关于魔方的数学问题

魔方中有哪些数学知识~

魔方中的数学知识主要涉及组合数学、线性代数、群论。关系最密切的是群论。
如果你尝试着玩过魔方，你会发现，无论怎么转动，想要在魔方上造成单个2循环（2个棱块单独交换位置，或者是2个角块单独交换位置）是不太可能的。这就需要从数学的角度来解释这个问题啦。
简单来说，群泛指具有类似性质的事务的集合。群论是由德国数学家迦罗瓦在研究高次代数方程求解的问题中创立的。群论是在实践中发展起来的，从本质上说，它是对对称性的一种抽象描述，而对称性又是宇宙中许多事物的共同特性。
因此群论创立以后，在物理、化学、生物等许多科学中获得了广泛的应用，并取得了许多非凡的成就。魔方被发明以后，魔方的结构、旋转特性、甚至单独块的循环换位，正是对群论的许多基本概念和定理的最好诠释。
通过魔方来学习群论，会让理论的变得具体，不在抽象难懂。反过来，在群论的指导下，魔方六面的还原也会变得有规律可循，容易掌握，不在高深莫测、难以捉摸。即使是对数学不敢兴趣的纯粹魔方玩家，对魔方中的数学有一定的了解，也会提高他玩魔方的技巧和熟练程度，有助于对魔方更深层次的理解。
魔方和数学的直接联系就是魔方的变化总数：三阶魔方总的变化数43、252、003、274、489、856、000。或者约等于4.3X10^19。那么这个数字是怎么算出来的呢？其实就是分别算出棱块角块的状态，然后在减掉对称结构中重复出现的状态。

扩展资料：
不同种类的魔方
1、传统魔方
“顺/逆时针旋转”、“方位”、“群”、“坐标”、“组合”……无论是基础数学知识，还是高等数学，魔方的转法和还原思路，都可以帮助孩子对这些晦涩难懂的知识点，有一个更直观的理解。
2、镜面魔方
对很多数学老师而言，镜面魔方是学立体图形体积、表面积最棒的教具，没有之一！它的转法跟三阶魔方完全一样，三阶魔方是根据相同颜色来还原，而镜面魔方则需要通过判断哪些方块的“高度”相同，来确定它们是否为同一面，进而进行还原。这个过程，极大的提升了孩子们对体积的感知。
3、三角魔方
三角魔方是最容易还原的魔方，虽然只需要两个步骤，但却能对理解“三角形”、“空间与面”等概念，起到十分重要的作用。特别是中学立体几何中大量的三棱锥知识，三角魔方可以帮助孩子，理解其中不同平面间的抽象关系。

可以,花式的一种

魔方别看只有26个小方块，变化可真是不少，魔方总的变化数为8!*3^8*12!*2^12/(3*2*2)=43252003274489856000种或者约等于4.3·10^19。如果你一秒可以转3下魔方，不计重复，你也需要转4542亿年，才可以转出魔方所有的变化，这个数字是目前估算宇宙年龄的大约30倍。

三阶魔方总变化数的道理是这样：六个中心块定好朝向后，就构成了一个坐标系，在这个坐标系里，8个角色块全排列8!，而每个角色块又有3种朝向，所以是8!*38，12个棱色块全排列每个有2种朝向是12!*212，这样相乘就是分子，而分母上3*2*2的意义是，保持其他色块不动，不可以单独改变一个角色块朝向(对应3)，单独改变一个棱色块朝向(对应2)，和单独交换一对棱色块或一对角色块的位置(对应另一个2)。至于为什么，我建议大家自己先想想，我初步写了一些，你可以到这里看看。

由此可见，这么多变化用很短时间变回六面同色不是很简单的。不过世界上最快的人7.08秒就可以还原一个魔方（记录创造于2008年7月12日的 捷克公开赛），记录保持者是来自荷兰的Erik Akkersdijk。

