三角函数公式是怎么计算出来的

三角函数怎么计算~

三角函数可以用Excel来进行计算，现将Excel计算三角函数sin，cos的方法列举如下：
1、打开Excel表格，新建一个空白表格。

2、新建Excel空白表格后，在任意单元格中输入三角函数sin公式sin=SIN（RADIANS(92+32/60+14/3600))。

3、输入sin公式后，点击回车，就可以得到sin值了。

4、之后再在新建空白表格中，任意单元格输入三角函数cos公式cos=COS（RADIANS(92+32/60+14/3600))。

5、输入cos公式后，点击回车、就可以得到cos值了。

以上就是用Excel计算三角函数的方法。

三角函数：
1、两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

2、倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0
以及sin2 (α)+sin2(α-2π/3)+sin2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

3、·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

4、半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

5、和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB

三角函数（Trigonometric function）。

　尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉（1707-1783）在《无穷0小分析引论》一书中首次给出的。在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。如古希腊的托勒密定半径为60；印度
人阿耶波多（约476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107。因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长。

　　意大利数学家利提克斯（1514-1574）改变了前人的做法，即过去一般称AB为 的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起，
而利提克斯却把它称为∠AOB的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆O成为从属地位了。 　　

到欧拉(Euler)时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。
正弦、余弦

正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔.威发(940-998)首先发现与证明的。中亚细亚人艾伯塔鲁尼﹝973-1048﹞(p15)给三角形的正弦定理作出了一个证明。
也有说正弦定理的证明是13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中第一次把三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论证了正弦定理。他还指出，由球面三角形的三个角，可以求得它的三个边，或由三边去求三个角。
这是区别球面三角与平面三角的重要标志。至此三角学开始脱离天文学，走上独立发展的道路。
托勒密（ Claudius Ptolemy
）的《天文学大成》第一卷除了一些初级的天文学数据之外，还包括了上面讲的弦表。
它给出一个圆从 （1/2）°
到180°每隔半度的所有圆心角所对的弦的长度。圆的半径被分为60等分，弦长以每一等分为单位，以六十进制制表达。这样，以符号 crda 表示圆心角a所对的弦长，
例如 crd 36°=　37p4'55"，意思是：36° 圆心角的弦等于半径的 （或37个小部分），加上一个小部分的 ，再加上一个小部分的 ，从下图看出，
弦表等价于正弦函数表
公元6世纪初，印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔3°45'的正弦表，依照巴比伦人和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度为60分，整个圆周为21600份，然后据
2πr=216000，得出r=3438﹝近似值﹞，然后用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之后，再用半角公式算出较小角的正弦值，从而获得每隔3°45'的正弦长表；其中用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。他在计算正弦值的时候，取圆心角所对弧的半弦长，比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概念。印度人还用到正矢和余弦，并给出一些三角函数的近似分数式。

2.正切、余切

著名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼﹝850-929﹞于920年左右，制成了自0°到90°相隔1°的余切[cotangent]表。

公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》。为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度 ，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表，
而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切﹝tangent﹞函数 。而巴坦尼编制的是余切函数表，
而太阳高度﹝角﹞和太阳天顶距﹝角﹞互为余角，这样两人的发现实际上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。

14世纪中叶，中亚细亚的阿鲁伯﹝1393-1449﹞，原是成吉思汗的后裔，他组织了大规模的天文观测和数学用表的计算。他的正弦表精确到小数9位。他还制造了30°到45°之间相隔为1'，45°到90°的相隔为5'的正切表。

在欧洲，英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝1290？-1349﹞首先把正切、余切引入他的三角计算之中。
3.正割、余割

正割﹝secant﹞及余割﹝cosecant﹞这两个概念由阿布尔─威发首先引入。　　sec这个略号是1626年荷兰数基拉德﹝1595-1630﹞在他的《三角学》中首先使用，后经欧拉采用才得以通行。正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的。

