线性代数中||A||怎么算

线性代数中||A||怎么算~

线性代数中
||a||
是指向量a的长度
||a||
=
√(a,a)
=
√a^ta
其中
(a,a)
是a与a的内积,
是a的各分量的平方之和

||A||是矩阵的范数，
||A||的1次范数||A||1 = 矩阵A列的绝对值的和的最大值
||A||的无穷次范数||A||无穷 = 矩阵A行的绝对值的和的最大值。
例如：
| -3 5 2 |
A = | 2 -1 3 |
|-4 1 1 |
那么||A||1 = 3 + 2 + 4 = 9
||A||无穷= 3 + 5 + 2 = 10

L0范数：

L1范数：

L2范数：

常用的三种p-范数诱导出的矩阵范数是：

1-范数：║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值)　(其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其余类似)；

2-范数：║A║2 = A的最大奇异值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (欧几里德范数,谱范数,即A^H*A特征值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵)；

∞-范数：║A║∞ = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| } (行和范数，A每一行元素绝对值之和的最大值)　(其中为∑|a1j| 第一行元素绝对值的和，其余类似)

扩展资料：

一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。　

如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。

注：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为m*n矩阵全体和m*n维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。

参考资料来源：百度百科-矩阵范数

||a|| = √(a,a) = √a^Ta

其中 (a,a) 是a与a的内积,是a的各分量的平方之和

如a=（X1,X2,X3）,则||a||=√X1^2+X2^2+X3^3

些矩阵范数不可以由向量范数来诱导，比如常用的Frobenius范数(也叫Euclid范数，简称F-范数或者E-范数)：║A║F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (A全部元素平方和的平方根)。

容易验证F-范数是相容的，但当min{m,n}>1时F-范数不能由向量范数诱导(||E11+E22||F=2>1)。可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。

扩展资料

谱半径和范数的关系是以下几个结论：

定理1：谱半径不大于矩阵范数，即ρ(A)≤║A║。

因为任一特征对λ,x,Ax=λx，可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。

定理2：对于任何方阵A以及任意正数e，存在一种矩阵范数使得║A║<ρ(A)+e。

定理3(Gelfand定理)：ρ(A)=lim_{k->∞} ║A^k║^{1/k}。

利用上述性质可以推出以下两个常用的推论：

推论1：矩阵序列 I,A,A^2,…A^k,… 收敛于零的充要条件是ρ(A)<1。

推论2：级数 I+A+A^2+... 收敛到(I-A)^{-1}的充要条件是ρ(A)<1。

参考资料来源：百度百科-矩阵范数

线性代数中 ||a|| 是指向量a的长度

||a|| = √(a,a) = √a^Ta

其中 (a,a) 是a与a的内积,是a的各分量的平方之和

如a=（X1,X2,X3）,则||a||=√X1^2+X2^2+X3^3

扩展资料

常用矩阵范数：

（1）行和范数：就是对矩阵每行绝对值求和，然后在取最大值就定义为矩阵的行和范数。

（2）列和范数：就是对矩阵每列绝对值求和，然后在取最大值就定义为矩阵的列和范数。

（3）谱范数：求解矩阵A与自身转置乘积所得矩阵的模最大特征值，记这个特征值的模叫做矩阵的谱半径，也就是此矩阵的谱范数，注意这里做的乘积是必要的，就是方阵化，因为我们一般的矩阵不一定是方阵并不一定有特征值。

表示向量的长度，如a=（X1,X2,X3）,则||a||=√X1^2+X2^2+X3^3

对客
：也需能不能灬乙：好：：好障障辉

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