费尔马小定理是什么?
费马小定理
费马小定理是数论中的一个定理,其内容为:假如a是一个整数，p是一个质数的话，那么 a^p \equiv a \p mod
假如a不是p的倍数的话，那么这个定理也可以写成 a^ \equiv 1 \p mod 。（符号的应用请参见模运算）
关于费马定理的历史
皮埃尔•德•费马于1636年发现了这个定理，在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个质数的要求，但是这个要求实际上是不存在的。与费马无关的有一个中国猜想，这个猜想是中国数学家提出来的，其内容为：当且仅当当2p=2(mod p)，p才是一个质数。
假如p是一个质数的话，则2p = 2(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的。但反过来，假如2p = 2(mod p)成立那么p是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）。因此整个来说这个猜想是错误的。一般认为中国数学家在费马前2000年的时候就已经认识中国猜测了，但也有人认为实际上中国猜测是1872年提出的，认为它早就为人所知是出于一个误解。
关于费马定理证明
假如a 差不能被p整除的话 ， 那么假如x>0和x和p的最 大 公约数为1的话(a,p互素) ， 则x•a与x•a 的差也不能被n整除(也就是说x.a,x.a,.....(p-1).a 不是模n同余的)。取A为所有小于p 的整数的集（A中的数都不能被p整除），
B为A中所有元素除以a所获得的数集。任何两个A 的元素的差都不能被p整除而又有相同的余数，由此任何两个B中的元素的差也无法被p整除。由此 可得
而试图在p-1个元素里取p-1个不同的元素，则必定是相同的
则A集合中元素的乘积，和B集合中元素的乘积一定是模p同余的
即 1.a ×2.a x×3.a......(p-1).a=1×2×3×4......×（p-1)(mod p)
(p-1)!=ap-1(p-1)!(mod p)
在这里W=1•2•3•...•(p-1)。(威尔逊定理）
由于gcd((p-1),p)=1,两边同除以(p-1)!,即可得到费马小定理
费马定理的推广
费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：假如n和a的最大公约数是1的话，那么
a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod
在这里φ(n)是“欧拉商数”。“欧拉商数”的值是所有小于n的自然数中与n没有公约数的数的量。假如n是一个质数，则φ(n) = n-1，即费马小定理。 在费马小定理的基础上费马提出了一
种测试质数的算法。
费马定理的实际应用
如上所述，中国猜测只有一半是正确的，符合中国猜测但不是质数的数被称为“伪质数”。
假如所有符合1 < b < p的b p都满足下列条件的话：
b^ \equiv b \mod p
则p必定是一个质数。
实际上没有必要测试所有的小于p的自然数，只要测试所有的小于p的质数就可以了。
这个算法的缺点是它非常慢，运算率高。
17世纪的一位法国数学家,提出了一个数学难题,使得后来的数学家一筹莫展,这个人就是费马(1601——1665).
这道题是这样的：当n>2时,不定方程 x^n+y^n=z^n 没有正整数解.在数学上这称为“费马大定理”又称为“书边定理”,“费尔马大定理”.为了获得它的一个肯定的或者否定的证明,历史上几次悬赏征求答案,一代又一代最优秀的数学家都曾研究过,即使用现代的电子计算机也只能证明：当n小于等于4100万时,费马大定理是正确的.由于当时费马声称他已解决了这个问题,但是他没有公布结果,于是留下了这个数学难题中少有的千古之谜.
被公认执世界报纸牛耳地位的纽约时报于1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有关数学难题得以解决的消息,那则消息的标题是『在陈年数学困局中,终于有人呼叫『我找到了」』.
五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想,后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大,当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联.在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理联系在一起,而安德鲁·怀尔斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的,进而推出费马最后定理也是正确的.
这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表,这个报告马上震惊整个数学界,就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注.不过怀尔斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵,於是怀尔斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正.1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答,数学界的梦魇终於结束.1997年6月,怀尔斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖.当年的十万法克约为两百万美金,不过怀尔斯领到时,只值五万美金左右,但安德鲁·怀尔斯已经名列青史,永垂不朽了.
