（2012•三明）已知直线y=2x-5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=-x2+bx+c的顶点M在直线AB上，

已知直线Y=2x-5与X轴和Y轴分别交于点A和点B~

解：（1）①∵直线y=2x-5与x轴和y轴交于点A和点B，∴A(5/2 ，0)，B（0,-5)
当顶点M与点A重合时，∴M(5/2 ，0)，
∴抛物线的解析式是：y=-(x-5/2)^2,即y=-x^2+5x-25/4 ．
②∵N在直线y=2x-5上，设N（a，2a-5），又N在抛物线=-x^2+5x-25/4上，
∴2a-5=-a^2+5a-25/4．
解得 a1=1/2 ，a2=5/2（舍去）
∴N(1/2,-4)．
过N作NC⊥x轴，垂足为C．
∵N(1/2,-4)，∴C(1/2,0)．
∴NC=4． MC=OM-OC=5/2-1/2=2．
∴MN=√(NC^2+MC^2)=√(4^2+2^2) =2 √5；

（2）∵A(5/2 ，0)，B（0，-5）．
∴OA=5/2,OB=5,直线AB的解析式是：y=2x-5，
则OB=2OA，AB=√(OA^2+OB^2)=(5√5)/2，
当OM⊥AB时，直线OM的解析式是：y=-1/2x，
解方程组：
y=2x-5,y==-1/2x,解得：
x=2
y=-1，
则M的坐标是（2，-1）；
当ON⊥AB时，N的坐标是（2，-1），设M的坐标是（m，2m-5）则m＞2，
∵ON=√5，
∴OM^2=ON^2+MN^2，
即m^2+（2m-5）^2=5+（2√5 )^2 ,解得：m=4，
则M的坐标是M（4，3）．
故M的坐标是：（2，-1）或（4，3）．

（1）①∵直线y=2x-5与x轴和y轴交于点A和点B，∴A(52，0)，B（0，-5）． 解法一：当顶点M与点A重合时，∴M(52，0)．∴抛物线的解析式是：y＝?(x?52)2．即y＝?x2+5x?254． 解法二：当顶点M与点A重合时，∴M(52，0)．∵?b2×(?1)＝52，∴b=5．又∵4×(?1)c?b24×(?1)＝0，∴c＝?254．∴抛物线的解析式是：y＝?x2+5x?254． ②∵N在直线y=2x-5上，设N（a，2a-5），又N在抛物线y＝?x2+5x?254上，∴2a?5＝?a2+5a?254． 解得 a1＝12，a2＝52（舍去）∴N(12，?4)． 过N作NC⊥x轴，垂足为C．∵N(12，?4)，∴C(12，0)．∴NC=4． MC＝OM?OC＝52?12＝2． ∴MN＝NC2+MC2＝<div style="width: 6px; background-image: url(http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/aa640

答：
（1）
①直线y=2x-5与x轴和y轴的交点A（5/2,0)，B(0,-5)
当点M与A重合时，点M（5/2,0）。抛物线方程：y=-x^2+bx+c=-(x-b/2)^2+c+b^2/4
所以：
b/2=5/2
c+b^2/4=0
解得：b=5，c=-25/4
所以抛物线方程为：y=-x^2+5x-25/4
②抛物线方程与直线方程y=2x-5联立整理得：x^2-3x+5/4=0，x1=5/2，x2=1/2
所以点N为(1/2,-4)，MN=√[(1/2-5/2)^2+(-4-0)^2]=2√5

（2）抛物线y=-x^2+bx+c=-(x-b/2)^2+c+b^2/4的顶点M坐标(b/2,c+b^2/4)代入直线AB方程得：
c+b^2/4=2(b/2)-5=b-5
c=-b^2/4+b-5
所以抛物线方程简化为：y=-x^2+bx-b^2/4+b-5，联立直线y=2x-5整理得：
4x^2+4(2-b)x+b^2-4b=0
(2x-b)(2x-b+4)=0
所以：点M(b/2,b-5)，点N(b/2-2,b-9)
因为△OAB是直角三角形，tan∠BAO=2，
所以△OMN必须是直角三角形并且其中一个锐角的正切值必须为2。

2.1）当OM⊥ON时，斜率乘积为-1：[(b-5)/(b/2)]*[(b-9)/(b/2-2)]=-1
整理得：b^2-12b+36=0，解得：b=6
点M（3,1），点N（1，-3）
OM/ON=√10/√10=1
所以：两个直角三角形不相似。
2.2）当OM⊥AB时，OM的斜率为-1/2，即：(b-5)/(b/2)=-1/2，b=4
点M（2，-1），点N（0，-5）
OM/MN=√5/(2√5)=1/2，MN/OM=2
所以：两个直角三角形相似。
2.3）当ON⊥AB时，ON的斜率为-1/2，即：(b-9)/(b/2-2)=-1/2，b=8
点M（4，3），点N（2，-1）
ON/MN=√5/(2√5)=1/2，MN/ON=2
所以：两个直角三角形相似。

综上所述，存在点M(2,-1)或者(4,3)使得△OMN与△AOB相似。

解：（1）①∵直线y=2x-5与x轴和y轴交于点A和点B，∴A(5/2 ，0)，B（0,-5)
当顶点M与点A重合时，∴M(5/2 ，0)，
∴抛物线的解析式是：y=-(x-5/2)^2,即y=-x^2+5x-25/4 ．
②∵N在直线y=2x-5上，设N（a，2a-5），又N在抛物线=-x^2+5x-25/4上，
∴2a-5=-a^2+5a-25/4．
解得 a1=1/2 ，a2=5/2（舍去）
∴N(1/2,-4)．
过N作NC⊥x轴，垂足为C．
∵N(1/2,-4)，∴C(1/2,0)．
∴NC=4． MC=OM-OC=5/2-1/2=2．
∴MN=√(NC^2+MC^2)=√(4^2+2^2) =2 √5；

（2）∵A(5/2 ，0)，B（0，-5）．
∴OA=5/2,OB=5,直线AB的解析式是：y=2x-5，
则OB=2OA，AB=√(OA^2+OB^2)=(5√5)/2，
当OM⊥AB时，直线OM的解析式是：y=-1/2x，
解方程组：
y=2x-5,y==-1/2x,解得：
x=2
y=-1，
则M的坐标是（2，-1）；
当ON⊥AB时，N的坐标是（2，-1），设M的坐标是（m，2m-5）则m＞2，
∵ON=√5，
∴OM^2=ON^2+MN^2，
即m^2+（2m-5）^2=5+（2√5 )^2 ,解得：m=4，
则M的坐标是M（4，3）．
故M的坐标是：（2，-1）或（4，3）．

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