四道积分题目
作者&投稿：镡雍 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
整体可积局部可积，在（0，1/2）处考虑，lnx/(1-x)<=2lnx<0,但是lnx在（0，1/2)不可积，那么比他更小的肯定不可积了
第二题ArcSinh[1]/Sqrt[2]的确是对的。。。我的程序有问题。con的解法是对的，比较Taylor展式，凑出来的
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n = 1;
double sum = 0;
double base = 1;
for(n=1;n<10000;n++){
base*=(1.0/2);
sum+=(base/(2*n-1));
}
cout << sum << endl;
system("pause");
}
第三题倒是好做，ln(2+1/n)/根号（3n-2)(3n+2)和1/n同阶无穷小，但级数1/n的和不收敛，这个也不收敛了
第四题，我认为你说的是fk=(n=1->k)n^2(x^n+1/x^n)/e^n形成的{fk}是在[1/2，2]一致收敛的吧，要不然你这个是一个函数，不用判断一致收敛性只有一致连续性
利用Abel判别法，1/n^2部分和一致收敛，(x^n+1/x^n)n^4/e^n对每个x属于[1/2,2]都是单调的，而且一致有界，必然{fk}一致收敛
当然了，我说的显然那是不对的，数学的词典里没有“显然”这个词，昨天有点烦了，就随口说了，实在不该
我的答案仅供参考，关于第四题，改一下题吧。。。
(1)
(0,1)∫lnx/(1-x)dx
=-(0,1)∫ln(1-x)/x dx
应用“泰勒”
=－(0,1)∫[x+(1/2)x^2+(1/3)x^3+(1/4)x^4+……]/x] dx
＝－(0,1)∫[1＋(1/2)x+(1/3)x^2+……] dx
＝－[x+(1/4)x^2+(1/9)x^3+……] x=1|x=0
=－[1+1/4+1/9+1/16+……]
＝-(π)^2/6
http://zhidao.baidu.com/question/65188411.html?si=4
(2)
(n=1->∞)∑1/[2^n(2n-1)]
我不会，应该对吧！
ArcSinh[1]/Sqrt[2]
(3)
(n=1->∞)∑ln(2+1/n)/√[(3n-2)(3n+2)]
>(n=1->∞)∑ln2/3n
=(ln2/3)*[(n=1->∞)∑1/n]
>(ln2/3)*lnn
不收敛
(4)
(n=1->∞)∑n^2(x^n+1/x^n)/e^n
判断其在[1/2,2]是不是一致收敛的
一致收敛的定义：
设函数列{fN}与函数f定义在同一数集D上，若对于任给的正数e，总存在某一正整数N，使得当n>N时，对一切x属于D，都有
fN(x)-f(x)<e
则称函数列{fN}在D上一致收敛于f
(n=1->∞)∑n^2*p^n=(n=1->∞)∑(n+1)(n+2)*p^n-(n=1->∞)∑3(n+1)p^n+(n=1->∞)∑p^n=2/(1-p)^3-3/(1-p)^2+1/(1-p)
(n=1->∞)∑n^2(x^n+1/x^n)/e^n
=(n=1->∞)∑n^2(1/xe)^n+(n=1->∞)∑n^2(x/e)^n
＝[(x/e)^2+(x/e)]/[1-(x/e)]^3+[(1/xe)^2+(1/xe)]/[1-(1/xe)]^3
我只会求f(x)
但是不明白2是怎么回事啊！还有就是我的电脑确实告诉我在(-2,-1/2)U(1/e,e)上我求的是对的，我知道为什么在(-e,-2)上不对！期望你指教哈！我还没上大学……
你的题可能错了
应该是要证
[-2,-1/2]
但是我同样不知道问什么
－2就是∞
－1／2就是∞
我说过我会尽全力的...
关于第一题，侯宇诗的作法和火星的答案是正确的。
我觉得LS没有弄清楚函数列各项指的究竟是什么，ln(1-x)展开约简之后，函数列各项实际上是fn(x)=x^(n-1)/n 容易证明这个正项函数列在(0,1)上是一致收敛的 (limfn<1/n-->0)，那么，这个时候，积分求和可以改变顺序。而lnx/(1-x)，这只是一个可怜的不一致收敛的函数，不是函数列...
