创建于20 世纪的主要数学分支有哪些？请阐述它们各自的主要思想方法！
请在此输入您的回答
基础数学：
数论：古典数论 解析数论，代数数论，超越数论, 模型式与模函数论
代数学：线性代数 群论, 群表示论, 李群, 李代数, 代数群, 典型群, 同调代数, 代数K理论, Kac-Moody代数, 环论, 代数, 体, 格, 序结构. 域论和多项式 拓扑群 矩阵论 向量代数 张量代数
几何学：（整体，局部）微分几何, 代数几何, 流形上的分析, 黎曼流形与洛仑兹流形, 齐性空间与对称空间, 调和映照, 子流形理论, 杨--米尔斯场与纤维丛理论, 辛流形. 凸几何与离散几何 欧氏几何 非欧几何 解析几何
拓扑学：微分拓扑, 代数拓扑, 低维流形, 同伦论, 奇点与突变理论, 点集拓扑. 流形和胞腔复形 大范围分析,微分拓扑 同调论复流形
函数论： 函数逼近论.
泛函分析：（非）线性泛函分析, 算子理论, 算子代数, 差分与泛函方程, 广义函数. 变分法，积分变换 积分方程
微分方程：泛函微分方程, 特征与谱理论及其反问题, 定性理论, 稳定性理论、分支理论,混沌理论, 奇摄动理论,动力系统, 常微分方程非线性椭圆(和抛物)方程,偏微分方程, 微局部分析与一般偏微分算子理论, 调混合型及其它带奇性的方程, 非线性发展方程和无穷维动力系统.
在泛函分析方面，包括象Kasparov在内的许多人的工作将连续的K-理论推广到非交换
的C*-代数情形．一个空间上的连续函数在函数乘积意义下形成一个交换代数．但是在其
他情形下，自然地产生了类似的关于非交换情形的讨论，这时，泛函分析也就自然而然地
成为了这些问题的温床．
因此，K-理论是另外一个能够将相当广泛的数学的许多不同方面都能用这种比较简单
的公式来处理的领域，尽管在每一个情形下，都有很多特定于该方面且能够连接其他部分
的非常困难的，技巧性很强的问题．K-理论不是一个统一的工具，它更象是一个统一的框
架，在不同部分之间具有类比和相似．
这个工作的许多内容已经被Alain Connes推广到“非交换微分几何”．
非常有趣的是，也就是在最近，Witten通过他在弦理论方面（基础物理学的最新思想
）的工作发现许多很有趣的方法都与K-理论有关，并且K-理论看起来为那些所谓的“守恒
量”提供了一个很自然的“家”．虽然在过去同调论被认为是这些理论的自然框架，但是
现在看起来K一理论能提供更好的答案．
我们从几何开始谈起：Euclid几何，平面的几何，空间的几何，直线的几何，所有这
一切都是线性的．而从非欧几何的各个不同阶段到Riemann的更一般的几何，所讨论的基
本上是非线性的．在微分方程中，真正关于非线性现象的研究已经处理了众多我们通过经
典方法所看不到的新现象．在这里我只举两个例子，孤立子和混沌，这是微分方程理论两
个非常不同的方面，在本世纪已经成为极度重要和非常著名的研究课题了．它们代表不同
的极端．孤立子代表非线性微分方程的无法预料的有组织的行为，而混沌代表的是无法预
料的无组织的行为(disorganized behavior)．这两者出现在不同领域，都是非常有趣和
重要的，但它们基本土都是非线性现象．我们同样可以将关于孤立子的某些工作的早期历
史追溯到十九世纪下叶，但那只是很少的一部分．
当然，在物理学，Maxwell方程（电磁学的基本方程）是线性偏微分方程．与之对应
的是著名的Yang-Mills方程，它们是非线性方程并被假定用来调控与物质结构有关的力．
这些方程之所以是非线性的，是因为Yang-Mills方程本质上是Maxwell方程的矩阵体现，
并且由矩阵不可交换这一事实导致方程中出现非线性项．于是在这里我们看到了一个非线
性性与非交换性之间的有趣的联系．非交换性产生一类特殊的非线性性，这的确是很有意
思和很重要的．
几何与代数
至此我谈的是一些一般性的主题，现在我想谈论一下数学中的一个二分叉现象，它来
回摇摆却始终伴随着我们，这就给了我一个机会来做一些哲学上的?#####骱退得鳎抑傅氖?
几何和代数之间的二分法，几何和代数是数学的两个形式支柱，并且都有悠久的历史．几
何学可以追溯到古希腊甚至更早的时期；代数学则源于古阿拉伯人和古印度人．所以，它
们都已经成为数学的基础，但它们之间有一种令人感到不太自然的关系．
让我首先由这个问题的历史开始．Euc1id几何是数学理论中最早的一个例子，直到D
escartes在我们现在称为的笛卡儿平面中引入代数坐标之前，它一直是纯几何的．Desca
rtes的做法是一种将几何思考化为代数运算的尝试．从代数学家们的角度来讲，这当然是
对几何学的一个重大突破或者说一次重大的冲击，如果我们来比较Newton和Leibniz在分
析方面的工作，我们会发现他们属于不同的传统，Newton基本上是一个几何学家而Le1bn
iz基本土是一个代数学家，这其中有着很深刻的道理．对于Newton而言，几何学，或者是
由他发展起来的微积分学，都是用来描述自然规律的数学尝试．他关心的是在很广泛意义
下的物理，以及几何世界中的物理．在他看来，如果有人想了解事物，他就得用物理世界
的观点来思?#####眉负瓮枷蟮墓鄣憷纯创彼⒄刮⒒值氖焙颍胍⒄沟氖?
