函数y=xcosx 是否为x→+∞时的无穷大？ 为什么？

问题，函数y=xcosx在（-∞，+∞）内是否有界？这个函数是否为x→+∞时的无穷大？为什么~

x→＋∞时，f(x)是无穷大的定义是：对于任意大的正数M，存在正数X，对于任意的x＞X，恒有|f(x)|＞M。
分析：x很大时，始终存在使得cosx=0的x，所以|f(x)|＞M不可能恒成立。
把无穷大的定义否定，得到“不是无穷大”的定义：存在正数M，对于任意的正数X，存在x＞X，但是|f(x)|≤M。
过程：
对于正数M=1，不管正数X多大，存在正整数n，使得nπ+π/2＞X，但|f(nπ+π/2)|=0＜1。所以f(x)=xcosx不是x→＋∞时的无穷大。

－－－－－－－－
一般对于无界、无穷大可以使用函数极限与数列极限的关系来说明：如果存在数列Xn，使得f(Xn)是无穷大，则f(x)无界。如果存在数列yn，使得f(yn)的极限有限，则f(x)不是无穷大。

x=2kπ（k∈Z)时y=2kπ，
∴在（-∞，+∞）内y=xcosx无界。
x=(k+1/2)π时y=0,
∴当x→+∞时y不趋向于无穷大。

不是.

按照无穷大函数的定义.

用反证法.

假设xcosx是x→+∞时的无穷大.

则对任意给定的正数M（无论多么大），

假设存在正数X，

当x>X时，

有|xcosx |>M  *.

但是 ,无论X取何实数，*式不恒成立，因为|cosx|<1.

假设不成立。

所以xcosx不是x→+∞时的无穷大

从数形结合解释。

事实上,当x充分大时, xcosx的振幅充分大.当x→+∞时,它在振幅趋于无穷大的状态下,上下震荡，而不趋于某一种状态。如图。

不是，因为cosx是属于在一个范围内波动的函数

不是 cosx是有界函数，x→+∞时cosx极限不存在

---

北仑区13611801546： 函数y=xcosx 是否为x→+∞时的无穷大?为什么? - ？
营枝蒲郁：[答案] 不是.按照无穷大函数的定义.用反证法.假设xcosx是x→+∞时的无穷大.则对任意给定的正数M(无论多么大),假设存在正数X,当x>X时,有|xcosx |>M *.但是 ,无论X取何实数,*式不恒成立,因为|...

北仑区13611801546： 函数y=xcosx在( - ∞,+∞)内是否有界?这个函数是否为x→+∞时的无穷大?为什么?这是我们大一的高数题.解答的时候最好多讲讲有界与无界的问题,还有无... - ？
营枝蒲郁：[答案] 按照无穷大函数的定义.用反证法.假设xcosx是x→+∞时的无穷大.则对任意给定的正数f(m)(无论多么大),存在正数f(m)=|mcosm|,当x>m时,有|xcosx |>f(m)但是 ,无论X取何实数,|xcosx|>f(m)式不恒成立,因为|cosx|

北仑区13611801546： 函数的极限2函数y=xcosx是否为x→+∞时的无穷大?以下是我的做法;lim(x→+∞)xcosx=lim(x→+∞)1/(xcosx)∵lim(x→+∞)1/x为无穷小,又∵1/cosx为有界函数,... - ？
营枝蒲郁：[答案] 1/cosx为有界函数?你这个地方错了!我们私下探讨一下……

北仑区13611801546： 求救一道高数的题.函数y=xcosx在( - ∞,+∞)内是否有界?这个函数是否为x→+∞是的无穷大?要求证明.答案很简单,主要是证明,求详细证明.谢谢. - ？
营枝蒲郁：[答案] 支持2楼无界,但不是无穷大 下面给出证明:对任意的M>0,取x=2k∏,其中k为整数,k>[M/2∏]+1 此时f(x)>M,故f(x)在(-∞,+∞) 上无界 定义法:对N>0,对于任意的X,取x=(k+1/2)∏,其中k为整数,k>[X/∏]+1 则f(x)=00,对于任...

北仑区13611801546： 函数y=xcosx在R内是否有界?这个函数是否为x→+无穷时的无穷大? - ？
营枝蒲郁： 无界,但是它是周期函数,在区间里一半增一半减,并不是无穷大.

北仑区13611801546： 高数:函数y=xcosx在( - ∞,+∞)内是否有界?这个函数是否为x→+∞时的无穷大?为什么? - ？
营枝蒲郁：[答案] 的确无界,因为x=2kπ时y=2kπ,无限大,但是不是说x去正无穷的时候无穷,例如x=(π/2)+2kπ时y=0,周期性质不能忘

北仑区13611801546： y=xcosx在x→+∞时,y是否是无穷大? - ？
营枝蒲郁：[答案] 不是无穷大,因为 x→+∞时,cosx可能会等于0,这时会出现xcosx=0,所以 只能说y是无界函数,而不能说无穷大!

北仑区13611801546： 问题,函数y=xcosx在( - ∞,+∞)内是否有界?这个函数是否为x→+∞时的无穷大?为什么 - ？
营枝蒲郁： x→+∞时,f(x)是无穷大的定义是:对于任意大的正数M,存在正数X,对于任意的x>X,恒有|f(x)|>M.分析:x很大时,始终存在使得cosx=0的x,所以|f(x)|>M不可能恒成立.把无穷大的定义否定,得到“不是无穷大”的定义:存在正数M,对于任意的正数X,存在x>X,但是|f(x)|≤M.过程:对于正数M=1,不管正数X多大,存在正整数n,使得nπ+π/2>X,但|f(nπ+π/2)|=0 -------- 一般对于无界、无穷大可以使用函数极限与数列极限的关系来说明:如果存在数列Xn,使得f(Xn)是无穷大,则f(x)无界.如果存在数列yn,使得f(yn)的极限有限,则f(x)不是无穷大.

北仑区13611801546： y=xcosx在( - ∞,+∞)内是否有界?这个函数是否为x→+∞时的无穷大?说明理由.求过程 - ？
营枝蒲郁： 在(-∞,+∞)无界,因为当x=2kπ时(k为整数),y=2kπ, 当k->∞时,y->∞, 所以无界.当x->+∞时,函数也不是无穷大,比如当x=2kπ+π/2时(k为整数),y=0

北仑区13611801546： 函数y=xcosx在( - ∞,+∞)内是否有界?这个函数是否为x→+∞时的无穷大?为什么因为反写A M>0,X>0,总有x0∈(X,+∞),使cosx0=0,从而y=x0cosx0=0 - ？
营枝蒲郁：[答案] x→+∞时,f(x)是无穷大的定义是:对于任意大的正数M,存在正数X,对于任意的x>X,恒有|f(x)|>M.分析:x很大时,始终存在使得cosx=0的x,所以|f(x)|>M不可能恒成立.把无穷大的定义否定,得到“不是无穷大”的定义:存在...