斐波那契数列求和公式
斐波那契数列的通项公式为
an=√5/5[(1+√5)/2]^n-√5/5[(1-√5)/2]^n，设bn=√5/5[(1+√5)/2]^n，cn=√5/5[(1-√5)/2]^n
则an=bn-cn，{bn}是公比为(1+√5)/2的等比数列，{cn}是公比为(1-√5)/2的等比数列，
bn的前n项和Bn=√5/5[(1+√5)/2]*(1-[(1+√5)/2]^n)/(1-[(1+√5)/2])
=(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)/10
cn的前n项和Cn=√5/5[(1-√5)/2]*(1-[(1-√5)/2]^n)/(1-[(1-√5)/2])
=(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)/10
所以an的前n项和An=a1+a2+…+an=b1-c1+b2-c2+…+bn-cn=Bn-Cn
=(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)/10-(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)/10
={(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)-(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)}/10
斐波那契数列的形式为；
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，...
斐波那契数列的通项公式为
an=√5/5[(1+√5)/2]^n-√5/5[(1-√5)/2]^n，
设bn=√5/5[(1+√5)/2]^n，
cn=√5/5[(1-√5)/2]^n
则an=bn-cn，
{bn}是公比为(1+√5)/2的等比数列，
{cn}是公比为(1-√5)/2的等比数列，
bn的前n项和Bn=√5/5[(1+√5)/2]*(1-[(1+√5)/2]^n)/(1-[(1+√5)/2])
=(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)/10
cn的前n项和Cn=√5/5[(1-√5)/2]*(1-[(1-√5)/2]^n)/(1-[(1-√5)/2])
=(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)/10
所以an的前n项和
An=a1+a2+…+an
=b1-c1+b2-c2+…+bn-cn=Bn-Cn
=(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)/10-(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)/10
={(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)-(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)}/10
1、奇数项求和
2、偶数项求和
3、平方求和
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。
为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
扩展资料：
斐波那契数列的应用：
1、生物应用
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，如果选择树干上的一片叶子，将其计数为零，然后按顺序（假设没有损坏）计数叶子，直到达到适合这些叶子的位置，它们之间的叶子数基本上是斐波那契数。从一个位置移动到下一个位置的叶子称为周期。
叶子在一个周期内旋转的圈数也是斐波那契数。一个循环中叶数与叶旋转圈数之比称为叶序比（源自希腊语，意为叶的排列）。大多数叶序比是斐波那契数。
2、自然界中的应用
自然界中的斐波那契数列斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。例如，树木的生长，由于新的枝条，往往需要一段时间的“休息”时间来自己生长，才能使新的枝条发芽。因此，例如，幼苗每隔一年生长一个新的枝条。
第二年，新树枝“休息”，老树枝仍在发芽。之后，老枝和老枝“休憩”一年的同时发芽，而当年的新枝则在第二年“休息”。这样，一棵树每年的分枝数就构成了斐波那契数列。这个定律是生物学中著名的“鲁德维格定律”。
参考资料来源：百度百科-斐波那契数列
参考资料来源：百度百科-斐波那契数
斐波那契数列
的
通项公式
为
an=√5/5[(1+√5)/2]^n-√5/5[(1-√5)/2]^n，设bn=√5/5[(1+√5)/2]^n，cn=√5/5[(1-√5)/2]^n
则an=bn-cn，{bn}是
公比
为(1+√5)/2的
等比数列
，{cn}是公比为(1-√5)/2的等比数列，
bn的前n项和Bn=√5/5[(1+√5)/2]*(1-[(1+√5)/2]^n)/(1-[(1+√5)/2])
=(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)/10
cn的前n项和Cn=√5/5[(1-√5)/2]*(1-[(1-√5)/2]^n)/(1-[(1-√5)/2])
=(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)/10
所以an的前n项和An=a1+a2+…+an=b1-c1+b2-c2+…+bn-cn=Bn-Cn
=(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)/10-(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)/10
={(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)-(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)}/10
利用特征方程的办法（这个请自行参阅组合数学相关的书）。
设斐波那契数列的通项为An。
（事实上An = (p^n - q^n)/√5，其中p = (√5 - 1)/2, q = (√5 + 1)/2。但这里不必解它）
然后记
Sn = A1 + A2 + ... + An
由于
An = Sn - S(n-1) = A(n-1) + A(n-2) = S(n-1) - S(n-2) + S(n-2) - S(n-3)
= S(n-1) - S(n-3)
其中初值为S1 = 1, S2 = 2, S3 = 4。
所以
Sn - 2S(n-1) + S(n-3) = 0
从而其特征方程是
x^3 - 2x^2 + 1 = 0
即
(x - 1)(x^2 - x - 1) = 0
不难解这个三次方程得
x1 = 1
x2 = p
x3 = q
（p, q值同An中的p, q）。
所以通解是
Sn = c1 * x1^n + c2 * x2^n + c3 * x3^n
其中c1，c2，c3的值由S1，S2，S3的三个初值代入上式确定。我就不算了。
并不是所有的数列都可以求。
但是Fibanocci数列是可以求通项公式的。
a(n+2)=a(n+1)+an
如果能做到：
a(n+2)-ka(n+1)=q(a(n+1)-kan)就好办了。
这应该没问题的，待定系数求k,q.
