一堆的数列求和定式？

【求和】数列求和~

1.Sn=
=等我想一想,印象中(n/1）+（n/2）+（n/3）+...（n/n）有公式,但记不住了
2.an=（1/n）+（2/n）+（3/n）+...（n/n）=(1+n)/2
sn=(1+(1+n)/2)*n/2=(3+n)*n/4

：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. ①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.
②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时，也要进行分类；
③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整
体思想求解.
（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.
一、基本概念：
1、 数列的定义及表示方法：
2、 数列的项与项数：
3、 有穷数列与无穷数列：
4、 递增（减）、摆动、循环数列：
5、 数列{an}的通项公式an：
6、 数列的前n项和公式Sn:
7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：
8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：
二、基本公式：
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。
12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)
13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
当q≠1时，Sn= Sn=
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则
16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则
17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{an bn}、 、 仍为等比数列。
20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)
24、{an}为等差数列，则 (c0)是等比数列。
25、{bn}（bn0）是等比数列，则{logcbn} (c0且c 1) 是等差数列。
26. 在等差数列 中：
（1）若项数为 ，则
（2）若数为 则， ，
27. 在等比数列 中：
（1） 若项数为 ，则
（2）若数为 则，
四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。
28、分组法求数列的和：如an=2n+3n
29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n
30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和：如an=
32、求数列{an}的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当 0,d0时，满足 的项数m使得 取最大值.
(2)当 0,d0时，满足 的项数m使得 取最小值。

