数学模型

常见的数学模型有哪些~

1、生物学数学模型
2、医学数学模型
3、地质学数学模型
4、气象学数学模型
5、经济学数学模型
6、社会学数学模型
7、物理学数学模型
8、化学数学模型
9、天文学数学模型
10、工程学数学模型
11、管理学数学模型

扩展资料
数学模型的历史可以追溯到人类开始使用数字的时代。随着人类使用数字，就不断地建立各种数学模型，以解决各种各样的实际问题。
数学模型这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念，各种公式和各种理论。
因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。
参考资料来源：百度百科-数学模型

数学建模就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。
当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述来建立数学模型。
数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。

扩展资料：
从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。
1. 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。
2. 代数方法--求解离散问题(离散的数据、符号、图形)的主要方法。
3. 逻辑方法--是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。
4. 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。
5. 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。
从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。
1. 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi, fi)i=1,2…n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
2. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
3. 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi, fi)i=1,2…n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
4. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
参考资料：百度百科——数学建模

“盐随水来，盐随水去”这句俗语是人们在长期生产实践中得出的经验，通俗而形象地说明了盐与水的关系。客观地反映了水是可溶性盐分的载体，也集中地体现了盐碱化地区水盐运动的宏观规律。从数学建模角度来看，要研究盐分运移规律，必须同时建立水分运动方程和盐分运移方程，求解盐分运移问题须同时求解水分和盐分运移这两个方程。

土壤中水盐运移过程是一个非常复杂的物理、化学和生物过程，受多种因素的影响，如土壤介质、地形、地貌、水文、气象、生物、地质、水文地质条件以及随机因素等，因此，实际使用中需作一定的简化。据史海滨、陈亚新（1996），在考虑与不考虑土壤吸附作用（adsorption）和不动水体（immobile water）的条件下，用沙壤土对一维垂直土柱的蒸发、入渗实验进行数值模拟后认为，土壤吸附作用与不动水体对土壤溶质运移规律有较大的影响，在研究盐渍土水盐运移规律时是不容忽略的。在蒸发条件下，不动水体的影响较大，若忽略，则表层20cm土壤积盐量计算的相对误差为45.4%，吸附作用的影响较小，为7.4%；在入渗淋洗条件下，土壤吸附作用的影响较明显，若不考虑，则表层20cm土壤积盐量计算的相对误差为48.5%，不动水体的影响较小，可忽略。本文所建土壤水盐运移模型为忽略温度势影响情况下的一维模型，其中水分运动模型考虑源汇项（sources and sinks）根系吸水（root water extraction）的影响，盐分运移模型考虑吸附或解吸作用和不动水体的影响。

（一）水分运动模型

上边界条件：计算的上边界为地面，为第三类边界条件。

（ε蒸发为负，入渗为正）

下边界条件：计算的下边界取到地下水位，为第一类边界条件。

h（l，t）=0（l取地下水位埋深）

初始条件：计算开始时刻的剖面负压分布已知。

h（z，t）=h₀（z）

基本方程：因大田实测资料只有负压数据，故选用h方程，且坐标向下为正。

（S_r源汇项：根系吸水率）

上述土壤水运动问题可用如下数学模型来描述：

土壤水盐运移数值模拟

式中：h（h_H2O）为负压（cm），z垂直坐标（cm）（从地面算起向下为正），t时间（d），C（h）容水度（1/cm），K（h）水力传导度（cm/d），ε上边界垂向水量交换强度（cm/d）（入渗为正，蒸发为负），h₀（h_H2O）₀初始剖面负压（cm），l计算土层厚度（cm）（取到地下水位），S_r（z，t）源汇项为根系吸水率（cm³/cm³d=1/d）（根系吸水率为根系在单位时间内由单位体积土壤中所吸收水分的体积）。

