不定积分换元法如何求解？
例如计算不定积分∫x²3√1-xdx
例如本题不定积分计算过程如下：
例如不定积分∫1/(2+ cosx)计算
再例如∫lntanx/(sinxcosx)dx
换元法计算不定积分
不定积分概念
解：原式=3∫x²√1-x
令√1-x=t
x=1-t²
dx=-2tdt
原式=3∫（1-t²）²t(-2t)dt
=3∫（-2t²+4t^4-2t^6）dt
=-6∫t²dt+12∫t^4dt-6∫t^6dt
=-2t^3+12/5t^5-6/7t^7+c
=-2√(1-x)^3+12/5√(1-x)^5-6/7√(1-x)^7+c。
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∫（1-3x）^6dx
=(-1/3)∫(1-3x)^6d(1-3x)
=-1/3*(1-3x)^7*(1/7)+C
=-1/21*（1-3x）^7+C。
设t=tan(x/2)
则cosx=[cos²(x/2)-sin²(x/2)]/[cos²(x/2)+sin²(x/2)]
=[1-tan²(x/2)]/[1+tan²(x/2)]
=(1-t²)/(1+t²)
dx=d(2arctant)=2dt/(1+t²)
故：∫1/(2+cosx)dx=∫1/[2+(1-t²)/(1+t²)]*[2dt/(1+t²)]
=∫2dt/(3+t²)
=2/√3∫d(t/√3)/[1+(t/√3)²]
=2/√3arctan(t/√3)+C
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分子分母同除以cos²x
=∫sec²x*lntanx/tanxdx
=∫lntanx/tanx d(tanx)
=∫lntanxd(lntanx)
=(1/2)ln²(tanx)+C。
例如∫ √(x²+1) dx
令x=tanu，则√(x²+1)=secu，dx=sec²udu。
∫sec³udu
=∫ secudtanu
=secutanu - ∫ tan²usecudu
=secutanu - ∫ (sec²u-1)secudu
=secutanu - ∫ sec³udu + ∫ secudu
=secutanu - ∫ sec³udu + ln|secu+tanu|
将- ∫ sec³udu移支等式左边与左边合并后除以系数得：
∫sec³udu=(1/2)secutanu + (1/2)ln|secu+tanu| + C。
所以：
∫ √(x²+1) dx=(1/2)√(x²+1)*x+ (1/2)ln|√(x²+1)+x| + C。
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设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
可以用反函数来做
y=arccosx,
∫arccosxdx=∫ydcosy=ycosy-∫cosydy
=ycosy-siny+C
=xarccosx-√(1-x^2)+C
扩展资料
不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
定积分如何换元?
定积分的换元法大致有两类：第一类是凑微分，例如xdx=1\/2dx²，积分变量仍然是x，只是把x²看着一个整体，积分限不变。第二类，令x=x(t)，自然有dx=dx(t)=x'(t)dt，这里引入新的变量，积分限要由x的变换范围换成t的变化范围。例求在【0，1】上的定积分∫(1-x^2)^(1\/2)...
定积分的换元法应该怎样用?
回答：我们知道求定积分可以转化为求原函数的增量,在前面我们又知道用换元法可以求出一些函数的原函数。因此,在一定条件下,可以用换元法来计算定积分。 定理:设函数f(x)在区间[a,b]上连续;函数g(t)在区间[m,n]上是单值的且有连续导数;当t在区间[m,n]上变化时,x=g(t)的值在[a,b]上变化...
定积分换元法是什么?
定积分的换元法大致有两类：第一类是凑微分，例如xdx=1\/2dx²，积分变量仍然是x，只是把x²看着一个整体，积分限不变。第二类，令x=x(t)，自然有dx=dx(t)=x'(t)dt，这里引入新的变量，积分限要由x的变换范围换成t的变化范围。注意事项：换元积分法是求积分的一种方法。它是由...
用定积分的换元法求
解：分享一种解法，先分母有理化，再换元。①分母有理化，∴原式=-∫(3\/4,1)[√(1-x)+1]dx\/x=-∫(3\/4,1)√(1-x)dx\/x+ln(3\/4)。②∫(3\/4,1)√(1-x)dx\/x，设x=(cost)^2dt，∴∫(3\/4,1)√(1-x)dx\/x=2∫(0,π\/6)(sect-cost)dt=2ln丨sect+tant丨-2sint]丨(...
定积分换元法如何使用?
举个简单的例子，考虑计算定积分 I = ∫(sin(x))\/(1 + cos(x)) dx 从 0 到 π\/2。我们可以使用以下步骤进行换元法：选择替换变量 u = tan(x\/2)，因为这样可以将三角函数转换为更简单的形式。替换关系为 tan(x\/2) = u。计算导数 du\/dx = 1\/2(1 + u^2)。替换积分变量 dx = ...
定积分的换元法
定积分换元法是求积分的一种方法。定积分换元法主要通过引进中间变量作变量替换使原式简易，从而来求较复杂的不定积分，它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的，定积分换元法是求积分的一种方法，它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。定积分换元主要为了在计算被积函数的原函数时方便，换元...
定积分换元法问题求解
因为x=1-t，x的微分d等于（1-t）的微分，也就相当于对（1-t）求导，也就是积分变量变成-tdt 定积分换元积分法有三换：积分区间，本题[0，1]变成[1，0]；被积函数要换；积分变量要换，本题dx变成了-tdt
.定积分中的换元法适用于哪种特征的函数
第一类换元法，就是反用复合函数的微分法。f（x）=g（z），z=h（x），f'(x)=g'(z)h'(x),∫f'(x)dx=∫g'(z)h'(x)dx=∫g'(z)dz如果g，h相对简单，就很容易求。第二类换元法，是要改变被积函数的形式的，通常用来积分根式、三角函数。比如，变换之后，没有根号了；三角函数的...
