高数求解常系数非齐次线性微分方程的一个小问题
先求y''+y=0的通解,其特征方程为
r²+r=0,得r=±i
故通解为y=C1 cosx+C2 sinx
因为i是特征根,故设y''+y==2cosx的特解为
y*=x(a cosx+b sinx)
则y*'=a cosx+b sinx+x(-a sinx+b cosx)
=(a+bx)cosx+(b-ax)sinx
y*''=bcosx-(a+bx)sinx-asinx+(b-ax)cosx
=(2b-ax)cosx-(2a+bx)sinx
代入原方程得
2b cosx-2a sinx=2cosx
得a=0,b=1
故y*=x sinx
故原方程的通解为y=C1 cosx+C2 sinx +xsinx
特征方程 r^2 + r - 2 = 0 特征根 r1 = 1, r2 = -2
y"+y'-2y=0 的通解y= C1 e^x + C2 e^(-2x)
原方程特解设为 y* = x ( Ax+B) e^x
y* ' = . y * '' = .
代入原方程, 确定 A=1 B=-4/3
原方程通解为 y = C1 e^x + C2 e^(-2x) + (x²-4x/3) e^x
e的λ次方为1,λ就为0,解中有一个解和λ的值相同,所以为单根。课本上的写法就是设齐次的特解,把特解带入非齐次方程,求出未知数C1C2之类的
二阶常系数非齐次线性微分方程怎么求解?
二阶非齐次线性微分方程的通解如下:y1,y2,y3是二阶微分方程的三个解,则:y2-y1,y3-y1为该方程的两个线性无关解,因此通解为:y=y1+C1(y2-y1)+C2(y3-y1)。方程通解为:y=1+C1(x-1)+C2(x^2-1)。二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数...
二阶常系数非齐次线性微分方程的求解
二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x),特解 1、当p^2-4q大于等于0时,r和k都是实数,y*=y1是方程的特解。2、当p^2-4q小于0时,r=a+ib,k=a-ib(b≠0)是一对共轭复根,y*=1\/2(y1+y2)是方程的实函数解。
如何求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解
1、如果f(x)=P(x) ,Pn (x)为n阶多项式。2、如果f(x)=P(x) e'a x,Pn (x)为n阶多项式。二阶常系数非齐次线性微分方程常用的几个:1、Ay''+By'+Cy=e^mx 特解 y=C(x)e^mx 2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx 特解 y=msinx+nsinx 3、Ay''+By'+Cy= mx+n ...
这个二阶常系数非齐次方程的特解怎么设
齐次通解:y=C1+C2e^4x右边是三角函数或指数函数,用变常数法,会引起循环,无法求解。可以设y=e^2x(C1sin2x+C2cos2x)求导,代入,约去e^2x,对照系数,可求得:C1=-3\/40,C2=-1\/40y=C1+C2e^4x-(1\/40)e^2x(3sin2x+cos2x) 已赞过 已踩过< 你对这个回答的评价是? 评论 收起 ...
为什么二阶常系数非齐次方程特解y*= x^ k* Qm(x)* e^λx?
二阶常系数非齐次方程形式为:ay'' + by' + cy = f(x)其中,a、b、c为常数,f(x)为非零函数。假设y*为方程的一个特解,我们可以通过尝试寻找特解的形式来求解非齐次方程。根据常系数非齐次方程的特解形式,y*的形式可以表示为:y* = x^k * Qm(x) * e^λx 其中,x^k表示x的k...
求解二阶常系数非齐次线性微分方程
求微分方程y''+3y'+2y=3xe^(-x)的通解 解:先求齐次方程 y''+3y'+2y=0的通解:其特征方程 r²+3r+2=(r+1)(r+2)=0的根r₁=-1,r₂=-2;故齐次方程的通解为y=c₁e^(-x)+c₂e^(-2x)设其特解 y*=(ax²+bx)e^(-x)y*'=(2ax+b...
二阶常系数非齐次线性微分方程当自由项含cos的时候,待定系数A,B怎么求...
当二阶常系数非齐次线性微分方程的自由项含有 cos(wx)(其中 w 是常数)时,我们可以使用待定系数法来求解。首先,假设非齐次项为 cos(wx) ,我们可以猜测待定解的形式为:y_p(x) = A cos(wx) + B sin(wx)其中,A 和 B 是待定系数。接下来,我们需要对待定解进行求导,并将其代入原微分...
高等数学中非齐次二阶常系数非齐次差分方程特解怎么求?
这不是差分方程,而是求数列通项吧?令bn=an+3a(n-1)则有bn+3b(n-1)=3,b1=6 先算出bn,然后算an
二阶常系数线性非齐次微分方程特解有哪些?
较常用的几个:1、Ay''+By'+Cy=e^mx 特解 y=C(x)e^mx 2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx 特解 y=msinx+nsinx 3、Ay''+By'+Cy= mx+n 特解 y=ax 通解 1、两个不相等的实根:y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)2、两根相等的实根:y=(C1+C2x)e^(r1x)3、一对共轭复根...