微积分的一种能尽可能贴近隐藏在其后的物理内蕴的表现形式．所以他用的是几何论证，
因为这样可以与实际意义保持密切关系，另一方面，Leibniz有一个目标，一个雄心勃勃
的目标，那就是形式化整个数学，将之变成一个庞大的代数机器．这与Newton的途径截然
不同，并且二者有很多不同的记号．正如我们所知道的，在Newton和Leibniz之间的这场
大争论中，Leibniz的记号最后得胜．我们现在还沿用他的记号来写偏导数．Newton的精
神尚在，但被人们埋葬了很长时间．
在十九世纪末期，也就是一百年前，Poincaré和Hilbert是两个主要人物．我在前面
已经提到过他们了，并且可以粗略地讲，他们分别是Newton和Leibniz的传人．Poincaré
的思想更多的是几何和拓扑的精神，他用这些思想作为他的基本洞察工具．Hilbert更多
的是一个形式主义者，他要的是公理化，形式化，并且要给出严格的，形式的描述．虽然
任何一个伟大的数学家都不能轻易地被归到哪一类中去，但是，很清楚地，他们属于不同
的传统．
当准备这个报告的时候，我想我应该写下我们目前这一代中能够继承这些传统的具有
代表性的人的名字．谈论还健在的人是十分困难的——谁该放在这张名单上呢？接着我又
暗自思忖：有谁会介意被放在这么一张著名的名单的哪一边呢？于是我选择了两个名字A
rnold Bourbaki，前者是Poincaré-Newton传统的继承人，而后者，我认为，是Hilber
t最著名的接班人．Arnold毫不含糊地认为：他的力学和物理的观点基本上是几何的，是
源自于Newton的；以为存在处于二者之间的东西，除了象Riemann（他确实跟两者都有偏
离）等少数人之外，都是一种误解．Bourbaki努力继续Hilbert的形式化的研究，将数学
公理化和形式化推向了一个令人瞩目的范围并取得了一些成功．每一种观点都有它的优点
，但是它们之间很难调和．
让我来解释一下我自己是如何看待几何和代数之间的不同．几何学当然讲的是空间，
这是毫无疑问的．如果我面对这间房间里的听众，我可以在一秒中内或者是一微秒内看到
很多，接收到大量的信息，当然这不是一件偶然的事件．我们大脑的构造与视觉有着极其
重要的关系．我从一些从事神经生理学的朋友那里了解到，视觉占用了大脑皮层的百分之
八十或九十．在大脑中大约有十七个中枢，每一个中枢专门用来负责视觉活动的不同部分
：有些部分涉及的是垂直方向的，有些部分与水平方向有关，有些部分是关于色彩和透视
的，最后有些部分涉及的是所见事物的具体含义和解说．理解并感知我们所看到的这个世
界是我们人类发展进化的一个非常重要的部分．因此空间直觉(spatial intuition)或者
空间知觉(spatial perception)是一种非常强有力的工具，也是几何学在数学上占有如此
重要位置的原因，它不仅仅对那些明显具有几何性质的事物可以使用，甚至对那些没有明
显几何性质的事物也可以使用．我们努力将它们归结为几何形式，因为这样可以让我们使
用我们的直觉．我们的直觉是我们最有力的武器．特别是在向学生或是同事讲解一种数学
时可以看得很清楚．当你讲解一个很长而且很有难度的论证，最后使学生明白了．学生这
时会说些什么呢？他会说“我看到了（我懂了）！”在这里看见与理解是同义词，而且我
们还可以用“知觉”这个词来同时形容它们，至少这在英语里是对的，把这个现象与其他
语言作对比同样有趣．我认为有一点是很基本的：人类通过这种巨大的能力和视觉的瞬间
活动获取大量的信息，从而得以发展，而教学参与其中并使之完善．
在另一方面（也许有些人不这样认为），代数本质上涉及的是时间．无论现在做的是
哪一类代数，都是一连串的运算被一个接着一个罗列出来，这里“一个接着一个”的意思
是我们必须有时间的概念．在一个静态的宇宙中，我们无法想象代数，但几何的本质是静
态的：我可以坐在这里观察，没有什么变化，但我仍可以继续观察．然而,代数与时间有
关，这是因为我们有一连串的运算，这里当我谈到“代数”时，我并不单单指现代代数．
任何算法，任何计算过程，都是一个接着一个地给出一连串步骤,现代计算机的发展使这
一切看得很清楚．现代计算机用一系列0和1来反映其信息并由此给出问题的答案．
代数涉及的是时间的操作，而几何涉及的是空间．它们是世界互相垂直的两个方面，
并且它们代表数学中两种不同的观念．因此在过去数学家们之间关于代数和几何相对重要
性的争论或者对话代表了某些非常非常基本的事情．
当然只是为了论证是哪一边输了，哪一边胜利了，这并不值得．当我考虑这个问题时
，有一个形象的类比：“你愿意成为一个代数学家还是一个几何学家？”这个问题就象问
：“你愿意是聋子还是瞎子？”一样．如果人的眼睛盲了，就看不见空间；如果人的耳朵
聋了，就无法听见，听觉是发生在时间之中的，总的来说，我们还是宁愿二者都要．
在物理学，也有一个类似的、大致平行的关于物理概念和物理实验之间的划分．物理
学有两个部分：理论——概念，想法，单词，定律——和实验仪器．我认为概念在某种广
义的意义下是几何的，这是因为它们涉及的是发生在真实世界的事物．另一方面，实验更