定积分的换元法求解 定积分(1-0) 1\\(3-2x)^1\\3dx 用换元法,当时老师讲...
积分换元的目的是为了把积分积出来，或是使较复杂的积分变得较简单。定积分换元时上下限也要同时一起换。本题可令t=3-2x，则x=(3-t)\/2，dx=(-1\/2)dt，原积分下限1变成1，原积分上限0变成3，原积分式化成=(-1\/2)∫<0到3>t^(-1\/3)dt 积出来得到 =(-3\/4)*3^(2\/3)。
定积分换元法dx与dt怎么转换
定积分的换元，三个地方都要换。令想换的地等于t，解出x关于t的表达式。接着对x关于t的函数进行微分，dx＝f'（t）dt，不定积分换元到此结束。定积分的的第三个需要换元的地方是上下限。原来的式子是x的上下限对x积分，变成对t积分了，得把x的上下限换成t的上下限。用x的上下限，通过这个...
势彦誉捷： 解:由积分公式:∫2113 cotxdx=ln|5261sinx|+c 和 ∫ 1/x dx=ln | x |+c(这两个公式高等数学书里面有,你也可以自己证4102明),用第一换元1653法可得:∫ cotx/ln sinxdx=∫1/ln(sinx) d ln(sinx)=ln | ln sinx|+c.解毕 第一个等专式用到第一个公式,第二个属等式用到第二个公式.
木兰县13359794619： 求不定积分 - ？
势彦誉捷： 求不定积分的方法 换元法 换元法(一):设f(u)具有原函数F(u),u=g(x)可导,那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函数. 即有换元公式: 例题:求 解答:这个积分在基本积分表中是查不到的,故我们要利用换元法. 设u=2x,那末cos2x=cosu,du=2dx...
木兰县13359794619： 求不定积分,用换元法 - ？
势彦誉捷： 令√(1+t)=u,得t=u²-1,dt=2udu ∫1/[1+√(1+t)]dt=∫2u/(1+u)du=2∫[(1+u)-1]/(1+u)du=2∫du-2∫1/(1+u)d(1+u)=2u-2ln(1+u)+C=2√(1+t)-2ln[1+√(1+t)]+C 令√(x²+a²)=t,得x²=t²-a²,dx²=2tdt ∫√(x²+a²)/xdx=∫x√(x²+a²)/x²dx=[∫√(x²+a²)/x...
木兰县13359794619： 用换元法求不定积分 ∫[e^(1/x)]/x^2dx - ？
势彦誉捷：[答案] 用换元积分法: 方法一: ∫(1/x²)(e^1/x)dx 令t=1/x,dt=(-1/x²)dx,dx=(-x²)dt,代入dx,约掉x² =∫e^t*(-1)dt =-∫(e^t)dt =-e^t+C =-(e^1/x)+C 方法二: ∫(1/x²)(e^1/x)dx d(1/x)=(-1/x²)dx,∴dx=(-x²)d(1/x),代入dx =∫(1/x²)(e^1/x)*(-x²)d(1/x) =-∫(e^1/x)d(1/...
木兰县13359794619： 计算不定积分换元法怎么做?举个例题吧 (1+3lnx+ln*2x)/x dx.是ln的平方乘x - ？
势彦誉捷：[答案] ∫[1+3lnx+(lnx)^2]dx/x=∫[1+3lnx+(lnx)^2]d(lnx) lnx=t 原式=∫(1+3t+t^2)dt=lnx+3(lnx)^2/2+(lnx)^3/3+C
木兰县13359794619： 高等数学中,不定积分的换元法怎么理解 - ？
势彦誉捷： 将自变量用其他变量代替,从而简化运算,这也是根据微分基本法则推导出来的
木兰县13359794619： 换元积分法求不定积分∫1+lnx/(xlnx)^2dx - ？
势彦誉捷： ∫1+lnx/(xlnx)^2dx 因为xlnx的导数是1+lnx,所以可以利用第一类换元积分法:=∫1/(xlnx)^2d(xlnx)=-1/(xlnx)+C 扩展资料:求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原抄函2113数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任...
木兰县13359794619： 换元法求不定积分dx/1+cosx - ？
势彦誉捷：[答案] 1+cosx=2*(cos(x/2))^2,代入, 令t=cos(x/2),原式=2darccos(t)/(2*t^2), 分子中arccos(t)导数为 -1/(1-x*x)^(1/2) 代入得 -2dt/(t^3*(1/t^2-1)^(1/2)) 其中 -2dt/(t^3)=d(1/t^2), 令z=1/t^2,原式化为 dz/(z-1)^(1/2)=d(z-1)/(z-1)^(1/2)=2d(z-1)^(1/2) 代入原式,z=1/(t^2)=1/((...
木兰县13359794619： 换元法求不定积分 - ？
势彦誉捷： 当n是奇数时,∫ (cosx)^n dx才可用换元法,不然只能用配角公式逐步拆解,这题的n是偶数 ∫ cos^4x dx= ∫ (cos²x)² dx= ∫ [1/2*(1+cos2x)]² dx= (1/4)∫ (1+2cos2x+cos²2x) dx= (1/4)∫ dx + (1/4)∫ cos2x d(2x) + (1/4)∫ 1/2*(1+cos4x) dx,若要要换元...
