过点（0，4），斜率为－1的直线与抛物线Y平方＝2PX交于A，B两点，若AO垂直BO（O为原点），求P的值

若过点M(0,4),且斜率为(-1)的直线l与抛物线C:y^2=2px(p>0)交于A、B两点，如果A0垂直BO（O为坐标原点）求:~

（1）联立 y^2=2px 与 y-4=-x 得 x^2-(8+2p)x+16 =0，由韦达定理得x1*x2=16，x1+x2=2p+8
所以y1*y2=(-x1+4)(-x2+4)=-8p。因为AO垂直BO，所以两个向量AO和BO的数量积为零，
既x1*x2+y1*y2=0，所以p=2，抛物线C为y^2=4x .
（2）把p=2带入x1+*x2=2p+8得x1+x2=12，设x1>x2，所以AB的长度为(√2)(x1-x2)
=(√2)√((x1+x2)^2-4*x1*x2)=4√10，由点到直线距离公式得O到AB的距离为2√2
所以三角形AOB的面积=(4√10*2√2)/2=8√5

依题意可求得直线l的方程为y+x-4，代入抛物线方程得 x2-（8+2p）x+16=0，由韦达定理得x1x2=16，x1+x2=2p+8∴y1y2=（-x1+4）（-x2+4）=-8p．∵AO⊥BO，∴x1x2+y1y2=0，∴p=2，∴抛物线C为：y2=4x．

过点（0，4），斜率为－1的直线与抛物线Y²＝2PX交于A，B两点，若AO垂直BO（O为原点），求P的值
解：过点(0，4)得直线得方程为y=-x+4；即x=4-y，代入抛物线方程得y²=2p(4-y)；即有
y²+2py-8p=0.........(1)
设A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂)；则依维达定理有：
y₁+y₂=-2p；y₁y₂=-8p；x₁x₂=(4-y₁)(4-y₂)=16-4(y₁+y₂)+y₁y₂=16+8p-8p=16；
向量OA=(x₁，y₁)；向量OB=(x₂，y₂)；由于OA⊥OB，故
OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=16-8p=0，故p=16/8=2.

y^2=2px
y=-x+4 代入上式: 请画图,过知p>0
x^2-(2p+8)x+16=0
设A(x1,y1) B(x2,y2)
则:由韦达定理:
x1x2=16 x1+x2=2p+8
AO.BO=0 (因为垂直)
即:x1x2+y1y2=0
y1^2=2px1 y2^2=2px2 相*得:
y1y2=-2p根(x1x2)=-2p*根16=-8p (取-号是因为A,B在x轴上面及下面)
所以:
16-8p=0
p=2

过(0，4)且斜率为－1的直线方程是：x＋y－4=0
代入抛物线，得：
(4－x)²=2px
x²－(2p＋8)x＋16=0
因为OA垂直OB，则：x1x2＋y1y2=0
x1x2＋(4－x1)(4－x2)=0
2x1x2－4(x1＋x2)＋16=0
32－4(2p＋8)＋16=0
得：p=2

设A(x1,y1),B(x2,y2)
AO⊥BO
y1/x1×y2/x2=-1→y1y2+x1x2=0
直线方程为y=-x+4
A，B点在直线上
∴(-x1+4)(-x2+4)+x1x2=0
即x1x2-2(x1+x2)+8=0
(-x+4)²=2px
x²-(2p+8)x+16=0
x1+x2=2p+8,x1x2=16
∴16-2(2p+8)+8=0
p=2

直线过点（0,4），且斜率为-1，解得直线为：y=-x+4
与y^2=2px相交于A、B两点，列出：
（-x+4）^2=2px , x^2-(2p+8)x+16=0
设A坐标（x1，y1），B坐标（x2，y2）
则有：x1+x2=2p+8，x1·x2=16
y1·y2=（-x1+4）·（-x2+4）=x1·x2-4(x1+x2)+16=-8p
AO斜率y1/x1, BO斜率为y2/x2,AO垂直BO，斜率相乘为-1
y1·y2/x1·x2=-8P/16=-1,得出p=2

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宜宾县17731018393： 过点(0,4),斜率为 - 1的直线与抛物线Y平方=2PX交于A,B两点,若AO垂直BO(O为原点),求P的值 - ？
成旭济得： 过点(0,4),斜率为-1的直线与抛物线Y²=2PX交于A,B两点,若AO垂直BO(O为原点),求P的值 解:过点(0,4)得直线得方程为y=-x+4;即x=4-y,代入抛物线方程得y²=2p(4-y);即有 y²+2py-8p=0.........(1) 设A(x₁,y₁);B(x₂,y₂);则依维达定理有: y₁+y₂=-2p;y₁y₂耽罚槽核噩姑茶太偿咖=-8p;x₁x₂=(4-y₁)(4-y₂)=16-4(y₁+y₂)+y₁y₂=16+8p-8p=16; 向量OA=(x₁,y₁);向量OB=(x₂,y₂);由于OA⊥OB,故 OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=16-8p=0,故p=16/8=2.

宜宾县17731018393： 过点(0.4)斜率为 - 1的直线与抛物线y^=2px交于A, B如果OA垂直于OB,求p的值,及抛物 - ？
成旭济得： 过点(0.4)斜率为-1 y-4=-x y=4-x 代入抛物线(4-x)^2=2px x^2-(8+2p)x+16=0 x1+x2=8+2p x1*x2=16 y1*y2=(4-x1)(4-x2)=16-4(x1+x2)+x1x2=16-32-8p+16=-8p OA垂直于OB 所以斜率乘积等于-1 所以(y1/x1)*(y2/x2)=-1 y1y2=-x1x2 所以-8p...