象一个代数计算．人们做事情总要花时间，测定一些数，将它们代入到公式中去．但是在
实验背后的基本概念却是几何传统的一部分．
将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说，那就是对几何学家而言，代数就
是所谓的“浮士德的奉献”．正如大家所知道的，在歌德的故事里，浮士德通过魔鬼可以
得到他所想要的（就是一个漂亮女人的爱），其代价是出卖他的灵魂，代数就是由魔鬼提
供给数学家的供品．魔鬼会说：“我将给你这个有力的机器，它可以回答你的任何问题．
你需要做的就是把你的灵魂给我：放弃几何，你就会拥有这个威力无穷的机器”(现在可
以把它想象成为一台计算机!)．当然我们希望同时拥有它们，我们也许可以欺骗魔鬼，假
装我们出卖灵魂，但不真地给它．不过对我们灵魂的威胁依然存在，这是因为当我们转入
代数计算时，本质上我们会停止思考，停止用几何的观念来考虑问题，不再思考其含义．
在这里我谈论代数学家的话重了一些，但是基本土，代数的目标总是想建立一个公式
，把它放到一个机器中去，转动一下把手就可以得到答案．也就是拿来一个有意义的东西
，把它化成一个公式，然后得到答案．在这样的一个过程中，人们不再需要思考代数的这
些不同阶段对应的几何是什么．就这样，洞察力丢掉了，而这在那些不同的阶段都是非常
重要的．我们绝不能放弃这些洞察力！最终我们还是要回到这上面来的，这就是我所谈到
的浮士德的奉献．我肯定这种讲法尖锐了一点．
几何和代数的这种选择导致能融合二者的一些交叉课题的产生，并且代数和几何之间
的区别也不象我讲的那样直截了当和朴实无华．例如，代数学家们经常使用图式(diagra
m)．而除了几何直觉，图式又能是什么呢？
通用的技术
现在我不想再谈论太多就内容来划分的主题，而想谈谈那些依照已经使用的技术和常
见方法所确定的主题，也就是我想描述一些已经广泛应用于众多领域的常见方法．第一个
就是：
同调论
历史上同调论是作为拓扑学的一个分支而发展起来的．它涉及到以下情形．现有一个
复杂的拓扑空间，我们想从中得到它的一些简单信息如计算它的洞或者类似事物的个数,
得到某些与之联系的可加的线性不变量等．这是一种在非线性条件下关干线性不变量的构
造．从几何的角度来看，闭链可加可减，这样就得到了所谓的一个空间的同调群．同调论
，作为一种从拓扑空间获取某些信息的基本代数工具，是在本世纪上半叶发现的．这是一
种从几何中获益匪浅的代数．
同调概念也出现在其他一些方面．其另一个源头可以追溯到Hilbert及其关于多项式
的研究中，多项式是非线性的函数，它们相乘可以得到更高次数的多项式．正是Hilbert
那伟大的洞察力促使他来讨论“理想”，具有公共零点的多项式的线性组合．他要寻找这
些理想的生成元．生成元可能有很多．他审视它们之间的关系以及关系之间的关系．于是
他得到这些关系的一个分层谱系，这就是所谓的“Hilbert合系”．Hilbert的这个理论是
一种非常复杂的方法，他试图将一个非线性的情形（多项式的研究）化为线性情形．本质
上来讲，Hilbert构造了一个线性关系的复杂体系．能够把象多项式这样的非线性事物的
某些信息纳入其中．
在拓扑学方面，Hirzebruch和我照搬了这些思想并且将它们应用到一个纯粹的拓扑范
畴内．从某种意义下来说，如果Grothendieck的工作与Hilbert在合系方面的工作有关，
那么我们的工作更接近于Riemann-Poincaré在同调方面的工作，我们用的是连续函数，
而他用的是多项式．K-理论也在椭圆算子的指标理论和线性分析的研究中起了重要作用．
从另外一个不同的角度，Milnor，Quillen和其他人发展了K-理论的代数方面，这在
数论的研究中有着潜力巨大的应用．沿着这个方向的发展导致了许多有趣问题的产生．
拓扑学中的一种理论。把微分流形及以其上每点为原点的线性独立的切向量组全体总括在一起得到纤维丛的概念。利用纤维丛理论和连络儿何学，给出了作为统一电磁场与相互作用场的数学基础的规范场论的一个儿何模型。在李群及齐性空间、覆盖空间及一般的向量丛等数学方向上都有应用。
拓扑学中的一种理论。把微分流形及以其上每点为原点的线性独立的切向量组全体总括在一起得到纤维丛的概念。利用纤维丛理论和连络几何学，给出了作为统一电磁场与相互作用场的数学基础的规范场论的一个几何模型。在李群及齐性空间、覆盖空间及一般的向量丛等数学方向上都有应用。
数论：古典数论 解析数论，代数数论，超越数论, 模型式与模函数论
代数学：线性代数 群论, 群表示论, 李群, 李代数, 代数群, 典型群, 同调代数, 代数K理论, Kac-Moody代数, 环论, 代数, 体, 格, 序结构. 域论和多项式 拓扑群 矩阵论 向量代数 张量代数
几何学：（整体，局部）微分几何, 代数几何, 流形上的分析, 黎曼流形与洛仑兹流形, 齐性空间与对称空间, 调和映照, 子流形理论, 杨--米尔斯场与纤维丛理论, 辛流形. 凸几何与离散几何 欧氏几何 非欧几何 解析几何
拓扑学：微分拓扑, 代数拓扑, 低维流形, 同伦论, 奇点与突变理论, 点集拓扑. 流形和胞腔复形 大范围分析,微分拓扑 同调论复流形
函数论： 函数逼近论.