欧洲的「文艺复兴时期」，﹝14世纪-16世纪﹞伟大的天文学家哥白尼﹝1473-1543﹞提倡地动学说，他的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密，认为推算更精确的三角函数值表刻不容缓。于是他定圆的半径为1015，以制作每隔10"的正弦、正切及正割值表。当时还没有对数，更没有计算器。全靠笔算，任务十分繁重。利提克斯和他的助手们以坚毅不拔的意志，勤奋工作达12年之久，遗憾的是，他生前没能完成这项工作，直到1596年，才由他的学生鄂图﹝1550-1605﹞完成并公布于世，1613年海得堡的彼提克斯﹝1561-1613﹞又修订了利提克斯的三角函数表，重新再版。后来英国数学家纳皮尔发现了对数，这就大大地简化了三角计算，为进一步造出更精确的三角函数表创造了条件。

4.三角函数符号
毛罗利科早于1558年已采用三角函数符号， 但当时并无
函数概念，于是只称作三角线（ trigonometric
lines）。他以sinus 1m arcus 表示正弦，以sinus 2m arcus表示余弦。

　　而首个真正使用简化符号表示三角线的人是T.芬克。他于1583年创立以“tangent”（正切）及“secant”（正割）表示相应之概念，其后他分别以符号“sin.”,“tan.
”, “sec. ”,“sin. com”,“tan. com”,“ sec.
com”表示正弦，正切，正割，余弦，余切，余割，首三个符号与现代之符号相同。后来的符号多有变化，下列的表便显示了它们之发展变化。

使用者 年代
正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 备注
罗格蒙格斯 1622 S.R. T. (Tang) T. c pl Sec Sec.Compl
吉拉尔
1626 tan sec.
杰克 1696 s. cos. t. cot. sec. cosec.
欧拉 1753 sin. cos.
tag(tg). cot. sec. cosec
谢格内 1767 sin. cos. tan. cot. Ⅰ
巴洛 1814 sin cos.
tan. cot. sec cosec Ⅰ
施泰纳 1827 tg Ⅱ
皮尔斯 1861 sin cos. tan. cotall sec
cosec
奥莱沃尔 1881 sin cos tan cot sec csc Ⅰ
申弗利斯 1886 tg ctg Ⅱ
万特沃斯
1897 sin cos tan cot sec csc Ⅰ
舍费尔斯 1921 sin cos tg ctg sec csc Ⅱ

注：Ⅰ－现代（欧洲）大陆派三角函数符 Ⅱ－现代英美派三角函数符号

我国现正采用Ⅰ类三角函数符号。

1729年，丹尼尔．伯努利是先以符号表示反三角函数，如以AS表示反正弦。1736年欧拉以At 表示反正切，一年后又以Asin 表示
于单位圆上正弦值相等于 的弧。
　　1772年，C．申费尔以arc. tang. 表示反正切；同年，拉格朗日采以
表示反正弦函数。1776年，兰伯特则以arc.
sin表示同样意思。1794年，鲍利以Arc.sin表示反正弦函数。其后这些记法逐渐得到普及，去掉符号中之小点，便成现今通用之符号，如arc sin x，arc
cos x 等。于三角函数前加arc表示反三角函数，而有时则改以于三角函数前加大写字母开头Arc，以表示反三角函数之主值。

　　另一较常用之反三角函数符号如sin-1x
，tan-1x等，是赫谢尔于1813年开始采用的，把反三角函数符号与反函数符号统一起来，至今亦有应用。
1.诱导公式

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)

sin(π2-a)=cos(a)

cos(π2-a)=sin(a)

sin(π2+a)=cos(a)

cos(π2+a)=-sin(a)

sin(π-a)=sin(a)

cos(π-a)=-cos(a)

sin(π+a)=-sin(a)

cos(π+a)=-cos(a)

2.两角和与差的三角函数

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)
tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)

