（z-a）²=x²+y²的旋转曲面是怎样形成的？

在yoz坐标面上的直线z=y+a绕z轴旋转一周，求该旋转曲面方程~

直线方程即
z-a=y

∴所得旋转曲面方程为
z-a=±√(x²+y²)

或者：x²+y²=(z-a)²

首先将两个方程并列找出两个曲面相交的曲线.通过消去z,得到：
2-x²=x²+2y²
即
x²+y²=1
所以,此曲线位于半径为1的圆柱面上.那么x和y的积分限很容易就找到了：x²+y²=1
要找到z的积分限,就需要知道两个曲面哪个在上面,哪个在下面.因为所包的体积在圆柱内部,所以要求x²+y²x²+2y²,即z=2-x²在上面,z=x²+2y²在下面。
根据上面的讨论,我们就可以写出体积分：
V=∫∫dxdy∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz
这里用符号_(x²+2y²)来表达z积分的下限,^(2-x²)表达z积分的上限.(记住xy积分限是圆形x²+y²=1.)
对z的积分很容易：
∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²
剩下的就是对xy的两重积分。
V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy
这个积分最容易在极坐标里做.变换为极坐标时,x²+y²=r²,dxdy=rdrdφ.积分限为r从0到1,φ从0到2π.
V=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(2-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ
两个积分各为：
∫_0^(2π)dφ=2π
∫_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2
V=(1/2)2π=π
所以体积是π。
扩展资料：
根据不同的分类标准，曲面有许多不同的分类方法。
1)根据母线运动方式分类
(1)回转面——由母线绕一轴线旋转而形成的曲面；
(2)非回转面——由母线根据其他约束条件运动而形成的曲面。
2)根据母线的形状分类
(1)直纹曲面——凡是可以由直母线运动而成的曲面，如圆柱面、圆锥面、椭圆柱面、椭圆锥面、双曲抛物面、锥状面和柱状面等；
(2)双曲曲面——只能由曲母线运动而成的曲面，如球面、环面等。
同一个曲面可能由几种不同的运动形式形成。如圆柱面，即可以看做是直线绕着与之平行的轴线做旋转运动而成，也可以看做是一个圆沿轴向平移而形成的。

(z - a)² = x² +  y² 是oxz平面上 直线 (z - a) = x  绕z 轴或者是oyz平面上直线 (z - a) = y 绕z 轴 旋转而成的。

设平面曲线方程为：f(y,z)=0

绕z轴旋转一周结果为：z不动,将y改写为：±√(x²+y²)

即：f(±√(x²+y²),z)=0若是绕其它轴旋转，类似处理。

设yOz面上的曲线F(y,z)=0，求其绕y轴旋转一周所产生的旋转曲面方程。设旋转曲面上某一点M(x,y,z)是由曲线T上的点M'(0，y',z')绕Y轴旋转得到，所以y'=y。又因为点M和点M'到y轴的距离相等，所以|z'|=√(z²+x²)或z'=±√(z²+x²)

由于点M'(0,y',z')在曲线T上，所以有F(y',z')=0.将y'=y,z'=±√(z²+x²)代入F(y',z')=0

得F(y,±√(z²+x²)=0这就是所求的旋转曲面方程。

拓展资料:

旋转曲面，也称回转曲面，是一类特殊的曲面，它是一条平面曲线绕着它所在的平面上一条固定直线旋转一周所生成的曲面。该直线称为旋转轴，该固定直线称为母线。曲面和过旋转轴的平面的交线称为经线或子午线，曲面和垂直于旋转轴的平面的交线称为纬线或平行圆。

旋转曲面的类型：

1、旋转曲面方程

设yOz面上的曲线F(y,z)=0，求其绕y轴旋转一周所产生的旋转曲面方程。F(y,±√(z²+x²)=0就是所求的旋转曲面方程

2、锥面方程

由yOz面上过原点的直线z=ay绕z轴旋转一周所得的锥面方程为z²=a²(x²+y²)。其中，直线与z轴的夹角为α(0<α<π/2,称为锥面的半顶角)，a=cot α

3、抛物面方程

由yOz面上的抛物线z=ay²(a>0)绕z轴旋转一周所得旋转抛物面的方程为z=a(x²+y²)

4、柱面方程

圆柱面:x²+y²=r²

椭圆柱面:x²/a²+y²/b²=1

双曲柱面:x²/a²-y²/b²=1

抛物柱面:y²=2px

参考资料：

百度百科——旋转曲面

将xoy坐标面上的圆x2+y2=9绕Z轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为 x^2+y^2=9，z∈R。

拓展资料：

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。

例子包括球面，由圆绕着其直径旋转而成，以及环面，由圆绕着外面的一条直线旋转而成。

旋转曲面方程

设yOz面上的曲线F(y,z)=0，求其绕y轴旋转一周所产生的旋转曲面方程。如图所示，设旋转曲面上某一点M(x,y,z)是由曲线T上的点M'(0，y',z')绕Y轴旋转得到，所以y'=y。又因为点M和点M'到y轴的距离相等，所以

|z'|=√(z²+x²)或z'=±√(z²+x²)

由于点M'(0,y',z')在曲线T上，所以有F(y',z')=0.将y'=y,z'=±√(z²+x²)代入F(y',z')=0得

F(y,±√(z²+x²)=0

这就是所求的旋转曲面方程。

空间直线绕z轴旋转，得到旋转曲面

 

直线方程如下图：

 

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