公理化方法的基本要求

什么是公理化方法~

公理化方法
在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念和一组不加证明的公理出发，用纯逻辑推理的法则，把该系统建立成一个演绎系统的方法，就是公理化方法。它是随着数学和逻辑学的发展而产生的。
公元前6世纪前后，希腊数学家泰勒斯（Thales)开始了几何命题的证明，开辟了几何学作为证明的演绎科学的方向。毕达哥拉斯学派的欧多克斯于公元前4世纪在处理不可通约量时，建立了一公理为依据的演绎方法。爱奥尼亚学派的芝诺（Zeno）在论辩术中运用了归谬法。伯拉图阐明了许多逻辑原则。亚里士多德在其著作《分析篇》中，对公理方法作了系统总结，指出了演绎证明的逻辑结构和要求，从而奠定了公理化方法的基础。
公元前3、4世纪之交，希腊数学家欧几里德在总结前人积累的几何知识基础上，把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，运用他所抽象出的一系列基本概念和公理，完成了传世之作《几何原本》，标志着数学领域中公理化方法的诞生。由于《几何原本》在第五公设的陈述和内容上复杂而累赘，引起人们对这一公设本身必要性的怀疑。在此后的2000多年间，人们试图给出一个第五公设的证明，但所有的尝试都失败了。19世纪，俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基吸取前人失败的教训，从反面提出问题，给出了一个新的公理体系，创立了非欧几何学。这是公理化方法的进一步发展。
1899年，德国数学家希尔伯特在前人工作的基础上，著《几何基础》一书，解决了欧氏几何的欠缺，完善了几何公理化方法，创造了全新的形式公理化方法。为了避免在数学中出现悖论，希尔伯特认为要设法绝对的证明数学的无矛盾性，致使他从事“证明论的研究”，于是希尔伯特又把公理化方法推向一个新阶段，即纯形式化发展阶段，这就产生了纯形式公理化方法。
几何学的公理化，成为其它学科及分支的楷模。相继出现了各种理论的公理化系统，如理论力学公理化，相对论公理化，数理逻辑公理化，概率论公理化等。同时，纯形式公理化方法推动了数学基础的研究，并为机算机的广泛应用开阔了前景。

公理化思想就是任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果。随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。

公理化是一种数学方法。最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之间可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” (如三对应边相等的两个三角形全等)则是需要由公理出发来证明的，18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特(David Hilbert)在他的几何基础研究中系统地提出数学的公理化方法。

公理化方法发展的第一阶段是由亚里士多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统。

亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得。欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》。他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理。他总结概括出10个基本命题，其中有5个公设和5条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系。《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。

公理是对诸基本概念相互关系的规定，这些规定必须是必要的而且是合理的．因此，一个严格完善的公理系统，对于公理的选取和设置，必须具备如下三个基本要求：
相容性
这一要求是指在一个公理系统中，不允许同时能证明某一定理及其否定理．反之，如果能从该公理系统中导出命题A和否命题非A(记作-A)，从A与-A并存就说明出现了矛盾，而矛盾的出现归根到底是由于公理系统本身存在着矛盾的认识，这是思维规律所不容许的．因此，公理系统的无矛盾性要求是一个基本要求，任何学科，理论体系都必须满足这个要求．
独立性
这一要求是指在一个公理系统中的每一条公理都独立存在，不允许有一条公理能用其它公理把它推导出来，同时使公理的数目减少到最低限度．
完备性
这就是要求确保从公理系统中能推出所研究的数学分支的全部命题，也就是说，必要的公理不能减少，否则这个数学分支的许多真实命题将得不到理论的证明或者造成一些命题的证明没有充足的理由．
从理论上讲，一个公理系统的上述三条要求是必要的，同时也是合理的．至于某个所讨论的公理系统是否满足或能否满足上述要求，甚至能否在理论上证明满足上述要求的公理系统确实存在等，则是另外一回事了．应该指出的是，对于一个较复杂的公理体系来说，要逐一验证这三条要求相当困难，甚至至今不能彻底实现．

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湖北省13321989541： 公理化方法 - 搜狗百科？
校窦丹鹿： 公理化方法在逻辑上的要求,要满足以下三项: 相容性、独立性和完全性.选A

湖北省13321989541： 定义与命题的关系式是什么? - ？
校窦丹鹿： 定义是表明具有什么特征的对象叫什么的问题.而命题则是一个断言,断言正确的是真命题,断言错误的是假命题.所以定义不是命题.第二个问题太不好回答了,不同的学科之间的差异太大了.比如线性空间的公理化定义通常有8条公理(几乎所有书上的定义都是8条),但实际上其中的一条不应该算作公理,因为该条可有其它7条推倒出来.公理的基本要求是不证自明且各条之间无矛盾,经常还要求各条之间相互独立.

湖北省13321989541： 数学问题:谈谈对公理化方法的认识 - ？
校窦丹鹿： 公理化方法使用若干个(尽量少)得到大家公认的命题(常称之为原理或公理)作为逻辑推理的出发点来得到更多的命题(常称之为定理),这样就可以进一步构建整个学科的理论体系,并且使学习者可以相信所得到的结果是正确的.但是,公理化不是万能的,至于原因,你可以查阅有关于哥德尔不完全定理的文献. 以上是个人观点,如有不当之处,请指教.

湖北省13321989541： 现代数学的特点,什么是公理化方法?并说公理化方法体现了现代数学的什么特点 - ？
校窦丹鹿： 古希腊时候的数学采用的就是公理化方法,就是你学的平面几何和立体几何,通过一些明显“正确”的公理推导出各种定理.体现出现代数学什么特点?首先没有一个公认的说法,从什么年代或者什么事件后算现代数学(不像物理里面相对论和量子力学建立后可以算现代物理).其次数学哲学和数学基础一直都有争论,现在比较通用的是采取希尔伯特的形式主义,以zfc作为数学基础.哲学上占主导地位的是数学柏拉图主义

湖北省13321989541： ...则过这两点的直线与此平面平行.如果正确无误的话,现在我把这三条命题正式命名为牛1、牛2、牛3定理.我自己总结的嘛对了,还有不用课本上的公理或定... - ？
校窦丹鹿：[答案] 1对. 2错.这三个点有可能分在一个平面的两侧,那么过这三点的平面与此平面相交. 3错.这两个点有可能分在一个平面的两侧,那么过这两点的直线与此平面相交. 其实高考中立体几何题很少人用公理化的方法做的,因为有些题目用公理化很难做,大...