三次方程因式分解方法
初三数学题,三次方程怎么解?利用因式分解来帮忙,解题很方便!
因式分解3次方公式,值得收藏哦
因式分解法不是对所有的三次方程都适用,只对一些三次方程适用.对于大多数的三次方程,只有先求出它的根,才能作因式分解.当然,因式分解的解法很简便,直接把三次方程降次.例如:解方程x^3-x=0 对左边作因式分解,得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根:x1=0,x2=1,x3=-1.
2.另一种换元法
对于一般形式的三次方程,先用上文中提到的配方和换元,将方程化为x+px+q=0的特殊型.令x=z-p/3z,代入并化简,得:z-p/27z+q=0.再令z=w,代入,得:w+p/27w+q=0.这实际上是关于w的二次方程.解出w,再顺次解出z,x.
3.盛金公式解题法
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公式,并有相应的判别法,但使用卡尔丹公式解题比较复杂,缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式,并建立了新判别法.
盛金公式
一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0)。 重根判别式:A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd, 总判别式:Δ=B^2-4AC。 当A=B=0时,盛金公式①: X1=X2=X3=-b/(3a)=-c/b=-3d/c。 当Δ=B^2-4AC>0时,盛金公式②: X1=(-b-(Y1)^(1/3)-(Y2)^(1/3))/(3a); X2,3=(-2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)-(Y2)^(1/3))/(6a), 其中Y1,2=Ab+3a(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2,i^2=-1。 当Δ=B^2-4AC=0时,盛金公式③: X1=-b/a+K; X2=X3=-K/2, 其中K=B/A,(A≠0)。 当Δ=B^2-4AC<0时,盛金公式④: X1=(-b-2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a); X2,3=(-b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a), 其中θ=arccosT,T=(2Ab-3aB)/(2A^(3/2)),(A>0,-1<T<1)。
盛金判别法
①:当A=B=0时,方程有一个三重实根; ②:当Δ=B^2-4AC>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根; ③:当Δ=B^2-4AC=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根; ④:当Δ=B^2-4AC<0时,方程有三个不相等的实根。
盛金定理
当b=0,c=0时,盛金公式①无意义;当A=0时,盛金公式③无意义;当A≤0时,盛金公式④无意义;当T<-1或T>1时,盛金公式④无意义。 当b=0,c=0时,盛金公式①是否成立?盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值?盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值?盛金定理给出如下回答: 盛金定理1:当A=B=0时,若b=0,则必定有c=d=0(此时,方程有一个三重实根0,盛金公式①仍成立)。 盛金定理2:当A=B=0时,若b≠0,则必定有c≠0(此时,适用盛金公式①解题)。 盛金定理3:当A=B=0时,则必定有C=0(此时,适用盛金公式①解题)。 盛金定理4:当A=0时,若B≠0,则必定有Δ>0(此时,适用盛金公式②解题)。 盛金定理5:当A<0时,则必定有Δ>0(此时,适用盛金公式②解题)。 盛金定理6:当Δ=0时,若B=0,则必定有A=0(此时,适用盛金公式①解题)。 盛金定理7:当Δ=0时,若B≠0,盛金公式③一定不存在A≤0的值(此时,适用盛金公式③解题)。 盛金定理8:当Δ<0时,盛金公式④一定不存在A≤0的值。(此时,适用盛金公式④解题)。 盛金定理9:当Δ<0时,盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值,即T出现的值必定是-1<T<1。 显然,当A≤0时,都有相应的盛金公式解题。 注意:盛金定理逆之不一定成立。如:当Δ>0时,不一定有A<0。 盛金定理表明:盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。 当Δ=0(d≠0)时,使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较,盛金公式的表达形式较简明,使用盛金公式解题较直观、效率较高;盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd是最简明的式子,由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2-4AC也是最简明的式子(是非常美妙的式子),其形状与一元二次方程的根的判别式相同;盛金公式②中的式子(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式,这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
盛金公式出处
以上盛金公式的结论,发表在《海南师范学院学报(自然科学版)》(第2卷,第2期;1989年12月,中国海南。国内统一刊号:CN46-1014),第91―98页。范盛金,一元三次方程的新求根公式与新判别法。
如何将一个一次方程分解因式?
