我在初中数学竞赛书中看到abc上加了一条横线,是什么意思

【初中数学竞赛】如图,在三角形ABC中,角ABC=角BAC=70°~

这道的证明总的来说分两步走：
第一步，证明∠2=10º；第二步，证明PC=PA+PB。
证明：如图所示，编了5个角（为了下面的书写方便）。
∵∠ABC=∠BAC=70°，∠PAB=40°，∠PBA=20°
∴△ABC为等腰三角形，∠PAC=70º﹣40º=30º，∠PBC=70º﹣20º=50º
∠ACB=180º－70°－70°=40º
在等腰△ABC中作∠ACB的平分线CF
∴得CF⊥AB且平分AB（等腰三角形三线合一）
∴∠ACF=∠BCF=½∠ACB=½×40º=20º
在∠PBC中，以BC为一边作∠CBD=30º，在射线BD上截取BD=AP，连接PD交CF于点E
∴∠PAC=∠DBC=30º
又∵AC=BC（已证）
AP=BD（所作辅助线）
∴△APC≌△BDC（SAS）
∴∠2=∠5，CP=CD
又∵∠ACF=∠BCF（已证）
∴∠ACF－∠2=∠BCF－∠5
即∠3=∠4
又CP=CD（已证）
AE=AE（公共边）
∴△CPE≌△CDE（SAS）
∴∠CEP＝∠CED
∴CF⊥PD且平分PD（等腰三角形三线合一）
又∵CF⊥AB且平分AB（已证）
∴PD∥AB（垂直于同一直线的两直线平行）
∴∠DPB=∠PBA=20º（两直线平行，内错角相等）
又∵∠PBD=∠ABC－∠ABP－∠DBC=70º－20º－30º=20º
∴∠PBD=∠DPB=20º（等量代换）
∴DP=DB（等角对等边）
把线段PD绕点D逆时针旋转，令其另一端点P与射线CF交于点F，连接PF，
则得PD=PF
∵CF⊥PD且平分PD（已证）
∴PF=DF（垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
∴PF=DF=PD=PA（等量代换）
∴△PDF为等边三角形，△DFB为等腰三角形
∴∠DFE=½∠DFB=½×60º=30º，
∠DFB=∠DBF
又∵∠BDF=180º－∠PDF－∠DBA（两直线平行，同旁内角互补）
=180º－60º－40º=80º
∴∠DFB=∠DBF=½（180º－80º）=50º
∵∠CFB=∠DFB+∠DFE=50º+30º=80º
∠CBF=∠DBF+∠DBC=50º+30º=80º
∴∠CFB=∠CBF=80º
∴CF=CB（等角对等边）
又∵AC=CB（已证）
∴AC=CB=CF（等量代换）
∵∠PAC=∠CFD=30º（已证）
PA=DF
∴△CAP≌△CFD（SAS）
∴∠2=∠4
∵∠2=∠5，∠4=∠3（已证）
∴∠2=∠3=∠4=∠5（等量代换）
∴∠2=∠3=∠4=∠5=¼∠ACB=¼×40º=10º


这道的证明总的来说分两步走：
第一步，证明∠2=10º；第二步，证明PC=PA+PB。
证明：如图所示，编了5个角（为了下面的书写方便）。
∵∠ABC=∠BAC=70°，∠PAB=40°，∠PBA=20°
∴△ABC为等腰三角形，∠PAC=70º﹣40º=30º，∠PBC=70º﹣20º=50º
∠ACB=180º－70°－70°=40º
在等腰△ABC中作∠ACB的平分线CF
∴得CF⊥AB且平分AB（等腰三角形三线合一）
∴∠ACF=∠BCF=½∠ACB=½×40º=20º
在∠PBC中，以BC为一边作∠CBD=30º，在射线BD上截取BD=AP，连接PD交CF于点E
∴∠PAC=∠DBC=30º
又∵AC=BC（已证）
AP=BD（所作辅助线）
∴△APC≌△BDC（SAS）
∴∠2=∠5，CP=CD
又∵∠ACF=∠BCF（已证）
∴∠ACF－∠2=∠BCF－∠5
即∠3=∠4
又CP=CD（已证）
AE=AE（公共边）
∴△CPE≌△CDE（SAS）
∴∠CEP＝∠CED
∴CF⊥PD且平分PD（等腰三角形三线合一）
又∵CF⊥AB且平分AB（已证）
∴PD∥AB（垂直于同一直线的两直线平行）
∴∠DPB=∠PBA=20º（两直线平行，内错角相等）
又∵∠PBD=∠ABC－∠ABP－∠DBC=70º－20º－30º=20º
∴∠PBD=∠DPB=20º（等量代换）
∴DP=DB（等角对等边）
把线段PD绕点D逆时针旋转，令其另一端点P与射线CF交于点F，连接PF，
则得PD=PF
∵CF⊥PD且平分PD（已证）
∴PF=DF（垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
∴PF=DF=PD=PA（等量代换）
∴△PDF为等边三角形，△DFB为等腰三角形
∴∠DFE=½∠DFB=½×60º=30º，
∠DFB=∠DBF
又∵∠BDF=180º－∠PDF－∠DBA（两直线平行，同旁内角互补）
=180º－60º－40º=80º
∴∠DFB=∠DBF=½（180º－80º）=50º
∵∠CFB=∠DFB+∠DFE=50º+30º=80º
∠CBF=∠DBF+∠DBC=50º+30º=80º
∴∠CFB=∠CBF=80º
∴CF=CB（等角对等边）
又∵AC=CB（已证）
∴AC=CB=CF（等量代换）
∵∠PAC=∠CFD=30º（已证）
PA=DF
∴△CAP≌△CFD（SAS）
∴∠2=∠4
∵∠2=∠5，∠4=∠3（已证）
∴∠2=∠3=∠4=∠5（等量代换）
∴∠2=∠3=∠4=∠5=¼∠ACB=¼×40º=10º

