已知四面体ABCD,若AB⊥CD,AD⊥BC,则AC⊥BD(分别用分析法和综合法

已知在四面体ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD. 求证:AD⊥BC~

过点B作CD的垂线,垂足为M
则平面ABM与线段CD垂直
过点C作BD的垂线,垂足为N
则平面ACN与线段BD垂直
设BM和CN的交点为O,连接DO,并延长到BC,交BC于点P
则DP⊥BC
∵平面ABM和平面ACN的交线是AO
∴AO⊥BD,AO⊥CD
∴AO⊥平面BCD
∴AO⊥BC
∵DP⊥BC
∴BC⊥平面ADP
∵AD∈平面ADP
∴AD⊥BC

如图，作AO⊥BCD.O∈BCD.
DC⊥AO.DC⊥AB.∴DC⊥BAF.（F∈DC）.∴DC⊥BF.
同理.∵BC⊥AD,∴DE⊥BC.（O∈DE.E∈BC）.
O为⊿BCD之垂心，CG⊥BD.（O∈CG,G∈BD）.又BD⊥AO.∴BD⊥AGC.BD⊥AC.

分析法：
在底面三角形BCD中找一点A的射影O，连接BO,DO,CO.根据射影定理BO⊥CD,DO⊥BC，再根据三角形三条高线交与一点得出，CO⊥BD，而O是A在三角形BCD的射影，所以，AC⊥BD

综合法：(向量法）该问所有字母表示的是向量 ac*bd=（ab+bc）（bc+cd）=ab*bc+ab*cd+bc^2+bc*cd=ab*bc+bc^2+bc*cd=bc*(ab+bc+cd）=bc*ad=0 所以垂直

综合法：(向量法）该问所有字母表示的是向量 ac*bd=（ab+bc）（bc+cd）=ab*bc+”ab*cd”+bc^2+bc*cd
=ab*bc+bc^2+bc*cd（你这因解释一下，AB⊥CD，所以AB*CD=0）！！！
=bc*(ab+bc+cd）
=bc*ad
=0 所以垂直

在底面三角形BCD中找一点A的射影O，连接BO,DO,CO.根据射影定理BO⊥CD,DO⊥BC，再根据三角形三条高线交与一点得出，CO⊥BD，而O是A在三角形BCD的射影，所以，AC⊥BD（这个做的还可以）思路是对的过程不完整呵呵

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高州市19712989522： 在四面体ABCD中,设AB=1,CD=2且AB⊥CD,若异面直线AB与CD间的距离为2,则四面体ABCD的体积为 - ----- - ？
酉齐根宁： ∵AB垂直于CD, ∴可以过AB作平面α,使平面α与线段CD垂直. 这样α将四面体剖成两个小的四面体. 将截面视为底,CD视为两个四面体高的总和, 那么两个小四面体的体积之和即为四面体ABCD的体积: V=13 *(12 *2*1)*2=23 故答案为:23 .

高州市19712989522： 已知在四面体ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD. 求证:AD⊥BC - ？
酉齐根宁： 过点B作CD的垂线,垂足为M 则平面ABM与线段CD垂直 过点C作BD的垂线,垂足为N 则平面ACN与线段BD垂直 设BM和CN的交点为O,连接DO,并延长到BC,交BC于点P 则DP⊥BC ∵平面ABM和平面ACN的交线是AO ∴AO⊥BD,AO⊥CD ∴AO⊥平面BCD ∴AO⊥BC ∵DP⊥BC ∴BC⊥平面ADP ∵AD∈平面ADP ∴AD⊥BC

高州市19712989522： 用向量方法证明:已知四面体ABCD,若AB⊥CD,AD⊥BC,则AC⊥BD. - ？
酉齐根宁： 向量符号我不会打,就用文字“向量”表示,看起来有点麻烦 可以吗?不带“向量”二字的就表示直线 令向量AB=向量a,向量AD=向量b,向量AC=向量c ∵AB⊥CD ∴向量AB·向量CD=0,即向量AB·(向量AD-向量AC)=0 ∴向量a·(向量c-向量b)=0,即向量a·向量c=向量a·向量b ① ∵AD⊥BC ∴向量AD·向量BC=0,即向量AD·(向量AC-向量AB)=0 ∴向量b·(向量c-向量a)=0,即向量b·向量c=向量a·向量b ② 由②- ①得,(向量b-向量a)·向量c=0 ∴(向量AD-向量AB)·向量AC=0 即向量AC·向量BD=0,即AC⊥BD 辛辛苦苦打出来的,希望能够帮到你,呵呵~~~~