1.定义：对于一个给定的数列，把它的连结两项an+1与an的差an+1-an记为bn，得到一个新数列，把数列bn你为原数列的一阶差数列，如果cn=bn+1-bn，则数列是的二阶差数列依此类推，可得出数列的p阶差数列，其中pÎN 　　2.如果某数列的p阶差数列是一非零常数列，则称此数列为p阶等差数列 　　3.高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称 　　4.高阶等差数列的性质： 　　(1)如果数列是p阶等差数列，则它的一阶差数列是p-1阶等差数列 　　(2)数列是p阶等差数列的充要条件是：数列的通项是关于n的p次多项式 　　(3) 如果数列是p阶等差数列，则其前n项和Sn是关于n的p+1次多项式 　　5.高阶等差数列中最重要也最常见的问题是求通项和前n项和，更深层次的问题是差分方程的求解，解决问题的基本方法有： 　　(1)逐差法：其出发点是an=a1+ 　　(2)待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项an与前n项和Sn是确定次数的多项式(关于n的)，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得 　　(3)裂项相消法：其出发点是an能写成an=f(n+1)-f(n)4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的[编辑本段]例题精讲 　　例1.数列的二阶差数列的各项均为16，且a63=a89=10，求a51 　　解：法一：显然的二阶差数列是公差为16的等差数列，设其首项为a,则bn=a+(n-1)×16,于是an= a1+ 　　=a1+(n-1)a+16/2(n-1)(n-2) 　　这是一个关于n的二次多项式，其中n2的系数为8，由于a63=a89=10,所以 　　an=8(n-63)(n-89)+10，从而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658 　　解：法二：由题意，数列是二阶等差数列，故其通项是n的二次多项式，又a63=a89=10，故可设an=A(n-63)(n-89)+10 　　由于是二阶差数列的各项均为16，所以(a3-a2)-(a2-a1)=16 　　即a3-2a2+a1=16，所以 　　A(3-63)(3-89)+10-2[A(2-63)(2-89)+10]+A(1-63)×(1-89)+10=16 　　解得：A=8 　　an=8(n-63)(n-89)+10，从而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658 　　例2.一个三阶等差数列的前4项依次为30,72,140,240，求其通项公式 　　解：由性质(2)，an是n的三次多项式，可设an=An3+Bn2+Cn+D 　　由a1=30、a2=72、a3=140、a4=240得 　　解得： 　　所以an=n3+7n2+14n+8 　　例3.求和：Sn=1×3×22+2×4×32+…+n(n+2)(n+1)2 　　解：Sn是是数列{n(n+2)(n+1)2}的前n项和， 　　因为an=n(n+2)(n+1)2是关于n的四次多项式，所以是四阶等差数列，于是Sn是关于n的五次多项式 　　k(k+2)(k+1)2=k(k+1)(k+2)(k+3)-2k(k+1)(k+2)，故求Sn可转化为求 　　Kn=和Tn= 　　k(k+1)(k+2)(k+3)=[ k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-(k-1) k(k+1)(k+2)(k+3)]，所以 　　Kn== 　　Tn== 　　从而Sn=Kn-2Tn= 　　例4.已知整数列适合条件： 　　(1)an+2=3an+1-3an+an-1,n=2,3,4,… 　　(2)2a2=a1+a3-2 　　(3)a5-a4=9,a1=1 　　求数列的前n项和Sn 　　解：设bn=an+1-an,Cn=bn+1-bn 　　Cn=bn+1-bn= (an+2-an+1)-( an+1-an)=an+2-2an+1+an=(3an+1-3an+an-1) -2an+1+an=an+1-2an+an-1 　　=Cn-1 (n=2,3,4,…) 　　所以是常数列 　　由条件(2)得C1=2,则是二阶等差数列 　　因此an=a1+ 　　由条件(3)知b4=9，从而b1=3，于是an=n2 　　例5.求证：二阶等差数列的通项公式为 　　证明：设的一阶差数列为，二阶差数列为，由于是二阶等差数列，故为常数列 　　又c1=b2-b1=a3-2a2+a1 　　所以 　　例6.求数列1,3+5+7,9+11+13+15+17,…的通项 　　解：问题等价于：将正奇数1,3,5,…按照“第n个组含有2n-1个数”的规则分组： 　　(1)、(3,5,7)、(9,11,13,15,17),… 然后求第n组中各数之和an 　　依分组规则，第n组中的数恰好构成以2为公差的项数为2n-1的等差数列，因而确定了第n组中正中央这一项，然后乘以(2n-1)即得an 　　将每一组的正中央一项依次写出得数列：1,5,13,25,…这个数列恰为一个二阶等差数列，不难求其通项为2n2-2n+1，故第n组正中央的那一项为2n2-2n+1，从而 　　an=(2n-2n+1)(2n-1) 　　例7.数列的二阶差数列是等比数列，且a1=5,a2=6,a3=9,a4=16,求的通项公式 　　解：易算出的二阶差数列是以2为首项，2为公比的等比数列,则cn=2n, 　　的一阶差数列设为，则b1=1且 　　从而 　　例8.设有边长为1米的正方形纸一张，若将这张纸剪成一边长为别为1厘米、3厘米、…、(2n-1)厘米的正方形，愉好是n个而不剩余纸，这可能吗？ 　　解：原问题即是是否存在正整数n，使得12+32+…+(2n-1)2=1002 　　由于12+32+…+(2n-1)2=[12+22+…+(2n)2]-[22+42+…+(2n)2]=随着n的增大而增大，当n=19时=9129<10000，当n=20时=10660>10000 　　故不存在… 　　例9.对于任一实数序列A={a1,a2,a3,…}，定义DA为序列{a2-a1,a3-a2,…}，它的第n项为an+1-an，假设序列D(DA)的所有项均为1，且a19=a92=0,求a1 　　解：设序列DA的首项为d,则序列DA为{d,d+1,d+2,…},它的第n项是d+(n-1)，因此序列A的第n项 　　显然an是关于n的二次多项式，首项等比数列为 　　由于a19=a92=0，必有 　　所以a1=819 　　摘自数学教育之窗 　　--------------------------------------------------------------- 　　五、公式法（缺少证明）只适用于“规则型高阶等差数列” 　　因为编辑问题，只能用描述的方法，如果有问提请留言 　　 http://hi.baidu.com/w359405949/board　　“an等于C（排列符号）上标：p-2下标：“n+(p-3)乘以（a1+(n-1)*d/(p-1) ）……⑴式 　　说明:"p"和"d"的意义可暂不考虑，关于推导过程，有兴趣的联系，我可以给你解答， 　　下面只给出"p"和"d"的确定方法： 　　“ a1*p^2-(a1+2*a2)*P+2*a3=0”……⑵式 　　解出的p取整数且较小的那个并代入“d=a2-(p-1)a1” ……⑶式 求出d，将"p"和"d"代入上式，得到的方程为通项公式 　　例：1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2=? 　　a1=1^2=1 a2=1^2+2^2=5 a3=1^2+2^2+3^2=14 　　代入⑵式得：p^2-11p+28=0 　　解得p=4，p=7(舍去) 　　将p=4代入⑶式得：d=5-(4-1)*1=2 　　将p=4和d=2代入⑴式得：an=C上标2下标n+1乘以（1+(n-1)*2/(4-1)） 　　整理得：an=C上标2下标n+1乘以(2n+1/3) 　　即：an=(n+1)*n*(2n+1)/6 　　--------------------------------------------------------------- 　　【r阶等差分布函数】（注明：以下内容独立于以上内容，但只是形式不同，二者之间是可以转化的） 　　建立：自然数直角坐标系O-xyz 　　定义：F(x,y)=z满足[1],[2] <==def==> F(x,y)=z是等差分布函数 　　[1]任意y∈N, F(0,y)=F(0,0) 　　[2]任意x,y∈N, F(x+1,y+1)=F(x,y)+F(x+1,y) 　　[1],[2]==>[3]任意x≥0, 第x列F(x,0),F(x,1),…F(x,n),…为x阶等差数列 　　[2]==>[4]任意x≥0,y≥0, F(x,y)+F(x,y+1)+F(x,y+2)+…F(x,y+n)=F(x+1,y+n+1)-F(x+1,y) 　　[2]==>[5]任意x≥0,y≥0, F(x+1,y)+F(x+2,y+1)+F(x+3,y+2)+…F(x+n,y+n-1)=F(x+n,y+n)-F(x,y) 　　�6�1当输入F(x_i,y)(任意i∈N). 即若在每一列的任意格内输入一个数，则F(x,y)=z就被确定下来 　　�6�1当输入F(0,0)=1,F(x_i,0)=0(i≥1)或输入F(x,x)=1(任意x≥0)，则结果得出F(x,y)=z就是杨辉三角！