泛函分析：（非）线性泛函分析, 算子理论, 算子代数, 差分与泛函方程, 广义函数. 变分法，积分变换 积分方程
微分方程：泛函微分方程, 特征与谱理论及其反问题, 定性理论, 稳定性理论、分支理论,混沌理论, 奇摄动理论,动力系统, 常微分方程非线性椭圆(和抛物)方程,偏微分方程, 微局部分析与一般偏微分算子理论, 调混合型及其它带奇性的方程, 非线性发展方程和无穷维动力系统.
在泛函分析方面，包括象Kasparov在内的许多人的工作将连续的K-理论推广到非交换
的C*-代数情形．一个空间上的连续函数在函数乘积意义下形成一个交换代数．但是在其
他情形下，自然地产生了类似的关于非交换情形的讨论，这时，泛函分析也就自然而然地
成为了这些问题的温床．
因此，K-理论是另外一个能够将相当广泛的数学的许多不同方面都能用这种比较简单
的公式来处理的领域，尽管在每一个情形下，都有很多特定于该方面且能够连接其他部分
的非常困难的，技巧性很强的问题．K-理论不是一个统一的工具，它更象是一个统一的框
架，在不同部分之间具有类比和相似．
这个工作的许多内容已经被Alain Connes推广到“非交换微分几何”．
非常有趣的是，也就是在最近，Witten通过他在弦理论方面（基础物理学的最新思想
）的工作发现许多很有趣的方法都与K-理论有关，并且K-理论看起来为那些所谓的“守恒
量”提供了一个很自然的“家”．虽然在过去同调论被认为是这些理论的自然框架，但是
现在看起来K一理论能提供更好的答案．
李群
另一个不单单是一项技术、而且是具有统一性的概念是李群．现在说起李群，我们基
本上就是指正交群，酉群，辛群以及一些例外群，它们在二十世纪数学历史中起了非常重
要的作用．它们同样起源于十九世纪．SophusLie是一位十九世纪的挪威数学家．正如很
多人所讲的那样，他和Fleix Klein，还有其他人一起推动了“连续群理论”的发展．对
Klein而言，一开始，这是一种试图统一处理Euclid几何和非欧几何这两种不同类型几何
的方法．虽然这个课题源于十九世纪，但真正起步却是在二十世纪，作为一种能够将许多
不同问题归并于其中来研究的统一性框架，李群理论深深地影响了二十世纪．
我现在来谈谈Klein思想在几何方面的重要性．对于Klein而言，几何就是齐性空间，
在那里，物体可以随意移动而保持形状不变，因此，它们是由一个相关的对称群来控制的
．Euclid群给出Euclid几何而双曲几何源于另一个李群．于是每一个齐性几何对应一个不
同的李群．但是到了后来，随着对Riemann的几何学工作的进一步发展，人们更关心那些
不是齐性的几何，此时曲率随着位置的变化而变化，并且空间不再有整体对称性，然而，
李群仍然起着重要的作用，这是因为在切空间中我们有Euclid坐标，以至于李群可以出现
在一种无穷小的层面上．于是在切空间中，从无穷小的角度来看，李群又出现了，只不过
由于要区分不同位置的不同点，我们需要用某种可以处理不同李群的方式来移动物体．这
个理论是被Eile Cartan真正发展起来的，成为现代微分几何的基石，该理论框架对于Ei
nstein的相对论也起着基本的作用．当然Einstein的理论极大地推动了微分几何的全面发
展．
进入二十世纪，我前面提到的整体性质涉及到了在整体层面上的李群和微分几何．一
个主要的发展是给出所谓的“示性类”的信息，这方面标志性的工作是由Borel和Hirzeb
ruch给出的，示性类是拓扑不变量并且融合三个关键部分：李群，微分几何和拓扑，当然
也包含与群本身有关的代数．
在更带分析味的方向上，我们得到了现在被称为非交换调和分析的理论．这是Fouri
er理论的推广，对于后者，Fourier级数或者是Fourier积分本质上对应于圆周和直线的交
换李群，当我们用更为复杂的李群代替它们时，我们就可以得到一个非常漂亮、非常精巧
并且将李群表示理论和分析融为一体的理论．这本质上是Harish-Chandra一生的工作．
在数论方面，整个“Lang1ands纲领”,现在许多人都这样称呼它，紧密联系于Haris
h-Chandra理论，产生于李群理论之中．对于每一个李群，我们都可以给出相应的数论和
在某种程度实施Langlands纲领．在本世纪后半叶，代数数论的一大批工作深受其影响．
模形式的研究就是其中一个很好的例证，这还包括Andrew Wiles在Fermat大定理方面的工
作．
也许有人认为李群只不过在几何范畴内特别重要而已，因为这是出于连续变量的需要
．然而事实并非如此，有限域上的李群的类似讨论可以给出有限群，并且大多数有限群都
是通过这种方式产生的．因此李群理论的一些技巧甚至可以被应用到有限域或者是局部域