说明：
要证明费马最后定理是正确的
（即x^ n+ y^n = z^n 对n>=3 均无正整数解）
1637年，法国业余大数学家费尔马（Pierre
de
Fremat）在“算术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：a
b=c是不可能的（这里n大于2；a，b，c，n都是非零整数)。此猜想后来就称为费尔马大定理。费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下”。一般公认，他当时不可能有正确的证明。猜想提出后，经欧拉等数代天才努力，200年间只解决了n＝3,4,5,7四种情形。1847年，库木尔创立“代数数论”这一现代重要学科，对许多n（例如100以内）证明了费尔马大定理，是一次大飞跃。
历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。其惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀青年于不死。他就是德国的沃尔夫斯克勒，他后来为费尔马大定理设悬赏10万马克（相当于现在160万美元多），期限1908－2007年。无数人耗尽心力，空留浩叹。最现代的电脑加数学技巧，验证了400万以内的N，但这对最终证明无济于事。1983年德国的法尔廷斯证明了：对任一固定的n，最多只有有限多个a，b，c振动了世界，获得费尔兹奖（数学界最高奖）。
费马小定理是数论中的一个定理。其内容为假如a是一个整数，p是一个质数的话，且a、p互素
则
a^p≡1(mod p)
注意是a的p次方，不是a*p
费马小定理，若p是素数且a是整数则a^p≡a(mod
p)，特别的若a不能被p整除，则a^(p-1)≡1(mod
p)。
这可以用数学归纳法证明。
a=1显然成立。
假设对a成立，就是a^p≡a(mod
p)，则对a+1，(a+1)^p,由二项式定理，除了第一项a^p和1以外，其他各项系数都能被p整除，所以(a+1)^p≡a^p+1(mod
p)，而a^p≡a(mod
p)，所以(a+1)^p≡a+1(mod
p)。所以费马小定理得证。
若p是一个质数,而a与p互质,则能被p整除
或者可以这样表达:
若P为素数，正整数a不能被P整除，那么aP-1-1这个数，一定能够被P整除。
若p为素数，a与p互素，则ap-1≡1(mod p)
魏步还原：[答案] 费尔马小定理即费马小定理. 费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为:假如p是质数,且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1(mod p).即:假如p是质数,且a,p互质,那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1.
安图县18575604894： 费尔马小定理是什么? - ？
魏步还原：[答案] 费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为:假如p是质数,且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1(mod p) 假如p是质数,且a,p互质,那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1 构造素数p的完全剩余系P={1,2,3,4…(p-1)},因为(a,p...
安图县18575604894： 费尔马小定理是什么? - ？
魏步还原： 费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数,且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1(mod p) 假如p是质数,且a,p互质,那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1 证明过程: 构造素数p的完全剩余系P={1,2,3,4…(p-1)},因为(a,p)=...
安图县18575604894： 费尔玛小定理是什么? - ？
魏步还原：[答案] 假如p是质数,且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1(mod p) 也有说法是费尔马点,不过公认的是这个.(a,p)=1的意思是它们互质
安图县18575604894： 费马尔小定理内容是什么? - ？
魏步还原： 费马小定理是: 当p是素数时,对於任意一个整数a不是p的倍数时,有以下的等式 ap-1≡1 (mod p).
安图县18575604894： 费尔马小定理是什么?我不太明白啊!若p为素数,a与p互素,则ap - 1≡1(mod p)?p为素数,a与p互质,那举特例设p=3,a=10,满足条件吧!可是ap - 1=29≡2... - ？
魏步还原：[答案] 费马小定理是数论中的一个定理.其内容为假如a是一个整数,p是一个质数的话,且a、p互素 则 a^p≡1(mod p) 注意是a的p次方,不是a*p
安图县18575604894： 什么是费马定律 - ？
魏步还原： 费马(Pierre de Fermat,公元1601年—公元1665年)是十七世纪最伟大的数学家之一. 他对数学的贡献是多方面的,包括了微分学的概念,解析几何(他和笛卡儿可说是独立地发明解析几何,不过他是第一位把它应用到三维空间的人)和数论...
安图县18575604894： 请具体阐释一下费尔马小定理的内容和证明？
魏步还原： 费马小定理是数论中的一个定理.其内容为假如a是一个整数,p是一个质数的话,且a、p互素,则 a^(p-1)≡1(mod p) (就是说,a的(p-1)次幂减1后是p的倍数.)证明:(1)p=2时,若整数a与p=2互素,则a是奇数不妨设为2b+1,则a^(p-1)≡2b+1≡...
安图县18575604894： 费尔马小定理证明 - ？
魏步还原：[答案] 费尔马小定理17世纪时,有个法国律师叫费尔马.他非常喜欢数学,常常利用业余时间研究高深的数学问题,结果取得了很大的成就,被人称为＂业余数学家之王＂.费尔马研究数学时,不喜欢搞证明,喜欢提问题.他凭借丰富的想像力和...
