求曲面z=x^2+y^2与平面2x+4y-z=0平行的切平面的方程。请高手讲解一下
αz/αx=2x,αz/αy=2y,所以曲面在任意点(x,y,z)处的切平面的法向量是(2x,2y,-1)。切平面与
平面2x+4y-z=0平行,所以2x/2=2y/4=(-1)/(-1),所以x=1,y=2。
所以x=x^2+y^2=5,切点坐标是(1,2,5)。切片的法向量是(2,4,-1)。
所求切平面的方程是2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0,即2x+4y-z-5=0。
:曲面z=x^2-y^2与平面2x+4y-z=0平行的切平面方程
z`(x)=2x, z`(y)=-2y
切平面与平面2x+4y-z=0平行
法向量(2x,-2y,-1)//(2,4,-1) 2x/2=-2y/4=-1/(-1)
切点 x=1,y=-2, z=1+2=3
切平面方程 2(x-1)+4(y+2)-(z-3)=0
2x+4y-z+9=0
切平面的方程为2x+4y-z=5。
解:令曲面为F(x,y,z)=x^2+y^2-z=0,且曲面上点P(x0,y0,z0)处的切平面与平面2x+4y-z=0平行。
分别对F(x,y,z)进行x,y,z求偏导,得
φF(x,y,z)/φx=2x,φF(x,y,z)/φy=2y、φF(x,y,z)/φz=-1
那么可得点P(x0,y0,z0)处的切平面的法向量为n=(2x0,2y0,-1)
又平面2x+4y-z=0的法向量为m=(2,4,-1)。
要使曲面上点P(x0,y0,z0)处的切平面与平面2x+4y-z=0平行,那么n∥m,
可得2x0/2=2y0/4=-1/(-1),可求得
x0=1,y0=2,z0=5。
那么过点P(1,2,5)且与平面2x+4y-z=0平行的切平面为,
2(x-1)+4(y-2)-1(z-5)=0,即
2x+4y-z=5
即切平面的方程为2x+4y-z=5。
扩展资料:
1、法向量性质
(1)若n=(a,b,c)为平面M的法向量,A ,B为平面上任意两点,则有法向量n与向量AB的乘积为零。
即n·AB=0。
(2)若n=(a,b,c)为平面M的法向量,且平面M上的点为P(x0,y0.z0),那么平面M的方程可表示为,
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0。
2、空间向量的基本定理
(1)共线向量定理
两个空间向量a,b向量(b向量不等于0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ,使a=λb。
(2)共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是,存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by
(3)空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc。
参考资料来源:百度百科-法向量
参考资料来源:百度百科-切平面
结果为:2x+4y-z=5
解题过程如下:
解:设曲面为F(x,y,z)=x^2+y^2-z=0
且曲面上点P(x0,y0,z0)处的切平面与平面2x+4y-z=0平行
分别对F(x,y,z)进行x,y,z求偏导,得
φF(x,y,z)/φx=2x,φF(x,y,z)/φy=2y、φF(x,y,z)/φz=-1
∵ 平面2x+4y-z=0的法向量为m=(2,4,-1)
∴可得2x0/2=2y0/4=-1/(-1)
∴x0=1,y0=2,z0=5
过点P(1,2,5)且与平面2x+4y-z=0平行的切平面为
2(x-1)+4(y-2)-1(z-5)=0
∴切平面的方程为2x+4y-z=5
扩展资料
求平行的切平面的方程的方法:
设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一:
1、函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等,即f(x0+)≠f(x0-)。
2、函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。
3、函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等,但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。
则函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的间断点。
如果一个函数f在某个区间上黎曼可积,并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零,那么它的勒贝格积分也大于等于零。
作为推论,如果两个 上的可积函数f和g相比,f(几乎)总是小于等于g,那么f的(勒贝格)积分也小于等于g的(勒贝格)积分。
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质,改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数,改变有限个点的取值,其积分不变。
对于勒贝格可积的函数,某个测度为0的集合上的函数值改变,不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同,那么它们的积分相同。如果对 中任意元素A,可积函数f在A上的积分总等于(大于等于)可积函数g在A上的积分,那么f几乎处处等于(大于等于)g。
z/αx=2x,αz/αy=2y,所以曲面在任意点(x,y,z)处的切平面的法向量是(2x,2y,-1).切平面与
平面2x+4y-z=0平行,所以2x/2=2y/4=(-1)/(-1),所以x=1,y=2.
所以x=x^2+y^2=5,切点坐标是(1,2,5).切片的法向量是(2,4,-1).
所求切平面的方程是2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0,即2x+4y-z-5=0.
简单计算一下即可,答案如图所示
要与曲面相切即相与一点,因为与2x+4y-z平行,所以此方程为2x+4y-z+h=0,与曲面方程相减可得方程(x-1)²+(y-4)²-h=5,所以只有当h=-5时此方程才有唯一解,所以切面方程为
2x+4y-z-5=0
设∑为曲面z=x^2+y^2(z≤1)的上侧,求曲面积分∫∫(x+z^2)dydz-zdxdy...
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