挺复杂的一个式子，使用积分简单计算出来。
这里也说不清楚，唉……
蛮聂苯扎： 具体的方法要用特征根的方法来求解,比较复杂. 最后结果是 an={[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5
铁岭县18772187160： 斐波那契数列的总和 - ？
蛮聂苯扎： 这个就通过那个通项公式求和就可以了. 通项公式为an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} 对0-n求和Sn(a0=0,为了计算方便加上,对结果没有影响) 利用等比数列的求和公式.1+a+a^2+...+a^n=(1-a^(n+1))/(1-a) Sn=(1/√5)*{(((1+√5)/2)^(n+1...
铁岭县18772187160： 斐波那契数列的总和斐波那契数列到N的总和怎么算啊?答案对的话加10013,21.......n 而且,求总和用得公式是Sn=a(r^n - 1)除以r - 1 - ？
蛮聂苯扎：[答案] 这个就通过那个通项公式求和就可以了. 通项公式为an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} 对0-n求和Sn(a0=0,为了计算方便加上,对结果没有影响) 利用等比数列的求和公式.1+a+a^2+...+a^n=(1-a^(n+1))/(1-a) Sn=(1/√5)*{(((1+√5)/2)^(n+1)-1)/((1+...
铁岭县18772187160： 急求~斐波那契数列公式~小学的!! - ？
蛮聂苯扎： 设开始只有一对成熟的小兔,设an是第n个月的兔子对数,则有 a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,...a(n+1)=an+a(n-1)(n>=2) 即这个月是前两个月的兔子之和
铁岭县18772187160： 请问斐波那契数列的前n项和公式是什么?斐波那契数列中每两个相邻的数字的商都是1.618(黄金分割),那么可不可以用等比数列的前n项和? - ？
蛮聂苯扎：[答案] 这个数列是由13世纪意大利斐波那契提出的的,故叫斐波那契数列.该数列由下面的递推关系决定: F0=0,F1=1 Fn+2=Fn + Fn+1(n>=0) 它的通项公式是 Fn=1/根号5{[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方}(n属于正整数) 斐波那契数列有许多神...
铁岭县18772187160： 斐波那契数列通项公式是什么 - ？
蛮聂苯扎：[答案] 斐波那契数列指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21…… 这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和.它的通项公式为:(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
铁岭县18772187160： 斐波那契数列! - ？
蛮聂苯扎： 斐波那契数列指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34…… 这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和.它的通项公式为:(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}通项是两个等比数通项之差. 求和公式就是两个等比数列求和公式之差
铁岭县18772187160： 写一个求Fibonacci数列前n项和的函数. - ？
蛮聂苯扎：[答案] 首先求Fibonacci通项公式: 递推式: a n+1=a n+a n-1 特征方程: x^2-x-1=0 特征根: a=二分之(1+根号5),b=二分之(1-根号5).则 an=(a^n-b^n)/根号5 前n项和就是两个等比数列求和(a^n和b^n的求和). sn=[a^2-b^2-a^(n+2)+b^(n+2)]/(根号5...
铁岭县18772187160： 斐波拉契数列求和公式 ？
蛮聂苯扎： 用C#写: 初始界面:代码: usingSystem;usingSystem.Collections.Generic;... namespace斐波那契数列{ publicpartialclassForm1:Form { publicForm1() { ...
铁岭县18772187160： 求数列通项公式 (双重裴波那契数列) - ？
蛮聂苯扎： 如果设所求的数列通项为a(n),那么由于这个数列的相邻两项的差为裴波那契数列,所以我们可以得到弟推式:a(n+1)-a(n)=F(n).由这个弟推公式我们可以得到以下一些式子:a(2)-a(1)=F(1) a(3)-a(2)=F(2) a(4)-a(3)=F(3) ............. a(n-1)-a(n-1)=F(n-...