那些人为什么会这么快呢？因为他能记住好多的魔方算法，或者也有叫魔方公式的，世界上顶尖的选手，据说可以记住600多个算法。我们这里介绍的入门魔方解法，涉及的算法很少而且都很简单， 只要学会，每个人都可以轻松得学会玩魔方的。

在开始之前，让我们来看看魔方的基本构造，魔方六面的中心块的相对位置是固定的，这个你拆过魔方就会知道，我敢保证在你照后面的方法开始拧来拧去的时候，很容易就忘记前后左右开始是什么颜色，这样就拧乱了。所以你开始一定要定好一个你喜欢的朝向。在这里我选蓝色做为顶面，绿色为底面，红色前面，橙色后面，白色左面，黄色右面。 当然你可能贴纸贴的就跟我不一样，魔方六面贴纸应该有5*3!=30种贴法吧，为啥呢？因为假如你指定蓝面为顶面，那么底面就应该有5种选择，还剩下4面构成一个环，这个环去除了旋转对称共有3!种贴法，对吧：）

我又要发一通大道理了，如果急着要看算法可以先跳过哈：）

首先我们观察1，2两种情况，在这两种情况里，3个未对好的块在旋转意义下是处于相同的位置的，对吧。这是他们一个特点。绿色在每个角有3种朝向，如果我们对4角进行标记，不妨把1情况叫做(1113从右上角开始标号），2情况叫做（2223），括号里的3就代表绿色块已经在顶面了，3情况（1233），4情况（2133），5情况（1323），6情况（1212），7情况（2112），你有没有发现一些规律呢？括号里数字的和一定是3的整数倍！为啥非得是3的整数倍？建议你去看看一开始的魔方总变化数道理，那里面证明了角块朝向的角度和应该是360度的整数倍。这个限制，决定了我们只能有8种情况。
这个问题真是不特别简单，首先，我们出个题啊，要是魔方顶面4个角位置可以标号1、2、3，就像上面一样可以标成是（1113）（1233）等等，去除旋转后相同的情况，共有多少种标法？

如果不去除旋转相同，那么4个角就是可以区分的，这个答案很简单就是3^4=81种情况，对吧，但是如果去除旋转相同，就 比较复杂了，比如1113和3111是同一种标法，只是魔方顶面转了90度而已，你可以自己先想想这个题。

这是个组合数学的经典问题，叫做Necklace problem（就是用几种颜色的珠子穿项链），或者叫做polya定理，如果有兴趣也可以到这里看看，不过我还是推荐你先自己想一下，这里面的公式会一下子让你很faint，如果你对“欧拉数”之类的概念不熟或根本没听说过的话。

我们这种情况不用mathworld里面的那个公式，枚举法就可以啦：）不过要想的周密一点，答案是24种，我验算了和那个恐怖公式给出的答案一样。而在这24种里，4个数字的"和"被3除的余数，应该是平均分配给0，1，2吧，这个我没有证明，呵呵，这样被3整除的应该就有8个了吧。就是 对好+这7种：

谢谢~

魔方别看只有26个小方块，变化可真是不少，魔方总的变化数为8!*3^8*12!*2^12/(3*2*2)=43252003274489856000种或者约等于4.3·10^19。如果你一秒可以转3下魔方，不计重复，你也需要转4542亿年，才可以转出魔方所有的变化，这个数字是目前估算宇宙年龄的大约30倍。

三阶魔方总变化数的道理是这样：六个中心块定好朝向后，就构成了一个坐标系，在这个坐标系里，8个角色块全排列8!，而每个角色块又有3种朝向，所以是8!*38，12个棱色块全排列每个有2种朝向是12!*212，这样相乘就是分子，而分母上3*2*2的意义是，保持其他色块不动，不可以单独改变一个角色块朝向(对应3)，单独改变一个棱色块朝向(对应2)，和单独交换一对棱色块或一对角色块的位置(对应另一个2)。至于为什么，我建议大家自己先想想，我初步写了一些，你可以到这里看看。