提公因式法;公式法——完全平方式两个、平方差公式;十字相乘法,如 x²+(a+b)+ab=(x+a)(x+b).2.因式分解法:当一元二次方程的一边是0,而另一边是易于分解成两个一次因式的乘积时,用分解因式的方法求解——一元二次方程的因式分解法.3.用因式分解法解一元二次方程的条件是:方...
一元二次方程因式分解法的四种方法
第二种方法是配方法,通过添加或减去常数项,使得二次项系数变为1,然后配方成完全平方的形式,便于提取公因式或直接开平方。这种方法适用于二次项系数为1且常数项为完全平方数的方程。接下来是公式法,也称为求根公式法,它是基于二次方程的通解公式ax²+bx+c=0,通过公式x=[-b±√(b...
怎样把三次方程分解因式?
在分解二次三项式时,十字相乘法是常用的基本方法,对于比较复杂的多项式,尤其是某些二次六项式,如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3,也可以运用十字相乘法分解因式,其具体步骤为: (1)用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式,得到一个十字相乘图 (2)把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第...
一元三次因式分解的方法与技巧
1、分组分解法:通过在方程中“加项”、“减项”、“拆项”的方法,目的是为了将一元三次多项式方程分解成两组多项式和的形式,然后再每一组进行因式分解,再进行提取公因式,最后整理为三个一次因式乘积、或者是两个因式(一个一次因式与一个两次因式)乘积。2、整除法:对于整除法是要看最高次幂的...
一元二次方程因式分解方法
因式分解的方法:对于一元二次方程ax²+bx+c=0,可以通过因式分解的方法求解。具体方法如下:1.对方程两边同时除以a,得到x²+b'x+c'\/a=0,其中b'=b\/a,c'=c\/a。2.将x²+b'x+c'\/a表示成(x+m)(x+n)的形式,其中m、n为待定系数。3.将(x+m)(x+n)展开,得到...
一元二次方程因式分解法的四种方法
求根公式是用配方法解一元二次方程的结果,用它直接解方程避免繁杂的配方过程。因此没有特别要求,一般不会用配方法解方程。四、因式分解法:先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次。一般步骤为:(1)移项:将方程的右边化为0;(2)化积:把...
一元二次方程的解法因式分解法
一元二次方程的解法因式分解法有四种解法:直接开平方法;配方法;公式法;因式分解法。解一元二次方程的基本思想方法为通过“降次”将它化为两个一元一次方程。1、直接开平方法 形如x²=p或(nx+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。2、配方法:用配...
如何将三次方程因式分解?
三次项因式分解方法如下:1、提取公因式法:找到各项的公因式,然后提取出来。2、公式法:利用平方差公式或完全平方公式进行因式分解。3、十字相乘法:将多项式写成两组多项式的积的形式,再利用十字相乘法进行因式分解。4、拆项法:将多项式拆成两项或多项的积的形式,再利用公式进行因式分解。5、待定...
一元多次方程式的解法有哪些种?
2、因式分解法:对于一些可以因式分解的多次方程式,可以将其转化为两个或多个一次方程式,然后解得未知数的值。例如,对于方程式x的平方-4=0,可以因式分解为(x-2)(x+2)=0,从而得到x的两个解为2和-2。3、公式法:对于二次方程式(ax的平方+bx+c=0),可以使用求根公式来求解。求根公式...
一元二次方程因式分解怎么分解?
一元二次方程的因式分解可以用十字相乘法。使用该方法要先将方程化简为一般式。举个例子,x^2-3x+2=0首先,我们看看第一项,是x^2,二次项系数为1,则先把二次项系数分解成两个因数相乘的形式:1×1。然后再看常数项是2 ,把常数项分解成两个因数相乘的形式:1×2或-1×(-2)。我们再看...
端奔肝舒:[答案] 中学阶段的高次方程一般都能简单分解, 先试一些简单的整数根如 -1,0,1 等,如果满足就可确定一个因子,然后凑另一个因子的系数. 如 x^3-2x^2-19x+20 ,系数和为 0,说明有因子 x-1 , 然后 x^3 - 2x^2 - 19x + 20=(x-1)(x^2+ax+b),展开比较系数...
