什么时候积分要分成不定积分和定积分的?
1.0不定积分
设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分。
记作∫f(x)dx。
其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
由定义可知:
求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。
也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.
2.0定积分
众所周知,微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数。所以,微分与积分互为逆运算。
实际上,积分还可以分为两部分。第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C(C是常数)的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x),C是无穷无尽的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分。
而相对于不定积分,就是定积分。
所谓定积分,其形式为∫f(x) dx (上限a写在∫上面,下限b写在∫下面)。之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数。
定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分。用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。
我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?
定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是:
若F'(x)=f(x)
那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b)
牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。
正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
3.0微积分
积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数。在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
一个函数的不定积分(亦称原函数)指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数。
其中:[F(x) + C]' = f(x)
一个实变函数在区间[a,b]上的定积分,是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。
积分 integral 从不同的问题抽象出来的两个数学概念。定积分和不定积分的统称。不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。例如:已知定义在区间I上的函数f(x),求一条曲线y=F(x),x∈I,使得它在每一点的切线斜率为F′(x)= f(x)。函数f(x)的不定积分是f(x)的全体原函数(见原函数),记作 。如果F(x)是f(x)的一个原函数,则 ,其中C为任意常数。例如, 定积分是以平面图形的面积问题引出的。y=f(x)为定义在[a,b〕上的函数,为求由x=a,x=b ,y=0和y=f(x)所围图形的面积S,采用古希腊人的穷竭法,先在小范围内以直代曲,求出S的近似值,再取极限得到所求面积S,为此,先将[a,b〕分成n等分:a=x0<x1<…<xn=b,取ζi∈[xi-1,xi〕,记Δxi=xi-xi-1,,则pn为S的近似值,当n→+∞时,pn的极限应可作为面积S。把这一类问题的思想方法抽象出来,便得定积分的概念:对于定义在[a,b〕上的函数y=f(x),作分划a=x0<x1<…<xn=b,若存在一个与分划及ζi∈[xi-1,xi〕的取法都无关的常数I,使得,其中则称I为f(x)在[a,b〕上的定积分,表为即 称[a,b〕为积分区间,f(x)为被积函数,a,b分别称为积分的上限和下限。当f(x)的原函数存在时,定积分的计算可转化为求f(x)的不定积分:这是c牛顿莱布尼兹公式
微分
一元微分
定义:
设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx。
通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。
当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X),如果存在一个与△X无关的常数A,使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差关于△X→0是高阶无穷小量,则称A·△X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。函数可导必可微,反之亦然,这时A=f′(X)。再记A·△X=dy,则dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。
几何意义:
设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。
多元微分
同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义。
运算法则:
dy=f'(x)dx
d(u+v)=du+dv
d(u-v)=du-dv
d(uv)=du·v+dv·u
d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2
...为什么不能直接用0到2拍积分。。 什么时候积分要分开积什么时後可以...
可以从0到2π直接积分.不过算到后面还是要分区间讨论.
高等数学 为什么积分区间会被分成0到1 1到无穷大 1是怎么得出来的啊...
本题属于双重反常积分,既有无限区间,又有瑕点,所以,分成两个积分区间,这样,可以有效的把复杂的问题变成单一的反常积分问题,至于那个1,是可以任意选择的,(区间内任意一点都可以的),你要觉得不爽,那就来个2,或者π\/2好了。
积分什么情况下可以交换次序
A、合适的次序,三下五去二,就能解决; 次序错了,原本能解出来的题,也变得不可解了。 B、无论怎样交换积分次序,都不可能积分积出来。3、对于积分区域很复杂的情况,积分区间要分割, 部分区间内,可能要改变积分次序;部分内可能不需要改变; 部分区域间内,可能无论怎样都积分不出来。
移动积分什么时候之前换掉,否则要过期
在您办理跨区入网时,积分按原归属地的积分结构1:1自动转移,转移后的促销回馈积分有效期不变。9、“和积分”限制使用规则:(1)入网未满6个月:如您入网未满6个月,暂不可使用积分(包括兑换、转赠)。只有您入网满6个月(含入网当月)后,才可使用积分。(2)停机:手机号码在停机状态下,包括...
我想问,积分区间0到派,不能直接算么,为什么要分开呢?求解释
被积函数是(√2)|cosx| 直接计算时不好写原函数,分段后,去掉了绝对值符号,原函数就简单了。
使用分部积分所限制的条件,比如什么时候不能用分部积分?
“dv”很复杂的情况下不能用分部积分,如果dv很复杂,那么会使得我们算出的v也很复杂。代入进式子当中之后会使得vdu变得很难计算。分部积分的前提是要让v的计算尽量简单,三角函数和各种出现e的函数。所以对于有三角函数以及自然底数e出现的函数,优先考虑分部积分。
...在0的时候是无穷大 怎么会是PI\/4? 还有这个积分要怎么额算呀?_百度...
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怎么交换积分次序?
与积分区域的交点就是积分上下限;同理,如果是先对y积分,就作一条平行于y轴的 直线穿过积分上下限。第三:交换积分次序的时候,根据积分区域的不同,可能会涉及到把两个积分合成一个积分,也可能会把一个积分分成两个积分,所以具体依积分区域而定。例题1、由已知的累次积分写出积分的区域D;然后...
液相色谱两个峰分不开可以积分么
要看情况。要是同一种物质的代谢物或者异构体,计算的时候可以同时积分。如果不是同一种物质,肯定不行。
信用卡积分是怎么计算的
1个回答 #热议# 在购买新能源车时,要注意哪些?湖北倍领科技 2023-11-11 · 百度认证:湖北倍领科技官方账号 湖北倍领科技 向TA提问 关注 展开全部 信用卡积分是怎么计算的 不同银行的信用卡积分计算规则不同,简单列举几家银行如下: 1.招商银行积分规则 持卡消费每20元记一分,不足20不记分。 2....
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汉柱盖尔:[答案] 从您的问题中我觉得是这样的,其实积分的时候都是要做定积分的,一般这个定积分的积分上限是表达式里的积分变量,下限制是零,通常积分下限得出的结果是0,所以您用不定积分做出的结果和定积分的结果是一样的.但是,并不是所有问题积分...
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戚墅堰区15247307147: 微积分是什么意思 - ?
汉柱盖尔: 这是积分符号,意思是把符合条件的一大堆趋于0的数求和,然后得到一个值或者一个函数的符号.
戚墅堰区15247307147: 高数认真学过的来看看,全微分和积分到底是啥关系 - ?
汉柱盖尔: 积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种 1.0不定积分 设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分. 记作∫f(x)dx. 其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被...
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戚墅堰区15247307147: sinx的不定积分 ?
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