由此可见，这么多变化用很短时间变回六面同色不是很简单的。不过世界上最快的人7.08秒就可以还原一个魔方（记录创造于2008年7月12日的 捷克公开赛），记录保持者是来自荷兰的Erik Akkersdijk。

那些人为什么会这么快呢？因为他能记住好多的魔方算法，或者也有叫魔方公式的，世界上顶尖的选手，据说可以记住600多个算法。我们这里介绍的入门魔方解法，涉及的算法很少而且都很简单， 只要学会，每个人都可以轻松得学会玩魔方的。

在开始之前，让我们来看看魔方的基本构造，魔方六面的中心块的相对位置是固定的，这个你拆过魔方就会知道，我敢保证在你照后面的方法开始拧来拧去的时候，很容易就忘记前后左右开始是什么颜色，这样就拧乱了。所以你开始一定要定好一个你喜欢的朝向。在这里我选蓝色做为顶面，绿色为底面，红色前面，橙色后面，白色左面，黄色右面。 当然你可能贴纸贴的就跟我不一样，魔方六面贴纸应该有5*3!=30种贴法吧，为啥呢？因为假如你指定蓝面为顶面，那么底面就应该有5种选择，还剩下4面构成一个环，这个环去除了旋转对称共有3!种贴法，对吧：）

我又要发一通大道理了，如果急着要看算法可以先跳过哈：）

首先我们观察1，2两种情况，在这两种情况里，3个未对好的块在旋转意义下是处于相同的位置的，对吧。这是他们一个特点。绿色在每个角有3种朝向，如果我们对4角进行标记，不妨把1情况叫做(1113从右上角开始标号），2情况叫做（2223），括号里的3就代表绿色块已经在顶面了，3情况（1233），4情况（2133），5情况（1323），6情况（1212），7情况（2112），你有没有发现一些规律呢？括号里数字的和一定是3的整数倍！为啥非得是3的整数倍？建议你去看看一开始的魔方总变化数道理，那里面证明了角块朝向的角度和应该是360度的整数倍。这个限制，决定了我们只能有8种情况。
这个问题真是不特别简单，首先，我们出个题啊，要是魔方顶面4个角位置可以标号1、2、3，就像上面一样可以标成是（1113）（1233）等等，去除旋转后相同的情况，共有多少种标法？

如果不去除旋转相同，那么4个角就是可以区分的，这个答案很简单就是3^4=81种情况，对吧，但是如果去除旋转相同，就 比较复杂了，比如1113和3111是同一种标法，只是魔方顶面转了90度而已，你可以自己先想想这个题。

这是个组合数学的经典问题，叫做Necklace problem（就是用几种颜色的珠子穿项链），或者叫做polya定理，如果有兴趣也可以到这里看看，不过我还是推荐你先自己想一下，这里面的公式会一下子让你很faint，如果你对“欧拉数”之类的概念不熟或根本没听说过的话。

魔方别看只有26个小方块，变化可真是不少，魔方总的变化数为8!*3^8*12!*2^12/(3*2*2)=43252003274489856000种或者约等于4.3·10^19。如果你一秒可以转3下魔方，不计重复，你也需要转4542亿年，才可以转出魔方所有的变化，这个数字是目前估算宇宙年龄的大约30倍。

三阶魔方总变化数的道理是这样：六个中心块定好朝向后，就构成了一个坐标系，在这个坐标系里，8个角色块全排列8!，而每个角色块又有3种朝向，所以是8!*38，12个棱色块全排列每个有2种朝向是12!*212，这样相乘就是分子，而分母上3*2*2的意义是，保持其他色块不动，不可以单独改变一个角色块朝向(对应3)，单独改变一个棱色块朝向(对应2)，和单独交换一对棱色块或一对角色块的位置(对应另一个2)。至于为什么，我建议大家自己先想想，我初步写了一些，你可以到这里看看。

由此可见，这么多变化用很短时间变回六面同色不是很简单的。不过世界上最快的人7.08秒就可以还原一个魔方（记录创造于2008年7月12日的 捷克公开赛），记录保持者是来自荷兰的Erik Akkersdijk。

