数学一元二次方程
只含有一个未知数(一元),并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程 。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)。其中ax²叫作二次项,a是二次项系数;bx叫作一次项,b是一次项系数;c叫作常数项 。
扩展资料:
主要形式
一般形式其中 是二次项, 是二次项系数;
是一次项; 是一次项系数; 是常数项。
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 。
变形式 ( 是实数, ) ( 是实数, ) (是实数)。
配方式 两根式
参考资料:一元二次方程_百度百科
答案是C
人教版9年级数学上册会学到,冀教版9年级数学上册第二十九章会学到。
定义:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做一元二次方程。
由一次方程到二次方程是个质的转变,通常情况下,二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多。
一般形式:ax^2+bx+c=0 (a≠0)
一般解法有四种:
⒈公式法(直接开平方法)
⒉配方法
⒊公式法
⒋因式分解法
5.十字相乘法
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号。
例题
例1 把2x^2-7x+3分解因式.
分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分
别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数):
2=1×2=2×1;
分解常数项:
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
1 1
╳
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3
=7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)
=-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)
=-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.
解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).
一般地,对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下:
a1 c1
� ╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.
例2 把6x^2-7x-5分解因式.
分析:按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种
2 1
╳
3 -5
2×(-5)+3×1=-7
是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
指出:通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式,十字相乘法是
1 -3
╳
1 5
1×5+1×(-3)=2
所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).
例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
分析:这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y^2看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即
1 2
�╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).
指出:原式分解为两个关于x,y的一次式.
例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解.
问:两上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答:第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=-3
指出:把(x-y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例5 x^2+2x-15
分析:常数项(-15)<0,可分解成异号两数的积,可分解为(-1)(15),或(1)(-15)或(3)
(-5)或(-3)(5),其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。
=(x-3)(x+5)
总结:①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解: x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,那么
kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)
a b
╳
c d
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程,其解为x=m± .
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以
此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解: 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c
将二次项系数化为1:x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=
当b2-4ac≥0时,x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解:将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1:x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+( )2= +( )2
配方:(x-)2=
直接开平方得:x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项
系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5
解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让
两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
5.十字相乘法
可对形如y=x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解: x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
二元二次方程:含有两个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程。
[编辑本段]附注
一般地,n元一次方程就是含有n个未知数,且含未知数项次数是1的方程,一次项系数规定不等于0;
n元一次方程组就是几个n元一次方程组成的方程组(一元一次方程除外);
一元a次方程就是含有一个未知数,且含未知数项最高次数是a的方程(一元一次方程除外);
一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组(一元一次方程除外);
n元a次方程就是含有n个未知数,且含未知数项最高次数是a的方程(一元一次方程除外);
n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程组(一元一次方程除外);
方程(组)中,未知数个数大于方程个数的方程(组)叫做不定方程(组),此类方程(组)一般有无数个解。
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