真正不能改变顺序的 应该是∫(x=1->∞)∑(lnx/(1-x))
(2)
火星的答案是正确的。这是我的做法
(n=1->∞)∑1/[2^n(2n-1)]
=(1/sqrt2) (n=1->∞)∑1/[(1/sqrt2)^(2n-1)/(2n-1)]
奇数等于全体减去偶数
=(n=1->∞)∑(1/sqrt2)^n/n-(n=1->∞)∑(1/sqrt2)^(2n)/2n
=(1/sqrt2)[0.5ln(1-1/2)-ln(1-1/sqrt2)]
=ln(1+sqrt2)/sqrt2 = arcsin(1)/sqrt2
(4)利用Cauchy准则
函数项级数∑un一致收敛 等价于 对于所有 m>0 存在N 对于所有n>N 和 所有的正整数p 有|u(n+1)+u(n+2)+...+u(n+p)| < m 而对于所有的n属于N,un>0
即证lim n-> 正无穷 un = 0
而lim un = n^2(x^n+1/x^n)/e^n <= lim n^2/(e/2)^n -->0
故对于所有的 x 属于 [1/2,2] 都有 lim un = 0
由cauchy准则 函数项级数在[1/2,2]上一致收敛
(1)
(0,1)∫lnx/(1-x)dx
=-(0,1)∫ln(1-x)/x dx
应用“泰勒”
=－(0,1)∫[x+(1/2)x^2+(1/3)x^3+(1/4)x^4+……]/x] dx
＝－(0,1)∫[1＋(1/2)x+(1/3)x^2+……] dx
＝－[x+(1/4)x^2+(1/9)x^3+……] x=1|x=0
=－[1+1/4+1/9+1/16+……]
＝-(π)^2/6
http://zhidao.baidu.com/question/65188411.html?si=4
(2)
(n=1->∞)∑1/[2^n(2n-1)]
我不会，应该对吧！
ArcSinh[1]/Sqrt[2]
(3)
(n=1->∞)∑ln(2+1/n)/√[(3n-2)(3n+2)]
>(n=1->∞)∑ln2/3n
=(ln2/3)*[(n=1->∞)∑1/n]
>(ln2/3)*lnn
不收敛
(4)
(n=1->∞)∑n^2(x^n+1/x^n)/e^n
判断其在[1/2,2]是不是一致收敛的
一致收敛的定义：
设函数列{fN}与函数f定义在同一数集D上，若对于任给的正数e，总存在某一正整数N，使得当n>N时，对一切x属于D，都有
fN(x)-f(x)<e
则称函数列{fN}在D上一致收敛于f
(n=1->∞)∑n^2*p^n=(n=1->∞)∑(n+1)(n+2)*p^n-(n=1->∞)∑3(n+1)p^n+(n=1->∞)∑p^n=2/(1-p)^3-3/(1-p)^2+1/(1-p)
(n=1->∞)∑n^2(x^n+1/x^n)/e^n
=(n=1->∞)∑n^2(1/xe)^n+(n=1->∞)∑n^2(x/e)^n
＝[(x/e)^2+(x/e)]/[1-(x/e)]^3+[(1/xe)^2+(1/xe)]/[1-(1/xe)]^3
我只会求f(x)
但是不明白2是怎么回事啊！还有就是我的电脑确实告诉我在(-2,-1/2)U(1/e,e)上我求的是对的，我知道为什么在(-e,-2)上不对！期望你指教哈！我还没上大学……
你的题可能错了
应该是要证
[-2,-1/2]
但是我同样不知道问什么
－2就是∞
－1／2就是∞
不知对不对！(*^__^*) 嘻嘻……
(1)
(0,1)∫lnx/(1-x)dx
=-(0,1)∫ln(1-x)/x dx
应用“泰勒”
=－(0,1)∫[x+(1/2)x^2+(1/3)x^3+(1/4)x^4+……]/x] dx
＝－(0,1)∫[1＋(1/2)x+(1/3)x^2+……] dx
＝－[x+(1/4)x^2+(1/9)x^3+……] x=1|x=0
=－[1+1/4+1/9+1/16+……]
＝-(π)^2/6
http://zhidao.baidu.com/question/65188411.html?si=4
(2)
(n=1->∞)∑1/[2^n(2n-1)]
我不会，应该对吧！
ArcSinh[1]/Sqrt[2]
(3)
(n=1->∞)∑ln(2+1/n)/√[(3n-2)(3n+2)]
>(n=1->∞)∑ln2/3n
=(ln2/3)*[(n=1->∞)∑1/n]
>(ln2/3)*lnn
不收敛
(4)
(n=1->∞)∑n^2(x^n+1/x^n)/e^n
判断其在[1/2,2]是不是一致收敛的
一致收敛的定义：
设函数列{fN}与函数f定义在同一数集D上，若对于任给的正数e，总存在某一正整数N，使得当n>N时，对一切x属于D，都有
