复数的三角表示 (高中数学)
作者&投稿：柳览 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
设复数为 z = r(cosθ + isinθ)，其中 r 是复数的模，θ 是复数的方向角，称为幅角。通过三角函数，我们可以将复数表示为模与幅角的乘积。若 z 的幅角为 θ，则 z 的三角表示为 z = r(cosθ + isinθ)。
值得注意的是，模 r 的取值范围是约定的，对于任何复数 z，通过三角表示可以唯一确定一个复数，且这个复数可以用约定的模角表示。实部和虚部的表示更有利于进行加法运算，而三角表示则有利于进行乘法运算。
设复数 z1 和 z2 分别为 r1(cosθ1 + isinθ1) 和 r2(cosθ2 + isinθ2)，则 z1 和 z2 相乘的结果为 z1 * z2 = r1r2(cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2))。这意味着，两个复数相乘时，只需将模相乘，并将幅角相加。
从三角表示的角度来看，共轭复数的模相等，幅角相反。由此验证了共轭复数的乘积总是实数。接下来，我们将回答复数的乘方和开方问题。
设复数 z 的幂次为 n，则 z 的 n 次幂为 z^n = r^n(cos(nθ) + isin(nθ))。通过数学归纳法，我们可以得到 z^n 的具体表达式。对于复数的开方问题，存在 n 个复数是 z 的 n 次方根，它们分别是 ωk = r^(1/n)(cos(θ/n + 2kπ/n) + isin(θ/n + 2kπ/n))（k = 0, 1, ..., n-1）。这些方根满足 z 的 n 次幂等于 1。
通常，当我们说 z^(1/n) 或 z^(m/n) 时，指的是 z 的算术 n 次方根或 m/n 次方根，且是复数。正数的算术 n 次方根总是正数，而负数的算术 n 次方根通常不是实数。在实分析中，人们通常避免讨论负数的非整数次幂。
最后，我们扩展复数幂的概念到复数次幂。设复数 z 的幂次为 w，则 z^w 定义为 z^(x+iy) = e^(x+iy log z)，其中 log z 表示 z 的复数对数。通过此定义，我们确定了复变函数 w → z^w，它在复数范围内存在反函数。
总之，复数的三角表示为高中数学中提供了强大的工具，它不仅简化了复数的运算，还为我们解决了复数的乘方与开方问题。通过模、幅角以及三角函数，我们可以直观地理解和计算复数的各种运算。
简孟开文：[答案] 复数z=a+bi化为三角形式 z=r(cosθ+sinθi) 式中r= sqrt(a^2+b^2),是复数的模(即绝对值); θ 是以x轴为始边,射线OZ为终边的角,叫做复数的辐角,辐角的主值记作argz 这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算.
湖滨区19250038088： 利用复数的三角表示求解方程z的立方等于8 - ？
简孟开文：[答案] ∵8=8(cos0+isin0) ∴z=8^(1/3)=2[cos(2kπ/3)+isin(2kπ/3)] 当k=0时,z1=2 当k=1时,z2=2(-1/2+i√3/2)=-1+i√3 当k=2时,z3=2(-1/2-i√3/2)=-1-i√3
湖滨区19250038088： 用复数的三角形式计算( - 2+3i)/(3+2i)注意,是复数的三角形式!不要只给个答案,答案我知道, - ？
简孟开文：[答案] 令cosA=-2/√13,sinA=3/√13,将-2+3i 化成三角式为:√13(cosA+i sinA).再令cosB=3/√13,sinB=2/√13,将3+2i 化成三角式为:√13(cosB+i sinB).∴原式=[√13(cosA+i sinA)]/[√13(cosB+i sin...
湖滨区19250038088： 等号上面有一个三角形在数学中是什么意思? - ？
简孟开文： 等号上面有一个三角形在数学中表示为为:“记作”、“定义为”、“等价于”. 数学中的常用关系符号:1、“=”是等号,表示等于 2、“≈”是近似符号,表示约等于 3、“≠”是不等号,表示不等于 4、“>”是大于符号,“<”是小于符...
湖滨区19250038088： 高一数学:复数的三角形式与指数形式一题 - ？
简孟开文： 复数的辐角主值就是复数所表示向量与x轴夹角 复数√3+i,向量表示为a=(√3,1) 所以设辐角为α,tanα=1/√3=√3/3 α=π/6 记作arg(√3+i)=π/6
湖滨区19250038088： 复数与三角函数互化RT 具体怎么转换的 - ？
简孟开文： 复数z=a+bi的三角表示是z=r(cosθ+isinθ),其中r=√(a²+b²),θ是z的幅角.
湖滨区19250038088： 高中数学三角函数+复数 - ？
简孟开文： 复数域的三角函数形式比较好理解,跟平面直角坐标系一样,用点和坐标原点连线,这样的话,会发现这个点和横坐标轴有一个夹角,这个夹角称为辐角,而连线的长度称为模长,这样的话,这个复平面上点的横坐标就是模长乘以辐角的余弦值,纵坐标就是模长乘以辐角的正弦值,这就是复数的三角形式的由来;至于指数形式,是来源于一个著名的公式,即欧拉公式:e^(iπ)=-1,结合指数的运算法则,就可以得到复数的指数形式表达.这个公式的证明不是那么容易的哦.更详细的你可以参看百度百科中的“复数”词条,里面连公式和运算律都有.希望能帮到你啦.
湖滨区19250038088： 复数与实数的定义分别是什么.? - ？
简孟开文：[答案] 复数 开放分类: 数学、数学家、实数、虚数 定义 [编辑本段] 复数就是实数和虚数的统称 复数的基本形式是a+bi,其中a,b是实数,a称为实部,bi称为虚部,i是虚数单位,在复平面上,a+bi是点Z(a,b).Z与原点的距离r称为Z的模|Z|=√a方+b方 a+bi中...
湖滨区19250038088： 数学复数的乘法怎么用辅角解释几何意义 - ？
简孟开文： ①几何形式.复数z=a+bi 用直角坐标平面上点 Z(a,b )表示.这种形式使复数的问题可以借助图形来研究.也可反过来用复数的理论解决一些几何问题. ②向量形式.复数z=a+bi用一个以原点O为起点,点Z(a,b)为终点的向量OZ表示.这种形式使...
湖滨区19250038088： 理科数学 三角 复数？
简孟开文： 过A作BC垂线AD,DC=bcosC,BD=ccosB,bcosC+ccosB=BC=a所以,2acosB=ccosB+bcosC=a所以,cosB=1/2所以,B=60度或120度 设z=a+biw=a+bi+(a-bi)/(a^2+b^2)由于w是实数,所以b-b/(a^2+b^2)=0所以b=0(舍去)或a^2+b^2=1代入得w=2a由-1<w<2得-1/2<a<1于是|z|的值为1,z的实部的取值范围:-1/2<a<1
