数学题： ∫0到1 f(tx)dt=nf(x) 求f(x)等于什么？ 哪位大哥详细点教教我

求解微分方程∫f(tx)dt=nf(x)其中f(x)是可微的未知函数~

f(tx)是什么？这能解出来？
你这道题，要害死很多人的，题目错了！！！
正确是：∫(0,1)f(tx)dt=nf(x)

设tx=u,xdt=du,代入得：
xnf(x)=∫(0,x)f(u)du, 两边对x求导得：
nf(x)+nxf'(x)=f(x)
f‘(x)=[(1-n)/(nx)]f(x)，这是一阶线性方程：
通解为：f(x)=C|x|^[(1-n)/n]

这道题关键的地方是做变量代换：令s=tx，注意对s来说，x是常数，t是自变量。
这道题主要考察“变上限积分函数”的微分。

在左边令tx=u，则t=u/x
左边=∫(0→x)f(u)*du/x=∫(0→x)f(u)du/x
所以∫(0→x)f(u)du=nxf(x)
两边求导：f(x)=nf(x)+nxf'(x)
(1-n)f(x)=nxdf(x)/dx
dx/x=n/(1-n)*df(x)/f(x)
两边积分：ln|x|=n/(1-n)*ln|f(x)|+C
所以x=C*[f(x)]^(n/(1-n))
f(x)=C*x^((1-n)/n)

求导，根据分部积分有：
f(x)=nf(x)+xnf'(x)
然后求解常微分方程
(1-n)f=xn df/dx
dx/x = ndf/(1-n)f
积分
ln |x| = n/(1-n) ln|f| + A
x = Af ^[n/(1-n)]
f(x)=Cx^[(1-n)/n]

这个应该是开方的吧！

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乌当区18847986511： ∫0到1 f(tx)dt=nf(x) 求f(x)等于什么? - ？
鄘奚博那：[答案] 在左边令tx=u,则t=u/x 左边=∫(0→x)f(u)*du/x=∫(0→x)f(u)du/x 所以∫(0→x)f(u)du=nxf(x) 两边求导:f(x)=nf(x)+nxf'(x) (1-n)f(x)=nxdf(x)/dx dx/x=n/(1-n)*df(x)/f(x) 两边积分:ln|x|=n/(1-n)*ln|f(x)|+C 所以x=C*[f(x)]^(n/(1-n)) f(x)=C*x^((1-n)/n)

乌当区18847986511： 求证连续函数f(x)满足:∫(0到1)f(tx)dt=f(x)+xsinx - ？
鄘奚博那：[答案] Let u = tx,du = x dtL = ∫(0~1) ƒ[tx] dt= [1/x]∫(0~x) ƒ[u] du = ƒ[x] + xsinx∫(0~x) ƒ[u] du = xƒ[x] + x²sinxƒ[x] = xƒ'[x] + ƒ[x] + 2xsinx + x²cosx...

乌当区18847986511： 数学题: ∫0到1 f(tx)dt=nf(x) 求f(x)等于什么? 哪位大哥详细点教教我 - ？
鄘奚博那： 在左边令tx=u,则t=u/x 左边=∫(0→x)f(u)*du/x=∫(0→x)f(u)du/x 所以∫(0→x)f(u)du=nxf(x) 两边求导:f(x)=nf(x)+nxf'(x) (1-n)f(x)=nxdf(x)/dx dx/x=n/(1-n)*df(x)/f(x) 两边积分:ln|x|=n/(1-n)*ln|f(x)|+C 所以x=C*[f(x)]^(n/(1-n)) f(x)=C*x^((1-n)/n)

乌当区18847986511： ∫0到1f(tx)dt的导数怎么求结果是x分之一∫0到xf(s)ds,x分之一是什么? - ？
鄘奚博那：[答案] 令tx=s,xdt=ds t=0,s=0 t=1,s=x 所以 原式=∫(0,x) f(s)1/x ds =1/x ∫(0,x) f(s) ds 求导,得 导数=-1/x方 ∫(0,x) f(s) ds +f(x)/x

乌当区18847986511： 求证连续函数f(x)满足:∫(0到1)f(tx)dt=f(x)+xsinx？
鄘奚博那： Let u = tx,du = x dt L = ∫(0~1) ƒ[tx] dt = [1/x]∫(0~x) ƒ[u] du = ƒ[x] + xsinx ∫(0~x) ƒ[u] du = xƒ[x] + x²sinx ƒ[x] = xƒ'[x] + ƒ[x] + 2xsinx + x²cosx ƒ'[x] = - 2sinx - xcosx ƒ[x] = cosx - xsinx + C

乌当区18847986511： 设有连续函数f(x)满足∫f(tx)dt(从0到1)=f(x)+xsinx,求f(x). - ？
鄘奚博那： 令tx=u 则∫f(tx)dt(从0到1)=∫f(u)d(u/x)(从0到x)=(1/x)∫f(u)du(从0到x) 带入原方程∫f(u)du(从0到x)=xf(x)+x^2sinx 两边微分 f(x)=f(x)+xdf(x)/dx+2xsinx+x^2cosx df(x)/dx=-2sinx-xcosx 求积分f(x)=cosx-xsinx+C

乌当区18847986511： 高等数学定积分已知:t从0到1的f(tx)dt的定积分=1/2f(x)+1,求连续函数f(x)我是初学者 - ？
鄘奚博那：[答案] ∫ [0-->1] f(tx)dt=1/2f(x)+1本题首先要做换元法,将x从被积函数中分离出来,才能进行求导令tx=u,t=u/x,dt=1/x du,t:0-->1,u:0-->x原等式化为:∫ [0-->x] f(u)du/x=1/2f(x)+1即:2∫ [0-->x] f(u)du=xf(x)+x两边对...

乌当区18847986511： 设∫f(tx)dt=f(x)+sinx,求连续函数f(x),积分上下限是0到1 - ？
鄘奚博那： 题目修正:∫[0,1] f(tx) dt = f(x) + xsinx 令u = tx,du = xdt => dt = du/x 当t = 0,u = 0;当t = 1,u = x ∫[0,1] f(tx) dt = (1/x)∫[0,x] f(u) du = f(x) + xsinx ∫[0,x] f(u) du = xf(x) + x²sinx,两边求导 d/dx ∫[0,x] f(u) du = d/dx xf(x) + d/dx x²sinx f(x) = xf'(x) + f(x) + x²cosx ...

乌当区18847986511： 已知:t从0到1的f(tx)dt的定积分=1/2f(x)+1,求连续函数f(x) - ？
鄘奚博那： ∫[0,1]f(tx)dt=(1/2)f(x)+1 f(0)/2=-1,f(0)=-2 [(1/2)f(x)]'=f(x) f(x)'/f(x)=2 dlnf(x)=2 lnf(x)=2x+C0 f(x)=C1*e^(2x) f(0)=C1=-2 f(x)=-2e^(2x)

乌当区18847986511： 设有连续函数f(x)满足∫f(tx)dt(从0到1)=f(x)+xsinx,求f(x). - ？
鄘奚博那：[答案] 令tx=u则∫f(tx)dt(从0到1)=∫f(u)d(u/x)(从0到x)=(1/x)∫f(u)du(从0到x)带入原方程∫f(u)du(从0到x)=xf(x)+x^2sinx两边微分 f(x)=f(x)+xdf(x)/dx+2xsinx+x^2cosxdf(x)/dx=-2sinx-xcosx求积分f(x)=cosx-xsinx+C...