fN(x)-f(x)<e
则称函数列{fN}在D上一致收敛于f
(n=1->∞)∑n^2*p^n=(n=1->∞)∑(n+1)(n+2)*p^n-(n=1->∞)∑3(n+1)p^n+(n=1->∞)∑p^n=2/(1-p)^3-3/(1-p)^2+1/(1-p)
(n=1->∞)∑n^2(x^n+1/x^n)/e^n
=(n=1->∞)∑n^2(1/xe)^n+(n=1->∞)∑n^2(x/e)^n
＝[(x/e)^2+(x/e)]/[1-(x/e)]^3+[(1/xe)^2+(1/xe)]/[1-(1/xe)]^3
我只会求f(x)
但是不明白2是怎么回事啊！还有就是我的电脑确实告诉我在(-2,-1/2)U(1/e,e)上我求的是对的，我知道为什么在(-e,-2)上不对！期望你指教哈！我还没上大学……
你的题可能错了
应该是要证
[-2,-1/2]
但是我同样不知道问什么
－2就是∞
－1／2就是∞
回答完毕
谢谢
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1. 原式=lim(x->0)(e^x+e^(-x))\/cosx =(1+1)\/1 =2 2. 原式=lim(x->0+)lnx\/(1\/x)=lim(x->0+)(1\/x)\/(-1\/x²)=lim(x->0+)（-x）=0
两道微积分题目,求过程
利用复合函数求导法则。1、 dy^2\/dx^2=dy^2\/dx*dx\/dx^2=dy^2\/dx*1\/(dx^2\/dx)=2x*(1\/2x)=1 2、dy\/d(1\/(1-x))=dy\/dx*dx\/d(1\/(1-x))= (2x+1)*(1\/d(1\/(1-x))\/dx)=(2x+1)*(1\/(1-x)^2)=(2x+1)(1-x)^2.
求解不定积分题目,题目如下图,有三道,非常感谢!
令x = sinz，dx = cosz dz ∫ x\/√(1 - x²) · e^(arcsinx) dx = ∫ sinz\/cosz · e^z · cosz dz = ∫ e^z · sinz dz = ∫ e^z d(- cosz)= - (e^z)cosz + ∫ cosz de^z = - (e^z)cosz + ∫ e^z d(sinz)= - (e^z)cosz + (e^z)...
求下面3道题目的定积分
第二个题目，令y=t\/2,t=2y,dt=2dy t=0,y=0,t=2x^2,y=x^2 ∫[0,2x^2] f(t\/2)dt =2∫[0,x^2] f(y)dy 令x^2=2代入得 =2[e^(-1\/x^2)-e^(-1\/2)] (x^2=1)=2[e^(-1)-e^(-1\/2)]第三个题目，由于被积函数是奇函数，定义域关于原点对称，所以积分值是...
这几道微积分的题目,哪位大神帮忙解答下,万分感谢~
3. e^(-1)4. 2^(2x)*2*ln2 5. -(x-1)e^(-2x)
两道不定积分题,说明过程啊,谢拉!!
答：1.原式=∫(1\/(x+1)+1\/(x-1)-3\/x)dx =ln|x+1|+ln|x-1|-3ln|x|+C 这类型题目主要是分母分解因式写成多个式子相加的形式。2.令x=tant，则dx=(secx)^2dt,t=arctanx 原式=∫[(sec)^2\/√(1+(tant)^2)]dt =∫sect dt =ln|sect + tant| +C 因为x=tant=sint\/cost...
这几道微积分怎么做呀?
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麻烦帮忙解下这道微积分题目。y那边的1\/y(y3-1) 要怎么积分?
分离变量，y的表达式是一个真分式，所以用分式的除法，拆成三个真分式，然后就可以求积分了
羽奋哮喘：[答案] ∫cos^2 3tdt =∫(1+cos6t)/2dt =∫1/2+cos6t/2dt =1/2t+1/12sin6t+C ∫dx/sinxcosx =∫2(dx)/[2sinxcosx] =∫[2dx]/[tanxcos²x] =2∫[dtanx]/tanx =2ln│tanx│+C 另一种方法是 2∫cscx dx=2ln│cscx-cotx│+C 3.∫dx/e^2x+e^-2x 令e^x=t,则x=lnt.带入化得 ∫t^3/t^4+1...
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