那些人为什么会这么快呢？因为他能记住好多的魔方算法，或者也有叫魔方公式的，世界上顶尖的选手，据说可以记住600多个算法。我们这里介绍的入门魔方解法，涉及的算法很少而且都很简单， 只要学会，每个人都可以轻松得学会玩魔方的。

在开始之前，让我们来看看魔方的基本构造，魔方六面的中心块的相对位置是固定的，这个你拆过魔方就会知道，我敢保证在你照后面的方法开始拧来拧去的时候，很容易就忘记前后左右开始是什么颜色，这样就拧乱了。所以你开始一定要定好一个你喜欢的朝向。在这里我选蓝色做为顶面，绿色为底面，红色前面，橙色后面，白色左面，黄色右面。 当然你可能贴纸贴的就跟我不一样，魔方六面贴纸应该有5*3!=30种贴法吧，为啥呢？因为假如你指定蓝面为顶面，那么底面就应该有5种选择，还剩下4面构成一个环，这个环去除了旋转对称共有3!种贴法，对吧：）

我又要发一通大道理了，如果急着要看算法可以先跳过哈：）

首先我们观察1，2两种情况，在这两种情况里，3个未对好的块在旋转意义下是处于相同的位置的，对吧。这是他们一个特点。绿色在每个角有3种朝向，如果我们对4角进行标记，不妨把1情况叫做(1113从右上角开始标号），2情况叫做（2223），括号里的3就代表绿色块已经在顶面了，3情况（1233），4情况（2133），5情况（1323），6情况（1212），7情况（2112），你有没有发现一些规律呢？括号里数字的和一定是3的整数倍！为啥非得是3的整数倍？建议你去看看一开始的魔方总变化数道理，那里面证明了角块朝向的角度和应该是360度的整数倍。这个限制，决定了我们只能有8种情况。
这个问题真是不特别简单，首先，我们出个题啊，要是魔方顶面4个角位置可以标号1、2、3，就像上面一样可以标成是（1113）（1233）等等，去除旋转后相同的情况，共有多少种标法？

如果不去除旋转相同，那么4个角就是可以区分的，这个答案很简单就是3^4=81种情况，对吧，但是如果去除旋转相同，就 比较复杂了，比如1113和3111是同一种标法，只是魔方顶面转了90度而已，你可以自己先想想这个题。

这是个组合数学的经典问题，叫做Necklace problem（就是用几种颜色的珠子穿项链），或者叫做polya定理，如果有兴趣也可以到这里看看，不过我还是推荐你先自己想一下，这里面的公式会一下子让你很faint，如果你对“欧拉数”之类的概念不熟或根本没听说过的话。

我们这种情况不用mathworld里面的那个公式，枚举法就可以啦：）不过要想的周密一点，答案是24种，我验算了和那个恐怖公式给出的答案一样。而在这24种里，4个数字的"和"被3除的余数，应该是平均分配给0，1，2吧，这个我没有证明，呵呵，这样被3整除的应该就有8个了吧。就是 对好+这7种：

在组合数学中有讨论，其范畴应该属于n阶拉丁方，应该算群伦在组合数学中的应用，为什么你要把它扩展成一个环呢？它的乘法运算怎么来？疑惑中。。。

魔方（Rubik''s Cube）是匈牙利建筑学教授和雕塑家厄尔诺·鲁比克于1974年发明的机械益智玩具，最初被用于帮助学生们认识空间立方体的组成和结构。最初的魔方是三阶立方体，每个面上有九个带颜色的小方块，其中包含6个处于面最中心无法移动的块，12个位于棱上的块和8个角块。一个复原好的魔方六个面各由同一种颜色组成，一般来说，标准的魔方的颜色应该是蓝、白、红、绿、黄和橙色，其中蓝白相对、绿黄相对、红橙相对。