3.和差化积公式

sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)
sin(a)−sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)

cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) }
cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b/2

至于泰勒级数和傅立叶级数，那不是三言两语就说得清楚的，这要你学了高等数学中的级数后你就会明白的了。

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阿克塞哈萨克族自治县17221162770： 三角函数公式怎么推导的?原理 - ？
丁纪利必： 三角函数公式最基本的只有两个: sin(α+/-β)=sinα cosβ +/- cosα sinβ cos(α+/-β)=cosα cosβ -/+ sinα sinβ 这两个公式当然可以证明,而且数学课本上应该有证明. 其他的所有公式,包括和差倍半、诱导公式、和差化积、积化和差,全部都是这两个公式的衍生品. 仅举一例: tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(sinα cosβ + cosα sinβ)/(cosα cosβ - sinα sinβ)=(tanα + tanβ)/(1 - tanα tanβ)(上下同除cosα cosβ).

阿克塞哈萨克族自治县17221162770： 求三角函数计算方法 - ？
丁纪利必： 三角函数常用公式:(^表示乘方,例如^2表示平方) 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 以及两个不常用,已趋于被淘汰的函数: 正矢函数 versinθ =1-cosθ 余矢函数 ...

阿克塞哈萨克族自治县17221162770： 三角函数表是怎样算出来的?200字以上 - ？
丁纪利必：[答案] 用泰勒公式算的.如sinx=x-x^3/3+x^5/5……

阿克塞哈萨克族自治县17221162770： 三角函数怎么算,公式是什么 - ？
丁纪利必：[答案] 倒数关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1商的关系:sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 ...

阿克塞哈萨克族自治县17221162770： 三角函数最简单的算法谁知道三角函数是怎么算出来的 要最简单的算法 - ？
丁纪利必：[答案] 同角三角函数间的基本关系式: ·平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·商的关系: tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα ·倒数关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式: ·两角和与...

阿克塞哈萨克族自治县17221162770： 三角函数的值在计算机(或计算器)中时怎样计算出来的?例如:我们知道sin(30°)=0.5,但是我就不知道它的值是按照什么公式计算出来的,是咋个推导出... - ？
丁纪利必：[答案] 先把30度化成弧度制(不知道你学了没有) 是sin(π/6) 然后代入sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+... 他有无数项 算到规定的景区度即可 这个公式要用高等数学中的泰勒公式推出的 估计你还没学

阿克塞哈萨克族自治县17221162770： 请问任一角度的三角函数值是怎么求出来的?请具体举例, - ？
丁纪利必：[答案] 如果在高中范围内,可以查表或者按计算器.如果用高等数学,可以利用Taylor公式求出几个三角函数的Maclaurin公式,比如Sinx=x!-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+.Cosx=1-(x^2/2!)+(x^4/4!)-(x^6/6!)+.如果任意角,可以用5组诱...

阿克塞哈萨克族自治县17221162770： 三角函数是怎么计算出来的? - ？
丁纪利必： 测量加计算.特殊角可以测量,也可以计算,有的非特殊角可以转换为特殊角来计算,有的要通过函数变换来推算.现在有了计算机和计算器,任何角都可以计算了.

阿克塞哈萨克族自治县17221162770： 三角函数怎样推算? - ？
丁纪利必： 灵活运用公式就OK啦.都要背滴,尤其是最基本的那几个. 诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(pi/2-a)=cos(a) cos(pi/2-a)=sin(a) sin(pi/2+a)=cos(a) cos(pi/2+a)=-sin(a) sin(pi-a)=sin(a) cos(pi-a)=-cos(a) sin(pi+a)=-sin(a) cos(pi+a)=-cos(a) ...

阿克塞哈萨克族自治县17221162770： 关于三角函数的计算公式,越全越好. - ？
丁纪利必： 和差化积 sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2) sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2) cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2) cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2) 积化和差 sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ= ...