人教版七年级上册的数学勾股定理证明法

人教版七年级上册的数学勾股定理证明法多少种都可以~

代数方法、几何方法，都可以证明。

达芬奇的勾股定理证明法是用两张一样的纸片拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，利用求两个空洞面积的表达式相等证明出勾股定理。如下图：

如图所示就是两张一样的纸片拼出的不一样空洞的示意图，
前提包括：连接BE、CF交于点G，有四边形ABGF、四边形GCDE均为正方形，
连接B'F'、C'E'，有四边形B'C'E'F'为正方形，
设正方形ABGF的边长=A'B'=D'E'=a，
BC=EF=正方形B'C'E'F'的边长=c，
多边形A'B'C'D'E'F'的面积=2×△A'B'F'的面积+正方形B'C'E'F'的面积，
=2(ab÷2)+c²=ab+c²，
又因为两个空洞面积相等，即a²+b²+ab=ab+c²，
所以化简可得a²+b²=c²，由此证得勾股定理。

扩展资料：
欧几里得证法
在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）
三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。
证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。
其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。
分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。
∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。
因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。
因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。
因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四边形BDLK=BAGF=AB²。
同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC²。
把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。
此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。
由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。
参考资料来源：百度百科--勾股定理

最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边，c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分，将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。
下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibn Qorra（826～901）已经知道。（如：右图）下面的一种证法，是H•E•杜登尼（Dudeney）在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。
如右图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。
下图的证明方法，据说是L•达•芬奇（da Vinci, 1452～1519）设计的，用的是相减全等的证明法。欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是：
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。
同理，(BC)2=KEBL
所以
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara，活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上，
婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有
c/b=b/m，
c/a=a/n,
cm=b2
cn=a2
两边相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
这个证明，在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。

有几位美国总统与数学有着微妙联系。G•华盛顿曾经是一个著名的测量员。T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield, 1831～1888），他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。
关于这个定理，有许多巧妙的证法（据说有近400种），下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。
证法1 如图26-2，在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为c2，b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。
过C引CM‖BD，交AB于L，连接BC，CE。因为
AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，
所以 △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
同法可证
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC，
即 c2=a2+b2
证法2 如图26-3（赵君卿图），用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH，它的边长是a+b，在它的内部有一个内接正方形ABED，它的边长为c，由图可知。
SCFGH=SABED+4×SABC，
所以 a2+b2=c2
证法3 如图26-4（梅文鼎图）。
在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明（从略），延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。设
五边形ACKDE的面积=S
一方面，
S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积
=c2+ab (1)
另一方面，
S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积
+2倍△ABC面积
=b2+a2+ab. (2)
由(1)，(2)得
c2=a2+b2
证法4 如图26-5（项名达图），在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的两个直角边CA，CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）。可以证明（从略），GF的延长线必过D。延长AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，则EKGH必为边长等于a的正方形。
设五边形EKJBD的面积为S。一方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另一方面，
S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1)，(2)
得出论证

都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理）图见http://ett.edaedu.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc

勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法！但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式，记载在数学巨著《几何原本》里。在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a） 2 。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以下网址为赵爽的“勾股圆方图”：http://cimg.163.com/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。 以下网址为刘徽的“青朱出入图”：http://cimg.163.com/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif

---

松溪县13653075317： 勾股定理的证明,越多越好(必须要有图)？
南贝依琼： ——勾股定理的证明 1.中国方法 画两个边长为(a+b)的正方形,如图,其中a、b为直角边,c为斜边.这两个正方形全等,故面积相等. 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形,左右四个三角形面积之和必相等.从左右两图中都把...

松溪县13653075317： 最简单的勾股定理的证明方法是什么? - ？
南贝依琼： 简单的勾股定理的证明方法如下: 做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形. 发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边...

松溪县13653075317： 证明勾股定理 - 证明 勾股定理？
南贝依琼： 如图,由四个完全相同的直角三角形拼成. 很明显,内部小正方形的面积=外部大正方形的面积-四个三角形面积 设直角三角形的两个直角边分别为a、b,小正方形的边长为l,则: l^=(a+b)^-4*[(a*b)/2] ===>l^=a^+2ab+b^-2ab ===>l^=a^+b^ 这就是勾股定理的证明.

松溪县13653075317： 急求勾股定理的证明方法和图和证明人 - ？
南贝依琼： 下为赵爽证明—— 青朱出入图三角形为直角三角形,以勾a为边的正方形为朱方,以股b为边的正方形为青方.以盈补虚,将朱方、青方并成弦方.依其面积关系有a^2+b^2=c^2.由于朱方、青方各有一部分在玄方内,那一部分就不动了. 以勾为...

松溪县13653075317： 怎样证明勾股定理 - ？
南贝依琼： 勾股定理是初等几何中的一个基本定理.所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.这个定理有十分悠久的历史,几乎所有文明古国(希腊、 中国、埃及、巴比伦、印度等) 对此定理都有所研究.勾股定理...

松溪县13653075317： 关于勾股定理证明 - ？
南贝依琼： △ABB',∠MBA'2)AB*B'A'B',连接AA撇 BB撇 延长B撇A撇交AB于点M 因为△A'B*B'A'A'M=(a-b)*b/A'2)A'交AB于点M 则;c] =(1/C+∠B'A'M/B的面积=(1/在直角三角形ABC绕直角顶点C旋转点A落在BC上点A撇利用阴影部分面积完成勾股定理的...

松溪县13653075317： 求一些著名的勾股定理的证明方法(要带图滴) - ？
南贝依琼： 勾股定理的证明勾股定理是数学中最重要的定理之一.也许在数学中还找不到这样一个定理,其证明方法之多能够超过勾股定理.它有四百多种证明!卢米斯(Loomis)在他的《毕达哥拉斯定理》一书的第二版中,收集了这个定理的37O种证...

松溪县13653075317： 勾股定理证明方法 - ？
南贝依琼： 中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话: 周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数...

松溪县13653075317： 勾股定理的证明？
南贝依琼： 梯形面积:ab/2+c^2/2+ab/2=ab+c^2/2(三个三角形面积和) 又=(a+b)(a+b)/2=a^2/2+b^2/2+ab.(梯形面积公式). 推出:c^2=a^2+b^2.

松溪县13653075317： 勾股定理的证明方法?？
南贝依琼： 勾股定理的证明: 在这数百种证明方法中,有的十分精彩,有的十分简洁,有的因为证明者身份的特殊而非常著名. 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明,据说分别来源于中国和希腊. 1.中国方法:画两个边长为(a+b)的正方形,如图,...