三阶魔方的常用解法由七个步骤组成，一般玩家记住这七个步骤可以在一分钟内将魔方复原。后经数学家Jessica Fridrich女士研究，采用新的方法可以在四个步骤内复原一个三阶魔方，但熟练运用这四个步骤需要记住119个数学公式。

解：
126下。
∵上页的四个角块是18次全部还原（每18次所有角块归位归色）
且上页的四个棱块是14次全部还原（每14次所有棱块归位归色）
∴还原所需次数必须为18和14的公倍数
∴还原所需最少次数为18和14的最小公倍数，为：
2×7×9=126（次）
答：还原所需最少次数为126次。

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金阊区18017744754： 魔方中有什么数学规律?魔方有什么复原公式? - ？
法坚盐酸：[答案] 2008 年七月, 来自世界各地的很多最优秀的魔方玩家聚集在捷克共和国 (Czech Republic) 中部的帕尔杜比采 (Pardubice), 参加魔方界的重要赛事: 捷克公开赛. 在这次比赛上, 荷兰玩家阿克斯迪杰克 (E. Akkersdijk) 创下了一个惊人的纪...

金阊区18017744754： 关于一年级魔方问题,一个六面都是红色的魔方.三面是红色的有几块一个六面都是红色的魔方,三面是红色的有几块 - ？
法坚盐酸：[答案] 8块,每个角上一块,两面的12块,每条边上一块,一面的6快,每个面上一块,没有的1块

金阊区18017744754： 六年级数学题魔方是由27个一样的小正方体拼成的,表面都贴上了彩色贴片.找一个观察不转动,三个面都贴贴片的有几个?两个面都贴的有几个,一个面贴... - ？
法坚盐酸：[答案] 三个面都贴贴片的有8个(8个顶点) 两个面都贴的有12个 一个面贴的有6个 (6个面的最中间一个) 一个面也没贴的有1个(最中间的那个)

金阊区18017744754： 关于魔方的数学题 - ？
法坚盐酸： 可以,花式的一种

金阊区18017744754： 魔方的数学原理是什么? - ？
法坚盐酸：[答案] 以三阶魔方为例. 20个可移动的块,隶属于20个位置. 8个角块有8个可能的位置,12个棱块有12个可能的位置. 每次转动一个面会导致8个块移动位置. 数学原理就这么些. 线性求解就可以算魔方解法.

金阊区18017744754： 魔方的数学问题 - ？
法坚盐酸： 魔方旋转问题可以归结为数学上的群的变换问题,如果是二维空间,可以简单地认为是矩阵的旋转变换,每次旋转代表一个基本变换.那么,旋转的次数就是把旋转变换分解为初等变换的个数.按照如上原理,可以利用计算机完成分解过程.

金阊区18017744754： 魔方上帝指数.可以说是数学题吧.1.最高阶理想魔方是多少阶?多少个正方形?3阶以及9阶魔方是有多少个正方形.多少种乱数可能.中心块有多少.2.上帝指数是... - ？
法坚盐酸：[答案] 能做成最高阶均为正方体为6阶,这个可以通过算顶层旋转45度和第二层形成的那个缺口的长度来看,7阶已经不可能形成.颗粒数m的计算公式与阶数n的关系:m=6n(n-2)+8;3阶变化数:8!x38x12!x212)/(2x2x3)=43,252,003,274,48...

金阊区18017744754： 我会应用数学知识解答问题. 1.买3个魔方,需用多少元?2.小明带了30元钱.  若买小汽车,可以买多少辆?若买小皮球,可以买多少个?3.小明用30元... - ？
法坚盐酸：[答案] 1.4*3=12(元); 2.30÷6=5(辆);30÷5=6(个); 3.30-6=24(元);24÷4=6(个);24÷5= 4(个)……4(元); 4.“略”

金阊区18017744754： 魔方和数学有什么关系? - ？
法坚盐酸：[答案] 解决魔方,可以将其转化为数学问题,然后解决 所以,魔方是可以利用数学解决的.通过数学计算,得到方法. 九连环等也是.高中数学书上还有介绍解九连环的方法.用数学方法!