求倒有时候能用比如求1/nx的n次 数学归纳法也不错方法很多你说的是常见的建议你记住他们的特征在选择方法

这些方法不是用来求和的，是用来求数列通项公式的

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迁西县13772905653： 一堆的数列求和定式? - ？
尘方银屑： 1. 公式法:等差数列求和公式: Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 等比数列求和公式: Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) 2.错位相减法适用题型:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别...

迁西县13772905653： 求数列求和的几种方法(至少7种说明清楚)且要相应的例题. - ？
尘方银屑：[答案] 1.公式法: 等差数列求和公式: Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 等比数列求和公式: Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) 2.错位相减法 适用题型:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列...

迁西县13772905653： 常用数列求和公式 - ？
尘方银屑： (1) 等比数列:a (n+1)/an=q (n∈N). (2) 通项公式:an=a1*q^(n-1); 推广式: an=am*q^(n-m); (3) 求和公式:Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值,n为项数) (4)性质: ①若 m、n、p、q∈N,且m+n=p+...

迁西县13772905653： 数列求和公式 - ？
尘方银屑： 等差等比数列求和公式 Sn=n(a1+an)/2 或 Sn=[2na1+n(n-1)d]/2 注:an=a1+(n-1)d 转换过程:Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2 等比数列求和公式 等比数列:求和公式:Sn=n*a1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-anq)/(1-q)

迁西县13772905653： 常见的数列求和公式 - ？
尘方银屑： 还有裂项法 an=1\n(n+1) 有an=1\n-1\(n+1) n个这样的式子相加可得前n项和 还有变形 an=1\n(n+d)=1\d(1\n-1\(n+d))

迁西县13772905653： 数列求和的公式 - ？
尘方银屑： 等差数列求和公式:等比数列求和公式: 差比数列求和公式: a:等差数列首项 d:等差数列公差 e:等比数列首项 q:等比数列公比 其他

迁西县13772905653： 求若干数列求和公式 a^0+a^1+a^2+a^3+……+a^n - 1+a^n - ？
尘方银屑： 1 是等比数列 Sn= (a-a^n*a)/(1-a) (a≠1)2是平方和求和公式 Sn=n(n+1)(2n+1)/6 3是级数求和公式推倒比较复杂,暂时没有固定的求和公式 如果满意,敬请采纳.谢谢

迁西县13772905653： 高中数列的求和方法 - ？
尘方银屑： 1、这个自然是观察 2、用来求通项,一般不是求和 3、一般求高阶数列和等比数列对应相乘的数列.这个高阶对于现在的你是等差数列,对于高三的你则可能是任何多项式.比如an=n * 2^n,即可运用错位相减,具体算法不懂问我,看资料是最好的,提高自学能力,我高中的数学知识九成以上都是自己学的,除了高二之后连上数学课都不听,自己做 4、这个一般是求等差数列 5、一般使用于分母是一个等差数列的连续两项或者三项之积的形式,比如1/n(n+1)可以裂为1/n-1/(n+1),然后相加,前后就抵消了.这是最简单的,还有比如分母是2的多少次方减去1的形式,现在不是你能接触到的

迁西县13772905653： 求数列求和的方法,越多越好! - ？
尘方银屑： 公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和..1、公式法: 等差数列求和公式: Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 等比数列求和公式: Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) 其他 ...

迁西县13772905653： 几种常见数列求和的形式是什么 - ？
尘方银屑： 公式:等差,等比,自然数平方、立方和,二项式定理等 倒序相加减:二项式系数 裂项求和:分母为等差数列相邻两项,可分成指数形式,可分母有理化,阶乘 错位相加减:等差与等比相乘的,两边乘以公比后再错位相减