高州市19712989522： 用向量法证明已知正四面体ABCD,若AB垂直CD,AD垂直BC,则AC垂直BD - ？
酉齐根宁： 令向量AB=d,向量AC=c,向量AD=d 则向量CD=AD-AC=d-c, BC=AC-AB=c-b, BD=AD-AB=d-b 因为AB垂直CD,AD垂直BC 所以AB点乘CD=0,即b点乘(d-c)=0,就有b点乘d=b点乘c 同理,d点乘c=d点乘b 所以d点乘c=b点乘c 那么有,AC点乘BD=c点乘(d-b)=c点乘d-c点乘b=0 所以AC垂直BD

高州市19712989522： 已知在半径为5的球面上有A,B,C,D四点,若AB=6,CD=8,则四面体ABCD的体积的最大值为什么? - ？
酉齐根宁： 当AB与CD距离d为最大值,且AB⊥CD时,四面体ABCD的体积=6*8*d*sinθ/6最大;球心O到AB距离OG=4,球心O到CD距离OH=3 d最大=4+3=7,,sinθ最大=1,四面体ABCD的体积最大=6*8*d*sinθ/6=56

高州市19712989522： 在四面体ABCD中,若AB⊥CD,AD⊥BC,求证:AC⊥BD - ？
酉齐根宁： 过A点向BCD面做投影,得到E点.连接EB,EC,ED.由于AE垂直面BCD,则AE垂直CD.又AB垂直CD,得CD垂直面AEB.得CD垂直EB.同理由AD垂直BC得BC垂直DE.由上得E为三角形BCD的垂心.所以CE垂直于BD,又因为AE垂直BD,所以BD垂直面ACE.所以BD垂直AC.

高州市19712989522： 如图,在四面体ABCD中,若AB⊥CD,AD⊥BC,求证:AC⊥BD用直线与平面垂直知识做 要有具体过程 - ？
酉齐根宁：[答案] 如图,作AO⊥BCD.O∈BCD. DC⊥AO.DC⊥AB.∴DC⊥BAF.(F∈DC).∴DC⊥BF. 同理.∵BC⊥AD,∴DE⊥BC.(O∈DE.E∈BC). O为⊿BCD之垂心,CG⊥BD.(O∈CG,G∈BD).又BD⊥AO.∴BD⊥AGC.BD⊥AC.

高州市19712989522： 已知四面体ABCD(图1),沿AB、AC、AD剪开,展成的平面图形正好是图2所示的直角梯形(梯形的顶点、、重合于四面体的顶点A). (1)证明:AB⊥CD. ... - ？
酉齐根宁：[答案] 【分析】(1)要证AB⊥CD,先证AB⊥面ACD,在其展成的平面图形中A1B⊥A1D,A2B⊥A2C,从而AB⊥AC,AB⊥AD,可得线面垂直,即可得线线垂直. \n(2)要求四面体ABCD的体积,先确定其底面和高线,然后分别求其值,利用三棱锥的体积公式...

高州市19712989522： 在四面体ABCD中,若AB⊥CD,AD⊥BC.求证AC⊥BD - ？
酉齐根宁： 如图,作AO⊥BCD.O∈BCD. DC⊥AO.DC⊥AB.∴DC⊥BAF.(F∈DC).∴DC⊥BF. 同理.∵BC⊥AD,∴DE⊥BC.(O∈DE.E∈BC). O为⊿BCD之垂心,CG⊥BD.(O∈CG,G∈BD).又BD⊥AO.∴BD⊥AGC.BD⊥AC.

高州市19712989522： 已知四面体ABCD为正四面体,求AB与CD所成的角. - ？
酉齐根宁：[答案] 如下图所示,AD=AC,BC=BD, 取CD的中点E,连接AE,BE,则 AE⊥CD,BE⊥CD,又由AE∩BE=E ∴CD⊥平面ABE 又∵AB⊂ABE ∴AB⊥CD ∴AB与CD所成的角为 π 2