下列多项式在有理数域上是否可约？ 1. x*p+px+1,p是奇素数 2.x*6+x*3+1 要具体过程谢谢

大学高等代数中一道题，多项式x^p+px+1，p为奇素数，在有理数域上是否可约（请用艾森斯坦因判别~

令x=y-1，则
x^p+px+1
=(y-1)^p+py-p+1
=y^p-C[p,p-1]y^(p-1)+...+(C[p,1]+p)y-p
由于
p不整除1
p|-C[p,p-1],...,-C[p,2],C[p,1]+p,-p
p^2不整除-p
由艾森斯坦判别法知(y-1)^p+py-p+1不可约，故x^p+px+1不可约。

令x=y-1，则
x^p+px+1
=(y-1)^p+py-p+1
=y^p-C[p,p-1]y^(p-1)+...+(C[p,1]+p)y-p
由于
p不整除1
p|-C[p,p-1],...,-C[p,2],C[p,1]+p,-p
p^2不整除-p
由艾森斯坦判别法知(y-1)^p+py-p+1不可约，故x^p+px+1不可约。

第一个令X=Y-1 第二题利用X=Y+1 然后用爱森斯坦判别式

数怎么能约呢？很不诚实

楼主你好，这是哪个年级的题目？在我看来应该是不能约的，不过你可以用对数涵数把它表示出来。可以把x*p表示出来

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河西区18889179993： 下列多项式在有理数域上是否可约? 1. x*p+px+1,p是奇素数 2.x*6+x*3+1 要具体过程谢谢 - ？
范罗代芳：[答案] 楼主你好,这是哪个年级的题目?在我看来应该是不能约的,不过你可以用对数涵数把它表示出来.可以把x*p表示出来

河西区18889179993： x^4 - 8x^3+12x^2+2在有理数域上是否可约 - ？
范罗代芳： 不可约![证明]利用艾森斯坦因判别法 取素数p=2,显然:p不可整除最高次项系数1,可分别整除其余项系数-8、12、2,但p^2不可整除常数项2.∴给定的多项式在有理数域上是不可约的.

河西区18889179993： 判断多项式x^4+2x^3 - 16x^2+6x+2在有理数域上是否可约? 等待ing - ？
范罗代芳： 解:令f(x)=x^4+2x^3-16x^2+6x+2 四次项系数为1,常数项为2,而2的因数为±1、±2 ∴在有理数域上可能因式x+1、x-1、x+2、x-2.∴f(-1)=-20≠0 f(1)=-6≠0 f(-2)=-74≠0 f(2)=-18≠0 ∴在有理数域上不可约

河西区18889179993： 判断多项式在有理数域上是否可约 - ？
范罗代芳： 由f(x) = x^6+x^3+1是x^9-1的因式,不难求出f(x)的6个根: e^(±2πi/9),e^(±4πi/9),e^(±8πi/9). 可设f(x) = g(x)h(x),其中g,h都是首一的整系数多项式. 由实系数多项式虚根成对,e^(±2πi/9)要么同时是g(x)的根,要么同时是h(x)的根. 于是g(x)或h(x)含有因...

河西区18889179993： 判断多项式在有理数域上是否可约.以下两种方法都可以用是吧? - ？
范罗代芳： 第一个不可以,像x^4-4,无有理根,但在有理数域上可约,不可用根的有无来判断

河西区18889179993： 证明多项式f(x)=1 - (x - 1)(x - 2)(x - 3)……(x - n)在有理数域上不可约 - ？
范罗代芳： 方便起见, 不妨改为证明f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)-1不可约.用反证法, 假设f(x) = g(x)h(x), 其中g(x), h(x)都是次数不小于1的有理系数多项式.由Gauss引理, 不妨设g(x)与h(x)都是首1的整系数多项式.依次带入x = 1, 2,..., n, 可知g(k)h(k) = f(k) = -1...

河西区18889179993： f(x)=x^3 - 6x^2+15x - 14在有理数域上是否可约?写明判断依据 - ？
范罗代芳：[答案] 如果可约,零点可能是14的约数,从±1,±2,±7,±14代入试验 f(1)=1-6+15-14=-4 f(-1)=-1+6-15-14=-24 f(2)=8-24+30-4=0 找到零点2,f(x)有因子(x-2),在有理数域上可约. 找判据,并不要求直接分解,应该用代入法找零点更易计算.

河西区18889179993： x^4 - 2x^3+2x - 3在有理数域是否可约 - ？
范罗代芳：[答案] f(x)=x^4-2x^3+2x-3在有理数域可约,±1,±3一定是它的根 但是检验后知它们都不是f(x)=0的根 所以,x^4-2x^3+2x-3在有理数域不可约.

河西区18889179993： 多项式x^6+x^3+1在有理域是否可约?怎么判断呢?(不满足艾森斯坦法,还有谁知道别的方法吗? - ？
范罗代芳：[答案] 由f(x) = x^6+x^3+1是x^9-1的因式,不难求出f(x)的6个根:e^(±2πi/9),e^(±4πi/9),e^(±8πi/9).可设f(x) = g(x)h(x),其中g,h都是首一的整系数多项式.由实系数多项式虚根成对,e^(±2πi/9)要么同时是g(x)的根,要么...

河西区18889179993： 多项式x^3 3x^2 - x 2在有理数域上是否不可约 - ？
范罗代芳： 一个3次多项式若在有理数域上可约则必含有有理的1次因子. 换句话说必须有有理根. 假设f(x)有有理根p/q,其中p,q为互质的整数. f(x)作为整系数多项式,可以证明p整除常数项,而q整除首项系数. 对f(x) = x^3+3x+1来说,只有p/q = 1或-1. 但容易验证1和-1都不是f(x)的根,因此f(x)没有有理根,故在有理数域上不可约. 注意,对于4次及以上的有理系数多项式, 没有有理根只是在有理数域上不可约的必要非充分条件.