这道的证明总的来说分两步走：
第一步，证明∠2=10º；第二步，证明PC=PA+PB。
证明：如图所示，编了5个角（为了下面的书写方便）。
∵∠ABC=∠BAC=70°，∠PAB=40°，∠PBA=20°
∴△ABC为等腰三角形，∠PAC=70º﹣40º=30º，∠PBC=70º﹣20º=50º
∠ACB=180º－70°－70°=40º
在等腰△ABC中作∠ACB的平分线CF
∴得CF⊥AB且平分AB（等腰三角形三线合一）
∴∠ACF=∠BCF=½∠ACB=½×40º=20º
在∠PBC中，以BC为一边作∠CBD=30º，在射线BD上截取BD=AP，连接PD交CF于点E
∴∠PAC=∠DBC=30º
又∵AC=BC（已证）
AP=BD（所作辅助线）
∴△APC≌△BDC（SAS）
∴∠2=∠5，CP=CD
又∵∠ACF=∠BCF（已证）
∴∠ACF－∠2=∠BCF－∠5
即∠3=∠4
又CP=CD（已证）
AE=AE（公共边）
∴△CPE≌△CDE（SAS）
∴∠CEP＝∠CED
∴CF⊥PD且平分PD（等腰三角形三线合一）
又∵CF⊥AB且平分AB（已证）
∴PD∥AB（垂直于同一直线的两直线平行）
∴∠DPB=∠PBA=20º（两直线平行，内错角相等）
又∵∠PBD=∠ABC－∠ABP－∠DBC=70º－20º－30º=20º
∴∠PBD=∠DPB=20º（等量代换）
∴DP=DB（等角对等边）
把线段PD绕点D逆时针旋转，令其另一端点P与射线CF交于点F，连接PF，
则得PD=PF
∵CF⊥PD且平分PD（已证）
∴PF=DF（垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
∴PF=DF=PD=PA（等量代换）
∴△PDF为等边三角形，△DFB为等腰三角形
∴∠DFE=½∠DFB=½×60º=30º，
∠DFB=∠DBF
又∵∠BDF=180º－∠PDF－∠DBA（两直线平行，同旁内角互补）
=180º－60º－40º=80º
∴∠DFB=∠DBF=½（180º－80º）=50º
∵∠CFB=∠DFB+∠DFE=50º+30º=80º
∠CBF=∠DBF+∠DBC=50º+30º=80º
∴∠CFB=∠CBF=80º
∴CF=CB（等角对等边）
又∵AC=CB（已证）
∴AC=CB=CF（等量代换）
∵∠PAC=∠CFD=30º（已证）
PA=DF
∴△CAP≌△CFD（SAS）
∴∠2=∠4
∵∠2=∠5，∠4=∠3（已证）
∴∠2=∠3=∠4=∠5（等量代换）
∴∠2=∠3=∠4=∠5=¼∠ACB=¼×40º=10º

