判别式法求函数值域怎么求

判别式法求函数值域的原理~

以下图为例吧,在①式中,每个x的值都会得到一个y的值,化为一元二次方程之后,x,y的关系没有发生变化.只是形式上变了,从分式变成了二次式.这里要注意一个x不为0,有时候y会出现多余的值.
x是一定有值与y对应的,这个对应的条件就变为方程有解.
如果取一对x,y的值,准确的说是取一个y值,若没有△≥0成立,x与y不会对应,相反,若有△≥0成立,求出相应的根x与y对应,即反过来,给这个x就会得出原来的y.

1. 对于形如

这种分子、分母的最高次为2次的分式函数，可以将函数化为一个关于x的一元二次方程，将y看做一个常数。与此同时，分母≠0，可以得到x的取值范围。既然x有取值，表示 转化后的一元二次方程有解。
故此时可以利用求根公式中的判别式≥0，来确定y的范围。这种方法，就叫做 “用判别式求函数值域”。
2. 但是此种方法也存在限制，比如 当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但分子分母有公因式可约分时，此时不能用用判别式法做，应先约分，再用反函数法求其值域。

判别式法求函数值域方法：求判别式b^2-4ac，从而判断出值域中函数的根的个数。如果b^2-4ac<0无根，b^2-4ac=0有两个相等根即一个根，b^2-4ac>0有两个不相等根。

具体解题过程：

把x作为未知量，y看作常量，将原式化成关于x的一元二次方程形式y＊,令这个方程有实数解,然后对二次项系数是否为零加以讨论：

（1）当二次项系数为0时,将对应的y值代入方程y＊中进行检验以判断y的这个取值是否符合x有实数解的要求。

（2）当二次项系数不为0时，∵x∈R,∴Δ≥0

此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形。

扩展资料：

求函数值域的常用方法 ：

1、观察法：通过对解析式的观察和简单变形，利用熟知的基本函数的值域，求出变形前的函数的值域 。

2、配方法：若是二次函数，可化形成一般式，则可通过配方后结合二次函数的性质求值域，注意要给区间二次函数最值的求法 。

3、反比例函数法：形如y=(cx+d)/(ax+b)的形式的值域为{y∈R|y≠c/a}。

4、利用复合函数的单调性：注意二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论。

参考资料来源：

百度百科-值域 （数学名词，函数经典定义）

百度百科-判别式

高中数学必修1—判别式法求函数值域

一、判别式法求值域的理论依据

求函数的值域

象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。

解：由得：

（y-1）x2+(1-y)x+y=0 ①

上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程

为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y的范围就是原函数的值域？

我们可以设计以下问题让学生回答：

当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1）

当x=2时，y=? () 当y=时，x=?（2）

以上y的取值，对应x的值都可以取到，为什么？

（因为将y=0和y=代入方程①，方程的△≥0）

当y=-1时，x=?

当y=2时，x=?

以上两个y的值x都求不到，为什么求不到？

（因为将y的值代入方程①式中△<0,所以无解）

当y在什么范围内，可以求出对应的x值？

函数的值域怎样求？

若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。

二、判别式法求值域的适用范围

前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？

求的值域

从表面上看，此题可以用判别式法求值域。

由原函数得：（y-3）x2+2x+(1-y)=0

=4-4（y-3）(1-y)≥0

即（y-2）2≥0 ∴y∈R

但事实上，当y=3时，可解得x=1, 而x=1时，原函数没意义。问题出在哪里呢？

我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式（x-1）,因此原函数可以化简为，用反函数法可求得，又x≠1代入可得y≠2，故可求得原函数的值域为。

因此，当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但分子分母有公因式可约分时，此时不能用用判别式法做，应先约分，再用反函数法求其值域。特别值得注意的是约分后的函数的定义域，如上例中化简后的函数x≠1，故y≠2。

求函数的值域

此函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，且分子分母无公因式，可不可以用判别式法来求值域呢？

由得：3yx2+(2y-1)x+y+5=0

1）当3y=0，即y=0时，可解得x=5，故y可以取到0

2）当3y≠0时，令△=(2y-1)2－4×3y (y+5)≥0

解得：

由1）、2）可得原函数的值域为

上面求得的值域对不对呢？显然y=在所求得的值域范围内，但当y=时，可求得x=2，故了限定了自变量x的取值范围的函数不能用判别式法求值域。

此题可用导数法求得原函数在区间[3，5]内单调递增，故函数的定义域为。

综上所述，函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域：

分子分母的最高次为二次的分式函数；

分子分母无公约数；

未限定自变量的取值范围。

最后需要说明的是用判别式求值域时，第一步将函数变为整式的形式，第二步一定要看变形后的二次项（x2项）系数是否含有y，若含有y，则要分二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论。

利用判别式求值域时应注意的问题
用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：
一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验
错因：把 代入方程（＊）显然无解，因此 不在函数的值域内。事实上， 时，方程（＊）的二次项系数为0，显然不能用“ ”来判定其根的存在情况
二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化
解中函数式化为方程时产生了增根（ 与 虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉 与 时方程中相应的 值。所以正确答案为 ，且 。
三、注意变形后函数值域的变化
四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性
综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。

