【高中数学基础知识】（八）二次函数、一元二次方程和不等式

~ 在探讨二次函数、一元二次方程与不等式之间的关系之前，让我们首先回顾一下初中阶段学习过的一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的关联。这节内容将遵循类似的思路，探索二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的联系。不过，我们将提前提及下节课将要学习的“函数的表示方法”。

让我们暂时沿用初中（传统意义上）的函数概念：在某个数学问题中有两个变量，不妨记为x和y。y随x的变化而变化，并且对于每一个（有意义的）x值，y都有唯一确定的值。此时，我们说y是x的函数。称x为这个函数的“自变量”，y为这个函数的“因变量”。

例如，想象一颗小钢球从空中某一点自由落体，从开始运动的瞬间开始计时。记自由落体的时间为t秒，小钢球在t秒的时间内落下的距离是s米。这样的情况下，s随t的变化而变化，并且s（地球上的重力加速度，我们假设它是一个固定的值，或者说是一个“常量”）。因此，我们说s是t的函数。

如果一个函数的自变量和因变量之间的关系可以用“y等于一个关于x的式子”（在分段函数的情况下是一组）来表示，那么这个（组）式子就叫作这个函数的“解析式”。用解析式来表示一个函数的做法称为“解析法”。在上述例题中，“s”就是这个问题下的函数解析式。

在一个函数中，对于每一个（有意义的）x值，y都有唯一确定的值。这就意味着，对于每一个x，在平面直角坐标系中都有唯一确定的一个点（x, y）与之对应。从而，我们可以把一个函数涉及到的所有的点都画在平面直角坐标系上，用这些点的全体来表示这个函数。这些点的全体称作这个函数的图像，用这种方法来表示一个函数的做法称为“图像法”。

在上述例题中，我们可以用这种方法画出这么一个图（这里我们代入常数9.8米每二次方秒）。

在这个函数中，所有点会组成一条曲线。因此我们只要确定几个点的位置后，用平滑的曲线连接起来就可以了。另外注意，这个函数中x才有意义。

在初中阶段，我们已经学习过二次函数与一元二次方程的关系：

例如，考察二次函数y = ax^2 + bx + c（a不等于0）。这个函数的图像如下所示：

这个函数的图像与x轴相交于点（x1, 0）和点（x2, 0），对应一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的根为x1和x2。

接下来，我们引入一元二次不等式。它的概念与一元一次不等式类似。

一元二次不等式形如“ax^2 + bx + c > 0”或者“ax^2 + bx + c < 0”，其中a、b和c为常数，且a不等于0。

在上述例题中，我们发现，在x > x2或x x1（可以将这两个区间并起来，记作x不属于[x1, x2]时），函数图像在x轴的上方。这意味着，在x > x2或x x1时，我们有ax^2 + bx + c > 0；而在x1或x2（可以将这两个点合并，记作x = [x1, x2]时），函数图像在x轴的下方。这意味着，在x1或x2时，我们有ax^2 + bx + c < 0。

这是对应于方程有两个实数根（即判别式大于0）时的一个例子。a > 0和a < 0时也能分别利用函数图像得到对应的结果。总的来说，二次函数、一元二次方程和不等式的解的对应关系如下表所示：

【注1】上表中规定了a不等于0。当a小于0时，可以得到大同小异，但绝大多数不等号都改变了方向的结论。但更推荐的做法是，在遇见二次项系数a小于零的一元二次不等式时，不等号左右两边都乘以-a（记得改变不等号的方向）。

【注2】一个不等式的全体解可以组成一个集合，称为这个不等式的“解集”。一般来说，求一个不等式的“解”，实际上等同于求这个不等式的“解集”。我的高中数学老师曾说：“解不等式比解方程要难。因为不等式有无穷多个解，漏掉任意一个解都不能得到最终的正确答案。”另外，正如表格所示，如果一个不等式无解，那么我们可以说这个不等式的解集是一个空集。

