高数求解常系数非齐次线性微分方程的一个小问题

大一高数，常系数非齐次线性微分方程，求解~

先求y''+y=0的通解，其特征方程为
r²+r=0，得r=±i
故通解为y=C1 cosx+C2 sinx
因为i是特征根，故设y''+y==2cosx的特解为
y*=x(a cosx+b sinx)
则y*'=a cosx+b sinx+x(-a sinx+b cosx)
=(a+bx)cosx+(b-ax)sinx
y*''=bcosx-(a+bx)sinx-asinx+(b-ax)cosx
=(2b-ax)cosx-(2a+bx)sinx
代入原方程得
2b cosx-2a sinx=2cosx
得a=0，b=1
故y*=x sinx
故原方程的通解为y=C1 cosx+C2 sinx +xsinx

特征方程 r^2 + r - 2 = 0 特征根 r1 = 1, r2 = -2
y"+y'-2y=0 的通解y= C1 e^x + C2 e^(-2x)
原方程特解设为 y* = x ( Ax+B) e^x
y* ' = . y * '' = .
代入原方程, 确定 A=1 B=-4/3
原方程通解为 y = C1 e^x + C2 e^(-2x) + (x²-4x/3) e^x

可以看高数上的课本，有详细解释。
e的λ次方为1，λ就为0，解中有一个解和λ的值相同，所以为单根。课本上的写法就是设齐次的特解，把特解带入非齐次方程，求出未知数C1C2之类的

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资源县15875947157： 求解二阶常系数非齐次线性微分方程的通解,详解,谢谢! - ？
黎艳独活： 特征方程 2r^2+r-1=0 (2r-1)(r+1) r=1/2,r=-1 所以齐次通解 y=C1e^(x/2)+C2e^(-x) 设特解为y=ae^x y'=y''=y=ae^x 代入原方程得 2ae^x+ae^x-ae^x=2e^x a=1 因此特解y=e^x 因此非齐次通解是y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)+e^x

资源县15875947157： 如何求解常系数的非齐次线性微分方程 - ？
黎艳独活： 先用特征根法求对应的齐次线性方程的通解,再设特解,用待定系数法求出一个特解,处理一下,即可求出非齐次线性微分方程的通解.

资源县15875947157： 常系数非齐次线性微分方程的通解怎么求啊? - ？
黎艳独活：[答案] 常系数非齐次线性微分方程的通解==常系数齐次线性微分方程的通解++ 常系数非齐次线性微分方程的的一个特解.例如:y' + y = 1 (1)(1)的齐次方程:y' + y = 0 (2)y(t) = Be^(st) s = - 1y(t) = Be^(-t) (1)的一个特y...

资源县15875947157： 常系数非齐次线性微分方程的特解设法? - ？
黎艳独活：[答案] 同济第六版《高等数学》上册p343-344.有很清晰的推导过程. 简单说就是把f(x)变成负数的形式后,是e的指数形式,然后设特解是e的指数形式,最后还原到实数域后就成了现在的形式.

资源县15875947157： 求二阶常系数非齐次线性微分方程y'' - 4y'+3y=2e∧(2x) 的通解 求大神解答!万分感谢! - ？
黎艳独活： -4y',所以(λ-1)(λ-3)=0,C2为任意常数)设y':y=C1e^x+C2e^(3x) -2e^(2x),C2为任意常数) -------------------- (代入原方程验证,(C1;+3y=2e^(2x)则[2ae^(2x)+2ae^(2x)+4(ax+b)e^(2x)]-4ae^(2x)+2(ax+b)e^(2x)]+3[(ax+b)e^(2x)]=2e^(2x) 整理:λ²...

资源县15875947157： 高数求二阶非齐次常系数全微分方程 - ？
黎艳独活： 先求齐次方程y''+4y'+4=0的通解 y=(C1+C2x)e^-2x 因为y'(0)=y(0)=0,所以C1=0,C2=0 再求特解y* y*=cos2x 方程y''+4y'+4=cos2x的特解 y=cos2x

资源县15875947157： 常系数非齐次线性微分方程的常数变易法,是否在解齐次线性微分方程的特解时用到了特征根法?或者说特征根 - ？
黎艳独活： 特征根法是解决常系数线性微分方程的常用方法.这是因为,对指数函数求导数时,结果是指数函数乘一个常数因子.例如: (e^(ax))'=a e^(ax). 因此,方程y'=ay的一个解就是y=C e^(ax). 特征方程是k=a. 假设特征方程是(k-a)(k-b)=0. 对应微分方程是y''-(a+b)y'+aby=0. 设z=y'-by,则 z'-az=0, 按照前面的讨论,可知z=C1 e^(az), y'-by=C1 e^(az), 齐次解为y=C2 e^(bx). 通解为y=C2 e^(bx)+C3 e^(ax). 只要求出特征方程的根,就能得出方程解. 这就是特征根法的来历.

资源县15875947157： 求二阶常系数非齐次线性微分方程y＂ - y' - 2y=x的特解 - ？
黎艳独活：[答案] 齐次方程y''-y'-2y=0的特征方程:r^2-r-2=0 (r-2)(r+1)=0 r1=2 r2=-1 以上齐次方程y=c1e^(2x)+c2e^(-x) 方程右边f(x)e^(入x)=xe^(0x) 入=0不是特征方程的根. 故设y=ax+b (因为x是一次的) y'=a y''=0代入原方程y''-y'-2y=x 0-a-2(ax+b)=x -2ax+b-a=x -2a=1 a=-...

资源县15875947157： 高等数学.常数变易法求常系数非齐次线性微分方程的解 - ？
黎艳独活： y''+y=e^x+cosx,① y''+y=0的通解是y=c1cosx+c2sinx, y=(1/2)e^x+(1/2)xsinx是①的特解, ∴y=c1cosx+c2sinx+(1/2)(e^x+xsinx)是①的通解.

资源县15875947157： 求常系数非齐次线性微分方程的解.....对于这类题,如何设特解? - ？
黎艳独活： 你说的是二阶常系数非齐次线性微分方程吧,高数里面只对二阶的作了一些介绍,其一般形式为:y''+py'+qy=f(x),其中p、q为常数,这种微分方程f(x)要分两种形式,第一种形式又要分三种形式,要一一介绍恐怕我用手机一晚上也介绍不完!方便的话,建议你看高数课本(第六版 上册 同济大学数学系编 ).