举例
y=(2x+1)/(x²+1)
定义域：R
y(x²+1)=x+1
yx²-x+y-1=0......①
∵ y=(x+1)/(x²+1)的定义域是R
∴ 关于x的方程①恒有实数解
∴ Δ=(-1)²-4y(y-1)≥0
4y²-4y-1≤0
(4-√32)/8≤y≤(4+√32)/8
(1-√2)/2≤y≤(1+√2)/2
∴
y=(2x+1)/(x²+1)的值域是
[(1-√2)/2，(1+√2)/2]

额，不熟。

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桃江县15681634663： 利用判别式的方法求函数值域 - ？
包钢因卡：[答案] 解 y=(2x^2-2x+3)/(x^2-x+1) 这是一个定义域为R的函数,所以用判别式法来求函数值域 化简可得:(y-2)x^2+(2-y)x+(y-3)=0 因为定义域为R,所以方程肯定有解 所以判别式△=(2-y)^2-4(y-2)(y-3)>=0 所以可得y的范围是[2,10/3]

桃江县15681634663： 用判别式求值域的一般步骤最好有例子 - ？
包钢因卡：[答案] 在函数y=f(x)中,根据定义,一定至少存在一对(x,y)使方程f(x)-y=0成立,二次方程f(x)-y=0有实数解对于分式函数y=f(x)=(ax... 由于变形过程中易出现不可逆得步骤,从而改变了函数得定义域或值域.因此,用判别式求函数值域时,变形过程必须等价,...

桃江县15681634663： 函数求值域判别式法的详解 - ？
包钢因卡：[答案] y=(Ax^2+Bx+C)/(Dx^2+Ex+F)值域 (A-Dy)x^2+(B-Ey)x+(C-Fy)=0 关于x的2次方程有解 判别式 (B-Ey)^2-4(A-Dy)(C-Fy)>=0 关于y的2次不等式的解为值域.

桃江县15681634663： 怎样利用判别式法求函数的值域?举例吧! - ？
包钢因卡： http://wex.hengqian.com/p/2/%C5%D0%B1%F0%CA%BD%B7%A8%C7%F3%BA%AF%CA%FD%D6%B5%D3%F2%D6%AE%B4%ED%CE%F3%C3%E6%C3%E6%B9%DB.doc

桃江县15681634663： 判别式法求值域怎么求 - ？
包钢因卡： 拿这个题目作为例题给你讲吧y=X²+X-1/X²+X+1.判别式法是将函数化为以y为系数的一元二次方程,所以只有△≥0,方程才会有解,近而算出函数值域.y=X²+X-1/X²+X+1用判别式法变成x²+x-1=y(x²+x+1)→(y-1)x²+(y-1)x+y+1=0→①若y=1,则x无解.②若y≠1,则△=(y-1)²-4(y-1)(y+1)≥0 ∴3y²+10y+3≤0 ∴解得 -3≤y≤-1/3∴此时,-3≤y≤-1/3(因为1不在这个范围类,所以不用标注y≠1).综上所述,y的值域为[-3,-1/3].如果你有什么地方看不懂的话,再问我吧

桃江县15681634663： 谁能告诉我怎么样用判别式法去分母和求值域 - ？
包钢因卡： 对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n): 由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解, 把“求f(x)的值域”这问题可转化为“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解,...

桃江县15681634663： 怎样求函数值域? - ？
包钢因卡： 求值域 de 关键是先找出函数的定义域. 有界函数还是无界函数 三角函数还是多项式 线性多项式,二次多项式,三次多项式,高次多项式 找到定义域后,把定义域边界值代入函数,计算y值,y值的范围就是值域. 如果你是大学生: 计算一阶导数和二阶导数,找出曲线反弯点,判断极大极小,求出y.

桃江县15681634663： 用判别式法求函数值域 步骤要说明白 - ？
包钢因卡： 此方法适用于分式型的函数求法,最高次项的次数为2次,分子,分母不能约分的情况.例如:y=x/(x^2+1)的值域.把它以x为未知数,以y为系数化为方程形式,则有:yx^2-x+y=0 这个方程一定有解,因为,函数的定义域一定非空.所以,判别式=1-4y^2>=0 解不等式得到的就是值域为,本题为 -0.5

桃江县15681634663： 如何用判别式法求值域还有,请不要长篇大论`````` - ？
包钢因卡：[答案] 就是把等式转换成一个关于X的式子,然后,把Y当成未知常数,就比如ax平方+bx+c=0 讨论a=0和a不等于0的情况,a不等于0时,用b平方-4ac 大于0,就可以得出y的范围 比如 y=6/(x*2-3x+2) 可以用判别式法 y(x^2-3x+2)=6 yx^2-3xy+2y-6=0 y不等于0 ...

桃江县15681634663： 函数值域的求法!! - ？
包钢因卡： 求函数值域方法•常数分离法•不等式法•配方法•逆求法•换元法•判别式法 一、 配方法 通过配方结合函数图像求函数的值域,一般地,对于二次函数 求值域问题可运用配方法.二、 反函数法 一般地,形如 ,可利用原函数与反函数的定义域和值域之间的互逆关系.三、 分离常数法 一般地,对于分式函数来说,可以分离一个常数去求函数的值 四、 判别式法 一般地.形如 ,转化为关于y的一元二次方程,利用方程有实数解, 来求y.五、 换元法 一般地,形如 ,通过换元 (注意此时t的范围) 六、 分类讨论法 通过分类讨论函数定义域x的符号去求值域.