最后，需要指出的是，上述方法实际上可以应用在其他任何函数与它对应的方程、不等式上。我们用“y = f(x)”来表示一个关于x的式子。方程ax^2 + bx + c = 0的实数根（如果有）对应函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴交点的横坐标，不等式ax^2 + bx + c > 0的解集对应使得函数y = ax^2 + bx + c的图像在x轴上方的全体x值，不等式ax^2 + bx + c < 0的解集对应使得函数y = ax^2 + bx + c的图像在x轴下方的全体x值。上面这些话反过来说也对。

---

垫江县13498312319： 二次函数是什么?？
剧养丹佐： 先说说一元二次函数吧,二元的同理一元二次函数: 二次曲线可以是椭圆, 双曲线, 抛物线.但一般来说都是指形如 y=ax^2+bx+c (其中a不等于0)形式的函数叫做一元二次函数. 1、当a>0时的性质: (1)图象开向上. (2)它的顶点坐标是[...

垫江县13498312319： 谁有数学二次函数详细知识点? - ？
剧养丹佐： 二次函数知识点总结 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果 是常数, ,那么 叫做 的二次函数. 2.二次函数 的性质 (1)抛物线 的顶点是坐标原点,对称轴是 轴. (2)函数 的图像与 的符号关系. ①当 时抛物线开口向上 顶点为其最低点; ②当...

垫江县13498312319： 有关二次函数的内容,应该怎么学习? - ？
剧养丹佐：[答案] 二次函数与其图像是初中代数的重要内容之一,是学过一次函数概念及性质,含确定一次函数的解析式运用数形结合思想解决实际问题的基础上进入二次函数的学习,它把代数和几何揉合在一起,因此成为了中考中的重点内容,也是高中数学知识的...

垫江县13498312319： 函数的重要知识点是什么?二次函数 ？
剧养丹佐： 建议你首先温习一下“一元二次方程”及“一次函数”,以便更好地理解二次函数. 重点:1.图像(抛物线) 2.解析式(y=ax^2+bx+c) 3.与一元二次方程的关系(抛物线与x轴的两交点等于对应的一元二次方程的两实数根).

垫江县13498312319： 浅谈中学二次函数？
剧养丹佐： 在初中教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解.进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性...

垫江县13498312319： 二次函数全面知识(支持原创) - ？
剧养丹佐： 首先是二次函数的解析式问题. 1、待定系数法求解析式,即通常所说的联立方程求a、b、c 2、利用对称轴x=-b/2a辅以适当的坐标也能求解析式,又例如已知f(x+1)=f(x-1)就是说这个二次函数对称轴是x=1 3、实际问题的求解析式,建立坐标系时...

垫江县13498312319： 如何学好数学二次函数?？
剧养丹佐： 掌握基础知识,通过练习巩固,二次函数在高中数学中也是有很大用途的,希望你能很好掌握,在学习中采用数型结合思想,运动观点.

垫江县13498312319： 二次函数平移与哪些数学知识具有密切的联系 - ？
剧养丹佐： 知识点1:二次函数的定义 一般地,如果,那么叫做的二次函数. [注意]⑴二次函数中,x,y都是变量,是常数,自变量x的取值范围是全体实数,b,c可以是任意实数,但是不为0的实数; ⑵若,则变成,当时,是一次函数;当时,则为常数函数; ...

垫江县13498312319： 高中数学知识点有哪些?？
剧养丹佐： 高中数学是全国高中生学习的一门学科.包括《集合与函数》《三角函数》《不等式》《数列》《立体几何》《平面解析几何》等部分, 高中数学主要分为代数和几何两大...

垫江县13498312319： 高中数学知识(二次函数根的分布) - ？
剧养丹佐： 我画个图看看,等等啊以③看当f(k1)=0就要有k1 那么1.如果-(b/2a)=(k1+k2)/2就是说K1,K2关于对称轴对称,但是f(k1)=0就是f(k2)=0情况如图:有两个根2.如果-(b/2a)>(k1+k2)/2,如图看到(K1,k2)有两个根(不符) 3.-(b/2a) ④也一样 其实,如果对二次函数对称性熟悉也可直接判断