证明 ，已知an=根号(n+1)-根号n , 求证Sn<跟号n ,请分别用数学归纳法和常规的法，并且说明an是否有最大项

高二数学题，已知Sn=1/2（an+1/an），用数学归纳法证明an=根号n-根号（n-1）。~

将后面的部分用ak，a(k+1)表示——利用条件，再利用归纳假设

当n=1时，由2Sn=2An=An+1/An,得An=1，结论成立；
假设当n=K+=1时结论成立，即An-1=根号（n-1)-(根号(n-2))，
则n=K时，
由2Sn=An+1/An与2Sn-1=An-1+1/An-1作差得到
An-1/An=-（An-1）-（1/An-1）
将An-1=根号（n-1)-(根号(n-2))代入，可以解出An！

常规的二楼已经说了，Sn=a1+a2+......an=根号（n+1)-1,平方就是答案。
我说一下数学归纳法的：
1、n=1时，S1=a1=根号2-1（大约0.414）<1
2、n=k(k大于或等于1)时，设Sk<根号k成立,既根号（k+1)<k。
n=k+1时，Sk+1=根号（k+2)-1
因为k>或=1，(k+1)平方<（k+1)*(k+2)
所以k+1<根号[(k+1)*(k+2)]
两边同乘以2，得
2k+2<2*根号[(k+1)*(k+2)]
移项，得k+2+k+1-2*根号[(k+1)*(k+2)]<1
既[根号（k+2)-根号(k+1)]平方<1
两边开方，得
根号（k+2)-根号(k+1)<1
根号（k+2)-1<根号（k+1)
所以Sk+1<根号k+1

由1、2得，Sn<跟号n

n=1时an最大，此时a1=根号2-1

打得好辛苦，给点分做奖赏吧！！！

sdf

Sn=根号（n+1）-1，两边平方。

---

黄陵县18946893100： 高一下数学:已知数列an中,a1=1/2,an=1/(√n+1+√n),则Sn=? - ？
依闵奥德： 应该是n≥2时,an=1/[√(n+1)+√n]吧 an=1/[√(n+1)+√n]=√(n+1)-√n(n≥2) Sn=a1+a2+a3+······+an=1/2+(√2-1)+(√3-√2)+······+[√(n+1)-√n]=1/2+√(n+1)-1=√(n+1)-1/2

黄陵县18946893100： 数列an的通项公式an=1/[(根号下n+1)+(根号下n)],已知前n项和Sn=6,则项数n等于多少 - ？
依闵奥德： an=1/[(根号下n+1)+(根号下n)]= (根号下n+1)-(根号下n) S(n)=√2-1 +√3-√2+√4-√3 +....+√(n+1)-√n =√(n+1) -1=6 n+1=49 n=48

黄陵县18946893100： 数列{an}的通向公式an=1/(根号n+1 + 根号n)已知他的前n项和为Sn=9,则项数 - ？
依闵奥德： an先分母有理化得an=根号(n+1)-根号n Sn=a1+a2+……+an=(√2-1)+(√3-√2)+(√4-√3)+……(√n+1-√n)=√n+1 -1 =9 解得n=99

黄陵县18946893100： 试用数学归纳法证明:an=根号n - 根号(n - 1) - ？
依闵奥德： 由2Sn=An+1/,得An=1, 则n=K时,即An-1=根号(n-1)-(根号(n-2)),结论成立; 假设当n=K+=1时结论成立当n=1时,由2Sn=2An=An+1/An;An-1作差得到 An-1/An=-(An-1)-(1/An-1) 将An-1=根号(n-1)-(根号(n-2))代入;An与2Sn-1=An-1+1/

黄陵县18946893100： 已知正向数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥2时,an=根号下Sn+根号下(Sn - 1) 求An的通项 - ？
依闵奥德： 证明:(1)当n=1时,S1=a1=1,√S1=1 当n≥2时,an=(√Sn+√Sn-1)/2=Sn-Sn-1(√Sn+√Sn-1)/2=(√Sn-√Sn-1)(√Sn+√Sn-1) ∴√Sn-√Sn-1=1/2 ∴数列{√Sn}是以首项1,公差1/2的一个等差数列 (2)由(1)得:√Sn=√S1+(n-1)d=1+(n-1)*1/2=(n+1)/2 Sn=【(n+1)/2】²=(n+1)²/4 Sn-1=(n-1+1)²/4=n²/4 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n+1)²/4-n²/4=(2n+1)/4 当n=1时,a1=(2*1+1)/4=3/4≠1 ∴当n=1时,a1=1;当n≥2时,an=(2n+1)/4

黄陵县18946893100： 已知数列{an} 通项公式是an=1/根号n +根号n+1 , 前n项和为10.则项数n为? - ？
依闵奥德： an = 1 / [√n + √(n+1)] = [√n - √(n+1)] / [n - (n+1)] = √(n+1) - √n Sn= (√2 -√1) + (√3 - √2) + ... + [√(n+1) -√n] = √(n+1) - 1

黄陵县18946893100： 证明:若a1=根号2,an+1=根号(2an),n=1,2,…,则数列{an}收敛,并求其极限. - ？
依闵奥德： 证明:若a1=根号2,an+1=根号(2an),n=1,2,…,则数列{an}收敛,极限是2.显然an>0 则a(n+1)^2-an=2an-an=an>0 即a(n+1)>an 则an单调递增,下面用数学归纳法证明an有上界即an<2.当n=1时,a1<2显然成立,假设当n=k时,ak<2成立...

黄陵县18946893100： 数列{An}中,An=根号n(n+1),Sn是它的前n项的和,求证:n(n+1)/2小于Sn小于(n+1)^2/2？
依闵奥德： 1/(根号n+根号n+1)上下都乘以(根号n+1-根号n)就变成An=根号n+1-根号n加起来就成了Sn=(根号n+1)-1

黄陵县18946893100： 判断An=根号(n+2)—根号(n+1)的单调性! - ？
依闵奥德： An=根号(n+2)-根号(n+1) =1/[根号(n+2)+根号(n+1)]A(n-1)=根号(n+1)-根号n =1/[根号(n+1)+根号n]分子一样,比较分母,An

黄陵县18946893100： 已知数列an=1/(根号 n+1 +根号n)求其前n项和Sn - ？
依闵奥德：[答案] an=(根号n+1-根号n)/(根号n+1+根号n)(根号n+1-根号n) =(根号n+1-根号n)/(n+1-n) =根号n+1-根号n 所以Sn=根号2-1+根号3-根号2+根号4-根号3+.+根号n+1-根号n =根号n+1-1