非齐次微分方程中,f(x)为常数时,怎么求。
你问的是二阶常系数非齐次的吧,f(x)为常数时,也是先求齐次的通解然后求特解,在求特解的时候,特解的形式为,有三种情况啊,根据0是不是特征根,我举一个哈,0不是特征根的话,特解形式为A,是单根的话就是Ax了。助人为乐记得采纳哦,不懂的话可以继续问我。也就是说H(x)和f(x)是...
黎艳独活: 特征方程 2r^2+r-1=0 (2r-1)(r+1) r=1/2,r=-1 所以齐次通解 y=C1e^(x/2)+C2e^(-x) 设特解为y=ae^x y'=y''=y=ae^x 代入原方程得 2ae^x+ae^x-ae^x=2e^x a=1 因此特解y=e^x 因此非齐次通解是y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)+e^x
资源县15875947157: 如何求解常系数的非齐次线性微分方程 - ?
黎艳独活: 先用特征根法求对应的齐次线性方程的通解,再设特解,用待定系数法求出一个特解,处理一下,即可求出非齐次线性微分方程的通解.
资源县15875947157: 常系数非齐次线性微分方程的通解怎么求啊? - ?
黎艳独活:[答案] 常系数非齐次线性微分方程的通解==常系数齐次线性微分方程的通解++ 常系数非齐次线性微分方程的的一个特解.例如:y' + y = 1 (1)(1)的齐次方程:y' + y = 0 (2)y(t) = Be^(st) s = - 1y(t) = Be^(-t) (1)的一个特y...
资源县15875947157: 常系数非齐次线性微分方程的特解设法? - ?
黎艳独活:[答案] 同济第六版《高等数学》上册p343-344.有很清晰的推导过程. 简单说就是把f(x)变成负数的形式后,是e的指数形式,然后设特解是e的指数形式,最后还原到实数域后就成了现在的形式.
资源县15875947157: 求二阶常系数非齐次线性微分方程y'' - 4y'+3y=2e∧(2x) 的通解 求大神解答!万分感谢! - ?
黎艳独活: -4y',所以(λ-1)(λ-3)=0,C2为任意常数)设y':y=C1e^x+C2e^(3x) -2e^(2x),C2为任意常数) -------------------- (代入原方程验证,(C1;+3y=2e^(2x)则[2ae^(2x)+2ae^(2x)+4(ax+b)e^(2x)]-4ae^(2x)+2(ax+b)e^(2x)]+3[(ax+b)e^(2x)]=2e^(2x) 整理:λ²...
资源县15875947157: 高数求二阶非齐次常系数全微分方程 - ?
黎艳独活: 先求齐次方程y''+4y'+4=0的通解 y=(C1+C2x)e^-2x 因为y'(0)=y(0)=0,所以C1=0,C2=0 再求特解y* y*=cos2x 方程y''+4y'+4=cos2x的特解 y=cos2x
资源县15875947157: 常系数非齐次线性微分方程的常数变易法,是否在解齐次线性微分方程的特解时用到了特征根法?或者说特征根 - ?
黎艳独活: 特征根法是解决常系数线性微分方程的常用方法.这是因为,对指数函数求导数时,结果是指数函数乘一个常数因子.例如: (e^(ax))'=a e^(ax). 因此,方程y'=ay的一个解就是y=C e^(ax). 特征方程是k=a. 假设特征方程是(k-a)(k-b)=0. 对应微分方程是y''-(a+b)y'+aby=0. 设z=y'-by,则 z'-az=0, 按照前面的讨论,可知z=C1 e^(az), y'-by=C1 e^(az), 齐次解为y=C2 e^(bx). 通解为y=C2 e^(bx)+C3 e^(ax). 只要求出特征方程的根,就能得出方程解. 这就是特征根法的来历.
资源县15875947157: 求二阶常系数非齐次线性微分方程y" - y' - 2y=x的特解 - ?
黎艳独活:[答案] 齐次方程y''-y'-2y=0的特征方程:r^2-r-2=0 (r-2)(r+1)=0 r1=2 r2=-1 以上齐次方程y=c1e^(2x)+c2e^(-x) 方程右边f(x)e^(入x)=xe^(0x) 入=0不是特征方程的根. 故设y=ax+b (因为x是一次的) y'=a y''=0代入原方程y''-y'-2y=x 0-a-2(ax+b)=x -2ax+b-a=x -2a=1 a=-...
资源县15875947157: 高等数学.常数变易法求常系数非齐次线性微分方程的解 - ?
黎艳独活: y''+y=e^x+cosx,① y''+y=0的通解是y=c1cosx+c2sinx, y=(1/2)e^x+(1/2)xsinx是①的特解, ∴y=c1cosx+c2sinx+(1/2)(e^x+xsinx)是①的通解.
资源县15875947157: 求常系数非齐次线性微分方程的解.....对于这类题,如何设特解? - ?
黎艳独活: 你说的是二阶常系数非齐次线性微分方程吧,高数里面只对二阶的作了一些介绍,其一般形式为:y''+py'+qy=f(x),其中p、q为常数,这种微分方程f(x)要分两种形式,第一种形式又要分三种形式,要一一介绍恐怕我用手机一晚上也介绍不完!方便的话,建议你看高数课本(第六版 上册 同济大学数学系编 ).