数字是4和13。原因同上。

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试题拓展：

你有>1并且<30的两个不同的数字只把和告诉甲，然后只把积告诉乙。
甲对乙说：“我不知道这两个数字是什么，但你也肯定不知道。”
乙就说了：“我本来不知道的，你这么一说，我就知道两个数字是什么了。”
甲于是说：“现在我也知道了!”
请问这两个数字是分别是什么？ （答案：4和13。）

甲是2数的和，不可能知道这两个数
乙开始不知道，而当甲说完后，乙知道这2个数，只可能是这样，就是这2个数的乘积是有3个数组成，而这3个数只有2种组合！如乙的数为（2*2*3或者3*3*5）

甲不知道，而乙说完后知道，说明甲的数只能拆成某个数的平方和另外一个与该数互质的数

只能拆成某个数的平方，那么这个数必须是2，因为 3 的话，就可以拆成3的平方和另外一个数，可能性就很多
所以其中一个就是4，另外一个是3
给甲的数是7，给乙的是12

2和98好象把

4和25

这个。。。
这是什么题啊？
这个也有答案？
你怎么排出来的？
把答案告诉我吧

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茂名市18532268126： 两个数的和等于两个数积 - ？
龙疤安尼： 无法求出a、b具体值 只能求出a=b/(b-1) 然后只要a、b不等于1 都能成立

茂名市18532268126： 两个数的和与两个数的积相等.求等式 - ？
龙疤安尼：[答案] xy=x+y x(y-1)=y x=y/(y-1) 只要满足 x=y/(y-1)即可 所以y除了不能取1外 其他的数都可以取,然后根据x=y/(y-1) 即可算出对应的x 但如果该题限制x,y必须为正整数 则能使得x=y/y-1为正整数 且y为正整数的xy只有一对(2,2)

茂名市18532268126： 求两个数的和等于两个数的积 要有正和负数 - ？
龙疤安尼：[答案] 这个很简单设这个数为X 那么X的平方=2X 不难看出,结果是 0 或者 2 2+2=2*2=4 0+0=0*0=0

茂名市18532268126： 两个数的和与两数的积都是非零整数,这两个数是不是也是整数?? - ？
龙疤安尼： 两个数的和是非零整数,这两个数要么都是整数;要么是位数相同的小数,且最低位相加一定要等于10,在1+9、2+8、3+7、4+6、5+5相加等于10的数组中,没有相乘之后得到整十的,这样这两个数的积不可能得到整数.两个数的和与两数的积都是非零整数,这两个数一定也是整数.

茂名市18532268126： 两个数的积等于这两个数的和的数 - ？
龙疤安尼：[答案] 2,2 0,0

茂名市18532268126： 两个数的和等于积两个数的和等于几 - ？
龙疤安尼： a+b=ab ab-a-b+1=1(a-1)(b-1)=1 a-1=1 b-1=1 a=2,b=2 a+b=2+2=4 或 a=b=0 a+b=0

茂名市18532268126： 两个数的和一定大于两个数的积.___(判断对错) - ？
龙疤安尼：[答案] 2+9=11 2*9=18 两个数的和小于两个数的积,所以两个数的和一定大于两个数的积.错误. 故答案为:*.

茂名市18532268126： 两个数相加的和一定比这两个数相乘的积小对吗? - ？
龙疤安尼： 两个数相加的和一定比这两个数相乘的积小.(*) 如:1+2=3 1*2=2 两个数的和>两个数的乘积

茂名市18532268126： 初中数学里面有个两个数的和比如是b,两个数的积比如说是c,该怎么设一元二次方程呢,能不能具体说明一下 - ？
龙疤安尼：[答案] 假设x1+x2=b .(1) x1*x2=c .(2) 则(1)可变形为 x1=b-x2 .(3) 将(3)代入(2)得 (b-x2)*x2=c .(4) 将(4)变为一般形式即可

茂名市18532268126： 两个数的和等于两个数的积 - ？
龙疤安尼： 很多啊a * b - a - b = 0(a - 1)(b - 1) = 1任意一个n(1/n + 1, n + 1) 都是一组解如果a b 是整数,那只有 (0, 0) (2, 2)有没有其他限制条件啊