等一些离散情形中．这方面有许多纯代数的工作，例如与George Lusztig名字联系在一起
的工作．在这些工作中，有限群的表示理论被加以讨论，并且我已经提到的许多技术在这
里也可以找到它们的用武之地．
有限群
上述讨论已把我们带到有限群的话题，这也提醒了我：有限单群的分类是我必须承认
的一项工作．许多年以前，也就是在有限单群分类恰要完成之时,我接受了一次采访，并
且我还被问道我对有限单群分类的看法,我当时很轻率地说我并不认为它有那么重要．我
的理由是有限单群分类的结果告诉我们，大多数单群都是我们已知的，还有就是一张有关
若干例外情形的表．在某种意义下，这只不过是结束了一个领域．而并没有开创什么新东
西，当事物用结束代替开始时，我不会感到很兴奋．但是我的许多在这一领域工作的朋友
听到我这么讲，理所当然地会感到非常非常不高兴，我从那时起就不得不穿起“防弹衣”
了．
在这项研究中，有一个可以弥补缺点的优点．我在这里实际上指的是在所有的所谓“
散在群”(sporadic groups)中，最大的被赋予了“魔群”名字的那一个．我认为魔群的
发现这件事本身就是有限单群分类中最叫人兴奋的结果了．可以看出魔群是一个极其有意
思的动物而且现在还处于被了解之中．它与数学的许多分支的很大一部分有着意想不到的
联系，如与椭圆模函数的联系，甚至与理论物理和量子场论都有联系．这是分类工作的一
个有趣的副产品．正如我所说的，有限单群分类本身关上了大门，但是魔群又开启了一扇
大门．
物理的影响
现在让我把话题转到一个不同的主题，即谈谈物理的影响．在整个历史中，物理与数
学有着非常悠久的联系，并且大部分数学，例如微积分，就是为了解决物理中出现的问题
而发展起来的．在二十世纪中叶，随着大多数纯数学在独立于物理学时仍取得了很好的发
展，这种影响或联系也许变得不太明显．但是在本世纪最后四分之一的时间里，事情发生
了戏剧性的变化,让我试着简单地评述一下物理学和数学，尤其是和几何的相互影响．
在十九世纪，Hamilton发展了经典力学，引入了现在称为Hamilton量的形式化．经典
力学导出现在所谓的“辛几何”．这是几何的一个分支，虽然很早已经有人研究了，但是
实际上直到最近二十年，这个课题才得到真正的研究．这已经是几何学非常丰富的一部分
．几何学，我在这里使用这个词的意思是指，它有三个分支：Riemann几何，复几何和辛
几何，并且分别对应三个不同类型的李群．辛几何是它们之中最新发展起来的，并且在某
种意义下也许是最有趣的，当然也是与物理有极其紧密联系的一个，这主要因为它的历史
起源与Hamilton力学有关以及近些年来它与量子力学的联系．现在，我前面提到过的、作
为电磁学基本线性方程的Maxwell方程，是Hodge在调和形式方面工作和在代数几何中应用方面工作的源动力．这是一个非常富有成果的理论，并且自从本世纪三十年代以来已经成为几何学中的许多工作的基础．
我已经提到过广义相对论和Einstein的工作．量子力学当然更是提供了一个重要的实
例．这不仅仅体现在对易关系上，而且更显著地体现在对Hilbert空间和谱理论的强调上
．
以一种更具体和明显的方式，结晶学的古典形式是与晶体结构的对称性有关的．第一
个被研究的实例是发生在点周围的有限对称群，这是鉴于它们在结晶学中的应用．在本世
纪中，群论更深刻的应用已经转向与物理的关系，被假设用来构成物质的基本粒子看起来
在最小的层面上有隐藏的对称性，在这个层面上，有某些李群在此出没，对此我们看不见
，但是当我们研究粒子的实际行为时，它们的对称性就显现无遗了．所以我们假定了一个
模型，在这个模型当中，对称性是一个本质性的要素，而且目前那些很普遍的不同理论都
有一些象SU(2)和SU(3)那样的基本李群融入其中并构成基础的对称群，因此这些李群看起
来象是建设物质大厦的砖石．
并不是只有紧李群才出现在物理中,一些非紧李群也出现在物理中，例如Lorentz群．
正是由物理学家第一个开始研究非紧李群的表示理论的．它们是那些能够发生在Hilbert
空间的表示，这是因为，对于紧群而言，所有不可约表示都是有限维的，而非紧群需要的
是无穷维表示，这也是首先由物理学家意识到的．
在二十世纪的最后25年里，正如我刚刚完成阐述的，有一种巨大的从物理学的新思想
到数学的渗透，这也许是整个世纪最引人注目的事件之一，就这个问题本身，也许就需要
一个完整的报告，但是，基本上来讲，量子场论和弦理论已经以引人注目的方式影响了数
学的许多分支，得到了众多的新结果、新思想和新技术．这里，我的意思是指物理学家通
过对物理理论的理解已经能够预言某些在数学上是对的事情了．当然，这不是一个精确的
证明，但是确有非常强有力的直觉、一些特例和类比所支持．数学家们经常来检验这些由
物理学家预言的结果，并且发现它们基本上是正确的，尽管给出证明是很困难的而且它们