（二）盐分运移模型

上边界条件：计算的上边界为地面，为第三类边界条件，区分为降水和蒸发。

降水：

（ε入渗为正，c_r降水盐分浓度）

蒸发：

（ε蒸发为负，地表仅水分蒸发盐分通量为0）

下边界条件：计算的下边界取到地下水位，为第一类边界条件。

c（l，t）=c_d（取地下水位处的盐分浓度即地下水矿化度）

初始条件：计算开始时刻剖面上土壤溶液的盐分浓度分布已知。

c（z，t）=c₀（z）

基本方程：为考虑不动水体和吸附或解吸作用的对流弥散方程。

（S_c源汇项：吸附或解吸）

上述土壤盐分运移数学模型为：

土壤水盐运移数值模拟

式中：c为土壤溶液的溶质浓度（g/cm³）；c_m、c_im分别表示可动水体与不动水体；θ为土壤体积含水率（cm³/cm³）；z垂直坐标（cm）（从地面算起向下为正）；t时间（d）；D_sh水动力弥散系数（cm²/d）；υ土壤水孔隙流速（cm/d）；q土壤水通量（cm³/cm²d）；ε上边界垂向水量交换强度（cm/d）（入渗为正，蒸发为负）；c₀初始剖面溶质浓度（g/cm³）；c_r为降水盐分浓度（g/cm³）；c_d为地下水矿化度（g/cm³）；l 计算土层厚度（cm）（取到地下水位）；S_c源汇项这里为吸附或解吸项（g/cm³d）（源汇项为单位时间单位体积土壤中由于吸附、解吸、溶解及沉淀等作用引起的溶质质量的变化）。

下面对基本方程作进一步的说明：

1.有关不动水体参数的确定

可动水体与不动水体之间溶质通过分子扩散进行交换，常用下列经验方程描述（De Smedt，1984；Nielsen，1986；Jaynes，1995）

土壤水盐运移数值模拟

式中：α为溶质质量交换系数（1/d）（Mass Transfer Coefficient）。

如果可动水体与不动水体的总体积为θ（θ=θ_m+θ_im），则不动水体所占比重为

θ_im=（1-f）θ （2.5.4）

式中：f=θ_m/θ为可动水体所占比重（无量纲），即可动水体体积与总水体体积之比。

总的溶质浓度，采用两区域溶质浓度的加权平均

c=（θ_mc_m+θ_imc_im）/（θ_m+θ_im） （2.5.5）

质量交换系数α，可动水体所占比重（或比例系数）f，根据前人的研究成果选取（表2.5.1）。

表2.5.1 与不动水体有关的参数

2.有关吸附解吸参数的确定

根据吸附实验所建模型为线性模型，重写如下

S=kc （2.5.6）

式中：S为土壤吸附量（g/g），定义为单位质量干土所吸附的溶质质量；k 为待定参数（或称为分配系数Distribution Coefficient）；c为溶质浓度（g/cm³）。

单位时间、单位体积土壤所吸附的溶质质量，也即液相溶质与固相溶质之间的交换速率为

土壤水盐运移数值模拟

式中：γ为土壤容重（g/cm³）。

吸附解吸，相对于多孔介质来说，溶质既没有产生也没有消失，相对于液相来说为一种动态储存。由于基本方程是相对于液相建立的，为单位时间、单位体积土壤中液相中的溶质质量平衡方程，方程的左端为溶质储存量的变化量；右端为流入和流出单元体的溶质质量之差。因此，吸附解吸项应放在基本方程的左端：

土壤水盐运移数值模拟

进一步整理为

土壤水盐运移数值模拟

式中：R为土壤吸附阻滞系数（无量纲）（或称为延迟因子 Retardation Factor），并且R_m=R_im=1+γk/θ，其中θ=θ_m+θ_im。

由于

土壤水盐运移数值模拟

则基本方程化为

土壤水盐运移数值模拟

由于土壤水盐运移基本方程为二阶非线性偏微分方程，除少量问题外，一般情况下求解析解是困难的，大量的问题必须用数值方法求解。

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