为什么矩阵的秩与零空间的维数之和等于矩阵的行数？
如果我们考虑一个矩阵A，其列数为n。在研究A的行空间时，我们符号常用rk(A)来代表矩阵A的秩。然后，我们可以考虑矩阵A中每个向量所构成的线性组合，这里的向量可以是行向量或列向量。
根据上面提及的定理，矩阵A列空间的维数就是rk(A)，因此它的列空间的基本向量张成了一个rk(A)维的欧氏空间。同样，我们考虑矩阵 A的零空间，它相当于矩阵A的{0}解的集合，并且显然零空间与列空间正交。
假设矩阵A的列空间的维数为k，那么A的零空间的维数就是n-k（也就是剩余未张成的线性空间），这是由于A的列空间和零空间的维数之和始终等于矩阵A的列数。
这样就得到了“维数是n减去矩阵的秩”的公式： n - rk(A) = dim(N(A))
简而言之， “维数是n减去矩阵的秩”的公式是线性代数中使用最广泛的公式之一，它为我们提供了在计算矩阵的零空间时将矩阵的秩应用于线性空间中的一种简单方法。
怎样求矩阵的秩
矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，...
矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩 这句话怎样理解...
矩阵的秩等于非零行（全是零的行）的行数也等于非零列（全是零的列）的列数 一个行向量就是矩阵的一行数，一个列向量就是矩阵的一列数
矩阵的秩和伴随矩阵的秩之间有什么关系
矩阵秩与伴随矩阵秩之间存在紧密的关系。首先，当一个方阵A的秩r(A)等于其阶数n时，由于|A|不为零，其伴随矩阵A*的行列式也不为零，因此r(A*)同样等于n。其次，若r(A)=n-1，尽管|A|=0，但A至少存在一个n-1阶非零子式，这保证了A*至少有一个非零元素，从而r(A*)大于等于1。进一步...
矩阵的秩与矩阵是否可逆 有什么关系啊
2、A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA，或rankA或R(A)。 特别规定零矩阵的秩为零。 显然rA≤min(m,n) 易得： 若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常...
一个矩阵的秩为零的充要条件是什么?
应该是零矩阵吧！否则，有任意一个非零数字，在利用行（或列）变换时，总有不为零的数存在，秩至少要大于1．
两个矩阵的乘积为零 它们的 秩有什么关系
关系： r(A)+r(B)<=n；推导过程如下：设AB = 0, A是mxn, B是nxs 矩阵；则 B 的列向量都是 AX=0的秩；所以 r(B)<=n-r(A)；所以 r(A)+r(B)<=n。
线性相关性与矩阵的秩
误区提示：整体向量相关或无关与部分向量相关或无关并非一一对应关系，需正确理解相关性。对于矩阵，研究其行秩与列秩。将矩阵视为行向量或列向量的集合，研究线性相关性。系数行列式可判断矩阵的秩。当m个向量，n个分量时，m等于n时，系数行列式不等于零表示线性无关，等于零表示线性相关；m大于n时，...
方阵的秩和特征值之间有什么联系吗?
有关系的。如果矩阵可以对角化,那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化,这个结论就不一定成立了。为讨论方便，设A为m阶方阵。证明：设方阵A的秩为n。因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变成形如：1 0 …0 …0 0 1 …0 …0 ………0 0 …1 …0 0 0 …0 …0 …...
能否简单通俗点解释矩阵A的秩与Ax=0的解之间的关系
设A是m行n列矩阵, 则 r(A) = n <=> AX=0 只有零解 r(A) < n <=> AX=0 有无穷多解 此时A的列向量组线性相关, 其为零的线性组合的组合系数就是AX=0的解
老师请问:设有n阶矩阵A,A=0是指矩阵每个元素都为零,还是秩(A)<n...
A=0,是指矩阵每个元素都为零 秩(A)<n 的充要条件是A的行列式 |A| = 0.AB=0 是 A与B的乘积等于零矩阵
粱魏久强：[答案] 矩阵的行向量组成的线性空间的维数称为矩阵的行秩.矩阵的列向量组成的空间的维数成为矩阵的列秩.可以证明:对于任何矩阵有,行秩=列秩.由此,行秩和列秩统称为矩阵的秩.矩阵的秩用R(A)表示.矩阵的零空间指的是方程AX=0...
中站区19460403772： 矩阵的秩等于矩阵的迹 - ？
粱魏久强： 只考虑对角阵,则矩阵的秩表示对角元中多少个非零,矩阵的迹表示所有对角元的和.所以如果对角阵的对角元全为0或1(即投影矩阵),秩一定等于迹.不然除非对角阵的对角元非常特殊,例如二阶对角阵的两个对角元为3和-1,则秩=迹=2;如果两个对角元为3和0,则秩=1,迹=3 对于一般的矩阵,由特征值求秩时还要考虑特征值0对应的特征子空间的维数,问题显得更复杂.但除非很特殊的情况(例如投影矩阵),秩一般不等于迹
中站区19460403772： 一个矩阵的秩是r则它的像的维数和核的维数是多少 有关系吗? - ？
粱魏久强： dimR(A)+dimK(A)=A的列数.也就是像的维数加上核的维数应该等于矩阵的列数.跟矩阵的秩没有直接关系.这个叫做线性变换的维数定理.《矩阵论》上都有的,...
中站区19460403772： 设齐次方程Ax=0的系数矩阵A的秩为r,则方程组的解空间的维数是? 求解的和过程 - ？
粱魏久强： n-r 解:A的秩为r,则变换矩阵为A的线性变换的值域的维数为r 解空间的维数即线性变换的核的维数. 由定理 维(A的值域)+维(A的核)=n(阶数) 得解空间的维数为n-r
中站区19460403772： 矩阵乘积的秩的研究目的和意义 - ？
粱魏久强： 一个最大无关组,向量组的秩又恰好等于其构成的矩阵的秩,这使得矩阵的秩与向量空间的维数和向量空间的基相联系.因此,研究矩阵的秩、向量组的秩、向量空间的维数以及线性方程组解得理论和方法密不可分
中站区19460403772： 矩阵的属于不同特征值的特征子空间的维数之和为什么不大于n - ？
粱魏久强：[答案] 每个特征值的子空间的维数都不大于该特征值重根的次数,所有特征值乘以其重数再求和,其值不大于矩阵维数n,因此不同特征值子空间维数之和不大于n
中站区19460403772： 矩阵的秩均小于或者等于它的维度或阶数吗? - ？
粱魏久强： 维数是线性空间的概念,矩阵没有维数这个说法.矩阵秩小于或等于阶数是对的.
中站区19460403772： 矩阵的行阵与列阵的秩相等是什么意思.为什么 请清楚说明谢谢 - ？
粱魏久强： 矩阵的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵A的秩.通常表示为r(A),rk(A)或rank A.m * n矩阵的秩最大为m和n中的较小者,表示为 min(m,n).有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩;类似的,否则矩阵是秩不足(或称为“欠秩...
中站区19460403772： 向量组的秩与向量维数的关系是p=n+1对吗? - ？
粱魏久强：[答案] “向量组的秩与向量维数的关系是p=n+1”不对! 向量组的秩等于它所组成的矩阵的秩,如m个n维列向量a1,a2,...,am组成矩阵A=(a1,a2,...,am)是n行m列矩阵,矩阵A的秩是小于等于n,也小于等于m的.