中的许多还没有被完全证明．
所以说沿着这个方向，在过去的25年里取得了巨大的成果．这些结果是极其细致的．
这并不象物理学家所讲的“这是一种应该是对的东西”．他们说：“这里有明确的公式，
还有头十个实例（涉及超过12位的数字）”．他们会给出关于复杂问题的准确答案，这些
决不是那种靠猜测就能得到的，而是需要用机器计算的东西，量子场论提供了一个重要的
工具，虽然从数学上来理解很困难，但是站在应用的角度，它有意想不到的回报．这是最
近25年中真正令人兴奋的事件． 在这里我列一些重要的成果：SimonDona1dson在四维流形方面的工作；Vaughan-Jon es在扭结不变量方面的工作；镜面对称，量子群；再加上我刚才提到的“魔群” 这个主题到底讲的是什么呢？正如我在前面提到过的一样，二十世纪见证了维数的一种转换并且以转换为无穷维而告终，物理学家超越了这些，在量子场论方面，他们真正试图对广泛的无穷维空间进行细致的研究，他们处理的无穷维空间是各类典型的函数空间，它们非常复杂，不仅是因为它们是无穷维的，而且它们有复杂的代数、几何以及拓扑，还有围绕其中的很大的李群，即无穷维的李群，因此正如二十世纪数学的大部分涉及的是几何、拓扑、代数以及有限维李群和流形上分析的发展，这部分物理涉及了在无穷维情形下的类似处理．当然，这是一件非常不同的事情，但确有巨大的成功．
让我更详尽地解释一下，量子场论存在于空间和时间中．空间的真正的意义是三维的
，但是有简化的模型使我们将空间取成一维．在一维空间和一维时间里，物理学家遇到的
典型事物，用数学语言来讲，就是由圆周的微分同胚构成的群或者是由从圆周到一个紧李
群的微分映射构成的群．它们是出现在这些维数里的量子场论中的两个非常基本的无穷维
李群的例子，它们也是理所当然的数学事物并且已经被数学家们研究了一段时间．
在这样一个1＋1维理论中，我们将时空取成一个Riemann曲面并且由此可以得到很多
新的结果．例如，研究一个给定亏格数的Riemann曲面的模空间是个可以追溯到上个世纪
的古典课题．而由量子场论已经得到了很多关于这些模空间的上同调的新结果．另一个非
常类似的模空间是一个具有亏格数g的Riemann曲面上的平坦G-丛的模空间．这些空间都是非常有趣的并且量子场论给出关于它们的一些精确结果．特别地，可以得到一些关于体积的很漂亮的公式，这其中涉及到Zeta函数的取值．
另一个应用与计数曲线(counting curve)有关．如果我们来看给定次数和类型的平面
代数曲线，我们想要知道的是，例如，经过那么多点究竟有多少曲线，这样我们就要面临
代数几何的计数问题，这些问题在上个世纪一直是很经典的．而且也是非常困难的．现在
它们已经通过被称为“量子上同调”的现代技术解决了，这完全是从量子场论中得到的．
或者我们也可以接触那些关于不在平面上而在弯曲族上的曲线的更加困难的问题，这样我
们得到了另一个具有明确结果的被称为镜面对称的美妙理论，所有这些都产生于1＋1维量
子场论．
如果我们升高一个维数，也就是2-维空间和1-维时间，就可以得到Vaughan-Jones的
扭结不变量理论．这个理论已经用量子场论的术语给予了很美妙的解释和分析．
量子场论另一个结果是所谓的“量子群”．现在关于量子群的最好的东西是它们的名
字．明确地讲它们不是群！如果有人要问我一个量子群的定义，我也许需要用半个小时来
解释，它们是复杂的事物，但毫无疑问它们与量子理论有着很深的联系它们源于物理，而
且现在的应用者是那些脚踏实地的代数学家们，他们实际上用它们进行确定的计算．
如果我们将维数升得更高一些，到一个全四维理论（三加一维），这就是Donaldson
的四维流形理论，在这里量子场论产生了重大影响．特别地，这还导致Seiberg和Witten
建立了他们相应的理论，该理论建立在物理直觉之上并且也给出许多非同寻常的数学结果
．所有这些都是些突出的例子．其实还有更多的例子．
接下来是弦理论并且这已经是过时的了！我们现在所谈论的是M一理论，这是一个内
容丰富的理论，其中同样有大量的数学，从关于它的研究中得到的结果仍有待于进一步消
化并且足可以让数学家们忙上相当长的时间．
历史的总结
我现在作一个简短的总结．让我概括地谈谈历史：数学究竟发生了什么？我相当随意
地把十八世纪和十九世纪放在了一起，把它们当做我们称为古典数学的时代，这个时代是
与Euler和Gauss这样的人联系在一起的，所有伟大的古典数学结果也都是在这个时代被发
现和发展的．有人也许认为那几乎就是数学的终结了，但是相反地，二十世纪实际上非常
富有成果，这也是我一直在谈论的．
二十世纪大致可以一分为二地分成两部分．我认为二十世纪前半叶是被我称为“专门