宜宾县17731018393： 过点(0,4)斜率为 - 1的直线与抛物线y方=2px(p>0)交于两点A,B若AO垂直于BO(O为原点)求P的值及抛物线的交点坐标？
成旭济得： 直线斜率为-1,且过(0,4), ∴直线为 y=-x+4 代入y²=2px=(-x+4)², 整理得x²-(8+2p)x+16=0 ∴x1+x2=8+2p, x1x2=16 由题意OA*OB=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=x1x2+(-x1+4)(-x2+4) =2x1x2-4(x1+x2)+16=2*16-4*(8+2p)+16=48-8(4+p)=0 ∴4+p=6, p=2 代入方程 x²-12x+16=0, △=12²-64=80, x=6±2√5 y=4-x, ∴交点为(6+2√5,-2-2√5), (6-2√5,-2+2√5)

宜宾县17731018393： 过点(0,4),斜率为负一的直线与抛物线y的平方等于2Px(P大于)交于两点A B,如果弦|AB|的长度为4庚号10.... - ？
成旭济得： y=ax+b a=-1, y=-x+b(0,4)代入,b=4 所以,y=-x+4 y=-x+4 y^2=2px 求出A,B坐标,两点距离公式,求出P 证向量OA,垂直于OB

宜宾县17731018393： 已知过点(0,4),斜率为 - 1的直线l与抛物线C;y平方=2px(p>0)交于A,B两点.(1)求 - ？
成旭济得： C的顶点是原点,距离l 2倍根号2 l:y=-x+4 (-x+4)^2=2px x^2-(8+2px)+16=0 中的横坐标为6 所以x1 + x2 =12=8+2px p=2 焦点为(2,0)

宜宾县17731018393： 解答题 20. 过点(0,4),斜率为 - 1的直线与抛物线y^2 = 2px 交于A,B两点,若AO⊥BO,(O为坐标原点),？
成旭济得： 分析:根据题意可求得直线的方程与抛物线方程联立,利用韦达定理可表示出x1x2和x1+x2,进而利用直线方程表示出y1y2,进而根据AO⊥BO,推断出x1x2+y1y2=0,则p的值可得,进而求得抛物线的方程. 解:依题意可求得直线l的方程为y+x-4,代入抛物线方程得 x2-(8+2p)x+16=0,由韦达定理得x1x2=16,x1+x2=2p+8∴y1y2=(-x1+4)(-x2+4)=-8p.∵AO⊥BO,∴x1x2+y1y2=0,∴p=2,∴抛物线C为:y2=4x. 焦点坐标为(1 0) 请采纳谢谢

宜宾县17731018393： 过点(0.4)斜率为 - 1的直线与抛物线y^=2px交于A,B如果OA垂直于OB,求p的值,及抛物线的焦点坐标!？
成旭济得： 首先我们知道了OA垂直于OB .那应该想到斜率乘积等于-1 由此得出(y1/x1)*(y2/x2)=-1 ,即y1y2=-x1x2 本题只有一个未知数p但我们知道了x1*x2=16 那么就得把y1y2的表达式求出 由题可知y1*y2=(4-x1)(4-x2)=16-4(x1+x2)+x1x2 那就有了x1+x2 的必要了 这样就得出了表达式-8p=-16

宜宾县17731018393： 过点(0,4),斜率为 - 1的直线与抛物线y^2=2px(p>0)交於两点A、B？
成旭济得： 你好. (1)利用弦长公式 |AB|=√1+k²√(x1+x2)²-4x1x2=4√10 p=2 (2)向量OA(x1,y1) 向量OB(x2,y2) 需证OA*OB=0 即x1x2+y1y2=0 下为证明过程, 联立y=-x+4 和 y^2=4x 由韦达定理 x1x2=16 y1y2=-16 所以x1x2+y1y2=0 所以OA⊥OB 谢谢.希望帮到你~

宜宾县17731018393： 直线斜率为 - 1,过(0, - 4)求直线方程 直线(0,1),(2,0)2点,求...直线斜率为 - 1,过(0, - 4)求直线方程直线(0,1),(2,0)2点,求直线方程 - ？
成旭济得：[答案] 直线斜率为-1,过(0,-4)求直线方程 y+4=-x 即x+y+4=0 直线(0,1),(2,0)2点,求直线方程 用两点式 y/(x-2)=1/(-2) 化简得 x+2y-2=0

宜宾县17731018393： 若过点M(0,4),且斜率为( - 1)的直线l与抛物线C:y^2=2px(p>0)交于A、B两点,如果A0垂直BO(O为坐标原点)求: - ？
成旭济得： (1)联立 y^2=2px 与 y-4=-x 得 x^2-(8+2p)x+16 =0,由韦达定理得x1*x2=16,x1+x2=2p+8 所以y1*y2=(-x1+4)(-x2+4)=-8p.因为AO垂直BO,所以两个向量AO和BO的数量积为零,既x1*x2+y1*y2=0,所以p=2,抛物线C为y^2=4x .(2)把p=2带入x1+*x2=2p+8得x1+x2=12,设x1>x2,所以AB的长度为(√2)(x1-x2)=(√2)√((x1+x2)^2-4*x1*x2)=4√10,由点到直线距离公式得O到AB的距离为2√2 所以三角形AOB的面积=(4√10*2√2)/2=8√5