全微分方程求解积分因子,u=u(x+y)

作者&投稿:鄘刚 (若有异议请与网页底部的电邮联系)
积分因子法u´(x)=u(x)p(x)?~

:Ndu/dx-Mdu/dy=(dM/dy -dN/dx)u .(1) (不方便打 ,都是偏导)
证明 :上面的等式是以u为未知函数的一阶线性偏微分方程,一般情况下,通过方程(1)来求积分因子,得到方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0的解,与求解M(x+y)dx+N(x+y)dy=0本身同样困难,但是在某些特殊的情况中,也可以方便的解出(1)的一个解u,例如,如果方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0存在一个只于x有关的积分因子u=u(x)时,则du/dy=0,于是(1)式变化为:
1/u *du/dx =(dM/dy-dN/dx)/N.(2)
由此可知,方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0具有一个只与x有关的积分因子的必要条件是(2)式右边不含y 即:
M(x+y)dx+N(x+y)dy恒等于u(x).(3)
其中u(x)是x的函数,反之,若(3)成立,则以u(x)代入(2)中,得到:
du/u =u(x)dx
于是求得 u(x)=e^(u(x)的积分)
显然,它满足(1)的,故知它是M(x+y)dx+N(x+y)dy=0的一个积分因子,这就证明了M(x+y)dx+N(x+y)dy=0具有一个只与x有关的积分因子的的充分必要条件是(3)式成立
同样的,假设M(x+y)dx+N(x+y)dy=0具有一个只与y有关的积分因子的充分必要条件是:
M(x+y)dx-N(x+y)dy恒等于u(y)
其中u(y)是y的函数
同样按上面的方法解出
u=e^(u(y)的积分)
这个u同样是它的积分因子
所以方程M(x+y)dx+N(x+y)dy=0分别具有形如u(x+y)和u(xy)的积分因子的充要条件是:
dM/dy=dN/dx 即:Ndu/dx-Mdu/dy=(dM/dy -dN/dx)u

你算出来的和答案不是一样的嘛

对于全微分方程实际是要满足这样关系的:

这就要涉及解偏微分方程了




一阶线性微分方程的积分因子
解:∵dy\/dx+py=q ==>dy+(py-q)dx=0 ∴μdy+μ(py-q)dx=0 ∵μ是原微分方程的积分因子的充要条件是:μ关于x的偏导数=(py-q)关于y的偏导数 经检验,只有答案(A)中的μ才满足上述条件 ∴应该选择答案(A)。

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即Green函数),使得该函数满足原方程的边界条件,并且具有某种特定的性质。通过求解Green函数的微分方程,可以得到原方程的解。以上是解决微积分方程的一些基本思路,不同的问题可能需要采用不同的方法来解决。在实际应用中,还需要根据具体的问题特点和要求选择合适的方法,并进行适当的代数运算和推导。

常微分方程证明.有关积分因子
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答:积分因子就是设法找到一个e的幂函数,乘上微分方程后,使得原来的微分方程变成一个全微分方程。就是积分因子

试证齐次微分方程Mdx+Ndy=0,当xM+yN≠0时,有积分因子u=[1\/(xM+yN...
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全微分方程凑微分法的积分因子怎么找
1、整体而言,寻找积分因子的方法,在微分方程中,要分好多种情况;如果细细叙述,将会是一本书;2、下面的三张图片,提供的只是最最简单的情况,供楼主参考;3、如有疑问,欢迎追问,有问必答;4、图片可以点击放大。.

大学数学专业中的常微分方程中的积分因子,怎么可以直接看出来?_百度...
直接看出来,除非是很常见的类型,比如dxy=ydx+xdy,d(x\/y)=(1\/y)dx-(x\/y^2)dy之类的,还有就是你做题做多了,不用动手就能看出来,这种情况很少,出错的概率也很大……建议如果不是常见的类型,还是一步一步的来求吧

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请问微分方程怎么解?
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雄县15562931504: 全微分方程的积分因子要怎么求啊 -
伍往知芙: 这需要数学直觉…………真的,只可意会不可言传,我甚至专门问过微积分老师…………其实线性微分方程直接用常数变易法直接秒杀完完的~~~~~~~

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伍往知芙: y'+y=x² 这是一阶线性微分方程,设u=u(x),使方程左边=d(uy)/dx uy'+uy=x² 则由于乘法法则 u'=du/dx=u 分离变量积分 du/u=dx u=e^x (ye^x)'=x²e^x ye^x=∫x²e^xdx 等式右边用分部积分法=x²e^x-∫xe^xdx=x²e^x-xe^x+∫e^xdx=x²e^x-xe^x+e^x+C y=x²-x+1+Ce^(-x)

雄县15562931504: 关于常微分方程的题,求解题过程 -
伍往知芙: [dy/dx](xy-y^2)=y^2 dy/dx=y/(x-y) 令k=y/x y=kx dy/dx=(dk/dx)x+k y/(x-y)=(y/x)/(1-y/x)=k/(1-k)(dk/dx)x+k=k/(1-k)(dk/dx)x=k^2/(1-k)(1-k)dk/k^2=dx/x dk/k^2-dk/k=dx/x 两边积分-1/k-ln|k|=ln|x|+C-x/y-ln|y/x|=ln|x|+C-x/y=ln|y|+C x=-yln|y|+Cy

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伍往知芙: 二元函数全微分的公式为∂M/∂y=∂N/∂x.全微分方程,又称恰当方程.若存在一个二元函数u(x,y)使得方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端为全微分,即M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y),则称其为全微分方程.为了求出全微分方程的原函数,可以采用不定积分法和分组法,对于不是全微分方程,也可以借助积分因子使其成为全微分方程,再通过以上方法求解.

雄县15562931504: 求解一道微分!! -
伍往知芙: 这可以从全微分方程来考虑,M=x^2+3y^2,N=2xy,(求积分因子的步骤不好打出来就不打了,反正就是(偏M/偏y-偏N/偏x)/N,在对所得结果积分,积分因子u=exp(所得的积分结果)=x^2,将积分因子乘入原式 这样原方程du(x,y)=d(4/5x^5+x^3y^2-x^3y^2),得出通解为u(x,y)=4/5x^5

雄县15562931504: 请问什么是积分因子法? -
伍往知芙: 积分因子就是设法找到一个e的幂函数,乘上微分方程后,使得原来的微分方程变成一个全微分方程. 就本题示范如下: dy/dx=x+y (x+y)dx-dy=0 ∵M=x+y,N=-1 ∂M/∂y=1,∂N/∂x=0 [∂M/∂y-∂N/∂x]/N=-1 ∴I=e^[∫(-1)dx]=e^(-x) d[e^(-x)(x+y)]=e^(-x...

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雄县15562931504: 求微分方程的通解y" - y'/x=x^2 -
伍往知芙: 一般做法:设u = y' u' = y'' u' - u/x = x² 积分因子 = e^(∫ -1/x dx) = e^(-lnx) = 1/x,乘以乘方两边 u'/x - u/x² = x(u/x)' = x u/x = x²/2 + C u = x³/2 + Cx y' = x³/2 + Cx y = (1/8)x^4 + Cx² + D C、D都是任意常数

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