化的时代”，这是一个Hilbert的处理办法大行其道的时代，即努力进行形式化，仔细地
定义各种事物，并在每一个领域中贯彻始终．正如我说到过的，Bourbaki的名字是与这种
趋势联系在一起的．在这种趋势下，人们把注意力都集中于在特定的时期从特定的代数系
统或者其它系统能获得什么．二十世纪后半叶更多地被我称为“统一的时代”，在这个时
代，各个领域的界限被打破了，各种技术可以从一个领域应用到另外一个领域，并且事物
在很大程度上变得越来越有交叉性．我想这是一种过于简单的说法，但是我认为这简单总
结了我们所看到的二十世纪数学的一些方面．
二十一世纪会是什么呢？我已经说过，二十一世纪是量子数学的时代，或者，如果大
家喜欢，可称为是无穷维数学的时代．这意味着什么呢？量子数学的含义是指我们能够恰
当地理解分析、几何、拓扑和各式各样的非线性函数空间的代数，在这里，“恰当地理解
”，我是指能够以某种方式对那些物理学家们已经推断出来的美妙事物给出较精确的证明
． 有人要说，如果用天真幼稚的方式(naive way)来研究无穷维并问一些天真幼稚的问
题，通常来讲，只能得到错误的答案或者答案是无意义的，物理的应用、洞察力和动机使
得物理学家能够问一些关于无穷维的明智的问题，并且可以在有合乎情理的答案时作一些
非常细致的工作，因此用这种方式分析无穷维决不是一件轻而易举的事情．我们必须沿着
这条正确的道路走下去．我们已经得到了许多线索，地图已经摊开了：我们的目标已经有
了，只不过还有很长的路要走．
还有什么会发生在二十一世纪？我想强调一下Connes的非交换微分几何．Alain Con
nes拥有这个相当宏伟的统一理论．同样，它融合了一切．它融合了分析、代数、几何、
拓扑、物理、数论，所有这一切都是它的一部分．这是一个框架性理论，它能够让我们在
非交换分析的范畴里从事微分几何学家通常所做的工作，这当中包括与拓扑的关系．要求
这样做是有很好的理由的，因为它在数论、几何、离散群等等以及在物理中都有（潜力巨
大的或者特别的）应用．一个与物理有趣的联系也刚刚被发现．这个理论能够走多远，能
够得到什么结果，还有待进一步观察．它理所当然地是我所期望的至少在下个世纪头十年
能够得到显著发展的课题，而且找到它与尚不成熟的（精确）量子场论之间的联系是完全
有可能的．
我们转到另一个方面，也就是所谓的“算术几何”或者是Arakelov几何，其试图尽可
能多地将代数几何和数论的部分内容统一起来．这是一个非常成功的理论．它已经有了一
个美好的开端，但仍有很长的路要走．这又有谁知道呢？当然，所有这些都有一些共同点．我期待物理学能够将它的影响遍及所有地方，甚至是数论：Andrew Wiles不同意我这样说，只有时间会说明一切．
这些是我所能看到的在下个十年里出现的几个方面，但也有一些难以捉摸的东西：返
回至低维几何．与所有无穷维的富有想象的事物在一起，低维几何的处境有些尴尬．从很
多方面来看，我们开始时讨论的维数，或我们祖先开始时的维数，仍留下某些未解之谜．
维数为2，3和4的对象被我们称为“低”维的．例如Thurston在三维几何的工作，目标就
是能够给出一个三维流形上的几何分类，这比二维理论要深刻得多．Thurston纲领还远远
没有完成，完成这个纲领当然将是一个重要的挑战． 在三维中另外一个引人注目的事件是Vaughan-Jones那些思想本质上来源于物理的工作．这给了我们更多的关于三维的信息，并且它们几乎完全不在Thurston纲领包含的信息之内．如何将这两个方面联系起来仍然是一个巨大的挑战，但是最近得到的结果暗示两者之间可能有一座桥，因此，整个低维的领域都与物理有关，但是其中实在有太多让人琢磨 不透的东西．
最后，我要提一下的是在物理学中出现的非常重要的“对偶”．这些对偶，泛泛地来
讲，产生于一个量子理论被看成一个经典理论时有两种不同的实现．一个简单的例子是经
典力学中的位置和动量的对偶．这样由对偶空间代替了原空间，并且在线性理论中，对偶
就是Fourier变换．但是在非线性理论中，如何来代替Fourier变换是巨大的挑战之一．数
学的大部分都与如何在非线性情形下推广对偶有关．物理学家看起来能够在他们的弦理论
和M一理论中以一种非同寻常的方式做到了这一点．他们构造了一个又一个令人叹为观止
的对偶实例，在某种广义的意义下，它们是Fourier变换的无穷维非线性体现，并且看起
来它们能解决问题，然而理解这些非线性对偶性看起来也是下个世纪的巨大挑战之一．
我想我就谈到这里．这里还有大量的工作，并且我觉得象我这样的一个老人可以和你
们这么多的年轻人谈谈是一件非常好的事情；而且我也可以对你们说：在下个世纪，有大
量的工作在等着你们去完成．
数学物理：规范场论, 引力场论的经典理论与量子理论, 孤立子理论.