博野县13074609958: 因式分解三次方程 - ?
端奔肝舒: 十字用不着 a³-a²+1+1=0 (a³+1)-(a²-1)=0 (a+1)(a²+1-a)-(a+1)(a-1)=0 (a+1)(a²+1-a-a+1) (a+1)(a²-2a+2)=0
博野县13074609958: 一般的三次方程要怎么因式分解呢?一般的三次方程要怎样分解?例如求X^3 - 7X^2+16X - 12=0 可以分解出(X - 3)(X - 2)^2=0 - ?
端奔肝舒:[答案] 一般的三次方程分解和一般的二次方程分解一样都是求根法,首先用求根公式求出其三个根a,b,c.则方程就可以分解为K(x-a)(x-b)(x-c).K为最高次项的系数,通常可以约为1.你想问的应该不是这个吧~如你所举的例子那样可以整...
博野县13074609958: 如何利用因式分解解三次方程 - ?
端奔肝舒:[答案] 一般用常数项的约数代入方程,如a代入等式成立,就说明有一根为a,然后通过拆项使每一部分都有因式x-a,再分解,求出其他根,当然具体情况还要具体分析.
博野县13074609958: 如何用因式分解法一元三次方程怎么解 - ?
端奔肝舒:[答案] 第一步先细算打散,然后再整理,然后在过程中,但大多在简化的结果中再分解. 12ax^3-12ax-16=(4x-4)(3ax^2+3ax-1) 12ax^3-12ax-16=(12ax^3+12ax^2-4x)-(12ax^2+12ax-4) 12ax^3-12ax-16=12ax^3+12ax^2-4x-12ax^2-12ax+4 -16=-4x+4 4x=20 x=5 ...
博野县13074609958: 一般三次方程式是怎么样因式分解的?形如:ax^3+bx^2+cx+d=0的式子怎么进行因式分解? - ?
端奔肝舒:[答案] 塔塔利亚发现的一元三次方程的解法 一元三次方程的一般形式是:x3+sx2+tx+u=0如果作一个横 坐标平移y=x+s/3,那么我们就可以把方程的二次项消去. 所以我们只要考虑形如:x3=px+q的三次方程. 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式,这里a和b是...
博野县13074609958: 一元三次方程怎么能快速有效的因式分解啊? - ?
端奔肝舒:[答案] 一元三次方程有求根公式--卡丹公式,但是书本上的作业或是考试通常都能分解出至少一个一次因式.若此有有理因式,则此根为常数项的因数,1或-1是最常见的两个因数.预先尝试将此因子代入方程,如果为0,则表明此因子是方程的根,这样就可以...
博野县13074609958: x^3+1的因式分解?像这种有三次的方程怎么因式分解啊?是不是有三次分解的公式啊? - ?
端奔肝舒:[答案] 公式:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) 就可以分解了
博野县13074609958: 三次方的式子如ax^3+bx^2+cx+b该如何因式分解?好像形如二次的十字相乘,三次有个类似的方法! - ?
端奔肝舒:[答案] 三次方的多项式没有类似于十字相乘法的因式分解方法 不过有求根公式法 假设ax^3+bx^2+cx+d=0的三个根为x1 x2 x3 则因式分解的结果为:a(x-x1)(x-x2)(x-x3) 至于一元三次方程的求根公式,你可以在百度上搜索“盛金公式”
博野县13074609958: 如何因式分解来解一元三次方程?以x3+6x2 - 7x - 2=0为例. - ?
端奔肝舒: 我的意见跟楼上的不一样 首先,你的题目应该错了,应该是X^3+6X^2+7X-2 下面就是分解因式(重点) 我使用的是待定系数法,设X^3+6X^2+7X-2 =(x+a)(x^2+bx+c), 至于为什么这样设置,一定要分为一个一此项,一个二次代数式,因为题目是3次项,化简得到a+b=6, ab+c=7, ac=-2,解得a=2,b=4,c=-1 所以 x^3+6x^2+7x-2=(x+2)(x^2+4x-1) 仅供参考,谢谢