这道的证明总的来说分两步走：
第一步，证明∠2=10º；第二步，证明PC=PA+PB。
证明：如图所示，编了5个角（为了下面的书写方便）。
∵∠ABC=∠BAC=70°，∠PAB=40°，∠PBA=20°
∴△ABC为等腰三角形，∠PAC=70º﹣40º=30º，∠PBC=70º﹣20º=50º
∠ACB=180º－70°－70°=40º
在等腰△ABC中作∠ACB的平分线CF
∴得CF⊥AB且平分AB（等腰三角形三线合一）
∴∠ACF=∠BCF=½∠ACB=½×40º=20º
在∠PBC中，以BC为一边作∠CBD=30º，在射线BD上截取BD=AP，连接PD交CF于点E
∴∠PAC=∠DBC=30º
又∵AC=BC（已证）
AP=BD（所作辅助线）
∴△APC≌△BDC（SAS）
∴∠2=∠5，CP=CD
又∵∠ACF=∠BCF（已证）
∴∠ACF－∠2=∠BCF－∠5
即∠3=∠4
又CP=CD（已证）
AE=AE（公共边）
∴△CPE≌△CDE（SAS）
∴∠CEP＝∠CED
∴CF⊥PD且平分PD（等腰三角形三线合一）
又∵CF⊥AB且平分AB（已证）
∴PD∥AB（垂直于同一直线的两直线平行）
∴∠DPB=∠PBA=20º（两直线平行，内错角相等）
又∵∠PBD=∠ABC－∠ABP－∠DBC=70º－20º－30º=20º
∴∠PBD=∠DPB=20º（等量代换）
∴DP=DB（等角对等边）
把线段PD绕点D逆时针旋转，令其另一端点P与射线CF交于点F，连接PF，
则得PD=PF
∵CF⊥PD且平分PD（已证）
∴PF=DF（垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
∴PF=DF=PD=PA（等量代换）
∴△PDF为等边三角形，△DFB为等腰三角形
∴∠DFE=½∠DFB=½×60º=30º，
∠DFB=∠DBF
又∵∠BDF=180º－∠PDF－∠DBA（两直线平行，同旁内角互补）
=180º－60º－40º=80º
∴∠DFB=∠DBF=½（180º－80º）=50º
∵∠CFB=∠DFB+∠DFE=50º+30º=80º
∠CBF=∠DBF+∠DBC=50º+30º=80º
∴∠CFB=∠CBF=80º
∴CF=CB（等角对等边）
又∵AC=CB（已证）
∴AC=CB=CF（等量代换）
∵∠PAC=∠CFD=30º（已证）
PA=DF
∴△CAP≌△CFD（SAS）
∴∠2=∠4
∵∠2=∠5，∠4=∠3（已证）
∴∠2=∠3=∠4=∠5（等量代换）
∴∠2=∠3=∠4=∠5=¼∠ACB=¼×40º=10º

BD=CE，所以角1=角2，又角3=角2，所以角1=角3，角ABC=角ACB，所以AB=AC。
我的做法是错误的，写完上面我就发现了，只是没时间改。也想看看大家会不会掉进陷阱。哈哈哈

abc上加了一条横线表示一个三位数，为了区分abc是表示a,b,c,相乘，还是表示一个三位数才在abc上加了一条横线。

例如：234既可以表示2乘以3乘以4，也可以表示二百三十四．同样abc也表示两个意义，但abc上加了一条横线只表示一个三位数，既abc上加了一条横线=100a+10b+c。

初中数学竞赛注意：

数竞很难，大佬很多，需要投入的时间精力很大，而且非常看天赋，看天赋的意思是指到cmo级别基本上只靠做题已经很难得到提升了。所以答主请慎重思考自己的实力，量力而行，尽力而为。

如果只是到自主招生的话，江苏情况我不清楚，应该联赛成绩到国一就能过绝大部分大学初审了(清北要铜牌)，自招初试难度大体在一试以上二试以下。三一，博雅领军应该会再简单一些。(参考:浙江)。

abc上加了一条横线表示一个三位数．为了区分abc是表示a,b,c,相乘，还是表示一个三位数才在abc上加了一条横线．

例如：234既可以表示2乘以3乘以4，也可以表示二百三十四．同样abc也表示两个意义，但abc上加了一条横线只表示一个三位数，既
abc上加了一条横线=100a+10b+c

代表这是一个三位的数字，不加横线就成了相乘的意思了

那是指
A B C 所代表的三个数连在一起
例：A=1 B=2 C=3
则 ABC<一横> =123<一百二十三>

代表这是一个三位数:a代表百位数,b代表十位数,c代表个位数!