概率论：马氏过程, 随机过程, 随机分析, 随机场, 鞅论, 极限理论, 平稳过程, 概率论 统计学;
数理逻辑与数学基础：递归论, 模型论, 证明论, 公理集合证, 数理逻辑 范畴论
组合数学：组合计数, 图论.
分析学：序列、级数、可求和性 微积分 实变函数 抽象测度论 逼近与展开 特殊函数（单，多）复变函数论,调和分析, Fourier分析
市邱迪可：[答案] 分类: 从纵向划分: 1、初等数学和古代数学:这是指17世纪以前的数学.主要是古希腊时期建立的欧几里得几何学,古代... 整个数学呈现现出全面繁荣的景象. 4、现代数学:是指20世纪的数学.1900年德国著名数学家希尔伯特(D.Hilbert)在世界...
沧县15645928019： '现代全部数学分支'有哪些 - ？
市邱迪可： 他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中,几乎走遍了现代数学所有前沿阵地,从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学.希尔伯特是哥廷根数学学派的核心,他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者,使哥廷根...
沧县15645928019： 逻辑是数学的一大支柱,除它外还有什么? - ？
市邱迪可： 现代数学理论的三大支柱是抽象代数、拓扑学、泛函分析.1.抽象代数:20世纪20年代形成的现代数学分支,它的研究对象由原来代数中的数扩大到更一般的元素,研究它们的代数运算规律和性质以及各种代数结构.抽象代数已渗入到不同的数...
沧县15645928019： 数学总共可分多少种? - ？
市邱迪可： 从纵向划分: 1、初等数学和古代数学:这是指17世纪以前的数学.主要是古希腊时期建立的欧几里得几何学,古代中国、古印度和古巴比伦时期建立的算术,欧洲文艺复兴时期发展起来的代数方程等. 2、变量数学:是指17--19世纪初建立...
沧县15645928019： 数学的分支有哪些?要正确,要全. - ？
市邱迪可： 主要分基础数学和应用数学,基础数学偏重于理论,包括数论,代数,几何,拓扑,函数,泛函分析,常(偏)微分方程,数学物理方程,概率论,组合数学(这些都是本科大学数学专业学习的课程,我就是数学专业的,学的都是纯理论,没啥用,说白了就是锻炼你的逻辑思维能力);应用数学基本上都是到研究生才学的,分的较细,包括数理统计,运筹学,控制论,计算机的数学基础,可以在企业里面直接用
沧县15645928019： 数学是什么东西 - ？
市邱迪可： 数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学.简单地说,是研究数和形的科学.由于生活和劳动上的需求,即使是最原始的民族,也知道简单的计数,并由用手指或实物计数发展到用数字计数.基础数学的知识与运用总是个人与团体生...
沧县15645928019： 哪位知道数学的发展史啊? - ？
市邱迪可： 数学史基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分.其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见.从那时开始,其发展便持续不断地有小幅度的进展,直至16世纪的文艺复兴时期,因...
沧县15645928019： 有关数学问题？
市邱迪可： 1、可以根据示例看出,连续偶数的个数再乘以它下一个自然数就是总和,所以从2开始,n连续的偶数相加,和是n(n+1) 2、因为a>0,b>0,所以a+b>0,所以la+bl =a+b同理lal=a,lbl=b, lal+lbl=a+b所以两者相等 1、同号;异号 2、b-a 3、0(其实因为0在其中,任何数*0都得0)
沧县15645928019： 几何拓扑这个数学分支,主要包含哪些内容 - ？
市邱迪可： 分类: 从纵向划分: 1、初等数学和古代数学:这是指17世纪以前的数学.主要是古希腊时期建立的欧几里得几何学,古代中国、古印度和古巴比伦时期建立的算术,欧洲文艺复兴时期发展起来的代数方程等. 2、变量数学:是指17--19世纪初...
沧县15645928019： 布尔代数简化 - ？
市邱迪可： F = (AB+C)'+ B'C = (AB)'C'+ B'C = (A'+B')C'+ B'C = A'C'+ B'C'+B'C = A'C'+ B'= (A'C')'B= (A+C)B
