求曲面z=x^2+y^2与平面2x+4y-z=0平行的切平面的方程。请高手讲解一下

曲面z=x^2+y^2。 与平面2x+4y-z=0平行的切面方程。高数题。。~

αz/αx=2x，αz/αy=2y，所以曲面在任意点(x,y,z)处的切平面的法向量是(2x,2y,-1)。切平面与
平面2x+4y-z=0平行，所以2x/2=2y/4=(-1)/(-1)，所以x=1，y=2。
所以x=x^2+y^2=5，切点坐标是(1,2,5)。切片的法向量是(2,4,-1)。
所求切平面的方程是2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0，即2x+4y-z-5=0。

:曲面z=x^2-y^2与平面2x+4y-z=0平行的切平面方程
z`(x)=2x, z`(y)=-2y
切平面与平面2x+4y-z=0平行
法向量（2x,-2y,-1）//(2,4,-1) 2x/2=-2y/4=-1/(-1)
切点 x=1,y=-2, z=1+2=3
切平面方程 2(x-1)+4(y+2)-(z-3)=0
2x+4y-z+9=0

切平面的方程为2x+4y-z=5。

解：令曲面为F(x,y,z)=x^2+y^2-z=0，且曲面上点P(x0,y0,z0)处的切平面与平面2x+4y-z=0平行。

分别对F(x,y,z)进行x，y，z求偏导，得

φF(x,y,z)/φx=2x，φF(x,y,z)/φy=2y、φF(x,y,z)/φz=-1

那么可得点P(x0,y0,z0)处的切平面的法向量为n=(2x0,2y0,-1)

又平面2x+4y-z=0的法向量为m=(2,4,-1)。

要使曲面上点P(x0,y0,z0)处的切平面与平面2x+4y-z=0平行，那么n∥m，

可得2x0/2=2y0/4=-1/(-1)，可求得

x0=1，y0=2，z0=5。

那么过点P(1,2,5)且与平面2x+4y-z=0平行的切平面为，

2(x-1)+4(y-2)-1(z-5)=0，即

2x+4y-z=5

即切平面的方程为2x+4y-z=5。

扩展资料：

1、法向量性质

（1）若n=(a,b,c)为平面M的法向量，A ,B为平面上任意两点，则有法向量n与向量AB的乘积为零。

即n·AB=0。

（2）若n=(a,b,c)为平面M的法向量，且平面M上的点为P(x0,y0.z0)，那么平面M的方程可表示为，

a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0。

2、空间向量的基本定理

（1）共线向量定理

两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。

（2）共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by

（3）空间向量分解定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

参考资料来源：百度百科-法向量

参考资料来源：百度百科-切平面

结果为：2x+4y-z=5

解题过程如下：

解：设曲面为F(x,y,z)=x^2+y^2-z=0

且曲面上点P(x0,y0,z0)处的切平面与平面2x+4y-z=0平行

分别对F(x,y,z)进行x，y，z求偏导，得

φF(x,y,z)/φx=2x，φF(x,y,z)/φy=2y、φF(x,y,z)/φz=-1

∵ 平面2x+4y-z=0的法向量为m=(2,4,-1)

∴可得2x0/2=2y0/4=-1/(-1)

∴x0=1，y0=2，z0=5

过点P(1,2,5)且与平面2x+4y-z=0平行的切平面为

2(x-1)+4(y-2)-1(z-5)=0

∴切平面的方程为2x+4y-z=5

扩展资料

求平行的切平面的方程的方法：

设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

1、函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。

2、函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。

3、函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，如果两个  上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对  中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

z/αx=2x,αz/αy=2y,所以曲面在任意点(x,y,z)处的切平面的法向量是(2x,2y,-1).切平面与
平面2x+4y-z=0平行,所以2x/2=2y/4=(-1)/(-1),所以x=1,y=2.
所以x=x^2+y^2=5,切点坐标是(1,2,5).切片的法向量是(2,4,-1).
所求切平面的方程是2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0,即2x+4y-z-5=0.

简单计算一下即可，答案如图所示

要与曲面相切即相与一点，因为与2x+4y-z平行，所以此方程为2x+4y-z+h=0,与曲面方程相减可得方程（x-1）²+(y-4)²-h=5,所以只有当h=-5时此方程才有唯一解，所以切面方程为
2x+4y-z-5=0

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