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温宿县17677466577： 有一位同学在数学竞赛辅导书上看到这样一道题:“已知三角形ABC的三边长分别是a,b,c.且a,b,c的值满足|b+c - 2a|+(b+c - s)②=0,求b的取值在什么范围?你能解答这道题吗?？
仝士舒肝： 解:已知|b+c-2a|+(b+c-5)²=0,由于绝对值与平方数都大于或等于0,所以要使已知等式成立,只能是 |b+c-2a|=0,推得:b+c=2a, (b+c-5)²=0,推得:b+c=5,c=5-b, 由此可得:a=5/2, 利用三角形'两边之差小于第三边'的性质,可得: ① b-(5-b)<5/2 得:b<15/4, ② (5-b)-b<5/2 得:b>5/4,∴ b的取值范围是:5/4<b<15/4.

温宿县17677466577： 有一位同学在数学竞赛辅导书上看到这样一道题“已知△ABC的三边长分别是a,b,c,且a,b,c的值 - ？
仝士舒肝： b+c-2c等于0,b等于c,b+c-5大于0,b+c等于5,b等于2.5

温宿县17677466577： 有一位同学在数学竞赛辅导书上看到这样一道题“已知△ABC的三边长分别是a,b,c,且a,b,c的值满足等式|b+c - 2c|+(b+c - 5)²=0,求b的取值范围？
仝士舒肝： |b+c-2a|+(b+c-5)²=0 b+c-2a=0 , b+c-5=0 b+c=2a=5,a=2.5 b-c&lt;2.5 (1) b+c=5 (2) (1)+(2)得 2b&lt;7.5得b&lt;3.75 所以0&lt;b&lt;3.75

温宿县17677466577： 小明参加中学数学竞赛,名次和岁数和分数乘起来是2910,请问分数和名次个是多少 - ？
仝士舒肝： 解:假设 名次和岁数和分数分别是a、b、c,则abc=2910(满分100)小明能参加中学数学竞赛12<a<19 又2910=2*3*5*97=15*3*97,所以有客观事实知:小明的成绩是:小明岁数是15,分数是97,名次是第三名

温宿县17677466577： 一道中学数学某班参加智力比赛,有ABC三题,每题或得0分或得满分.比赛结果无人得0分,三题全对的1人,答 - ？
仝士舒肝： A+B+B+C+C+A=29+25+20=74 由此可见A+B+C=37 总人数就是37-15*1-1*2=20人(有15个人答对两题,也就是多一个名字,所以要减去15*1,有一个答对三题,所以多了两题中的名字,所以要减去1*2)

温宿县17677466577： a的平方加a等于负1 ,在初中一本数学辅导书上看到的,不要求求出a,已知以上等式,求出……的值.涉及整式,但是我怀疑a是否存在,算了算,好像是a... - ？
仝士舒肝：[答案] 如果是初中的话,在实数范围内,按你所说a2+a=-1,即a2+a+1=0.此一元二次方程根的判别式为1-4=-3,所以显然无解,所以你书上的题目是错的

温宿县17677466577： 初中数学相似三角形定义问题 - ？
仝士舒肝： 书上没错,你的认为也没有问题,LZ很有好奇心呀,很不错哟.书上所渭三边对应相等,是给人加了个提示,这三边一定要对应,举个例子,三角形ABC为直角三角形,角C为90度,三边为3,4,5,图你这样画,A在上面,C在左,B在右,AC为...

温宿县17677466577： 在初中竞赛中,像斯特瓦尔特、梅涅劳赛、赛瓦定理这些定理会出现吗? - ？
仝士舒肝： 如果是初中竞赛,很少出现的,斯特瓦尔特定理,梅涅劳斯定理,塞瓦定理等等这些都是高中数学竞赛几何中的重点内容,因为学了高中的三角函数等等还能对这些结论做更多的推广和研究.我做了一些初中竞赛题,发现基本也用不到这些,一般的初中竞赛几何主要是考察做辅助线的能力和几何逻辑推理能力,很多题不用这些定理也可以做,当然这些定理如果你学会了也可以用.

温宿县17677466577： 请解答初三数学竞赛题一题？
仝士舒肝： 原式=c*(a-b)/(a^2-b^2)+b*(a-c)/(a^2-c^2)=c*(a-b)/(c^2-bc)-b*(a-c)/(b^2-bc)=(a-b)/(c-b)+(a-c)/(b-c)=1

温宿县17677466577： 初中数学竞赛中解题的公式和思路(方法) - ？
仝士舒肝： 初中数学竞赛中较难的知识点和公式如下: 1、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法.一元二次方程根的分布.含绝对值的一元一次、二次方程的解法.含字母系数的一元一次不等式的解法,一元一次不等式的解法.含绝...