证明：(∫[a,b]f(x)g(x)dx)^2<=(∫[a,b]f^2(x)dx)(∫[a,b]g^2(x)dx)

证明：(∫[a,b]f(x)g(x)dx)^2<=(∫[a,b]f^2(x)dx)(∫[a,b]g^2(x)dx)~

这个不等式的证明方法有很多，比如用二重积分；下面介绍一种利用一元二次方程判别式的方法：

这是关于积分的第一中值定理：完整叙述为：若函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上有界且可积，f(x)连续，g(x)在区间[a,b]内不变号，则在区间[a,b]内至少存在一个数ξ(a<ξ<b)，使得：

一般数学分析教材都有详细证明。证明思路：不妨设g(x)>0,首先利用闭区间上连续函数的最值定理得到不等式，

然后利用定积分的估值定理得到不等式


最后应用积分中值定理得到问题的结论

在闭区域D=[a,b]*[a，b]上，有(f(x)g(y)-f(y)g(x))^2>=0，做二重积分有
0<=二重积分(D) [f(x)g(y)-f(y)g(x)]^2dxdy
=二重积分(D) f^2(x)g^2(y)dxdy+二重积分(D) f^2(y)g^2(x)dx
-2二重积分(D) f(x)g(y)f(y)g(x)dxdy 化重积分为累次积分
=2积分(从a到b)f^2(x)dx*积分(从a到b)g^2(x)dx
-2积分(从a到b)f(x)g(x)dx。
由此得结论。

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封开县18412977669： 柯西积分不等式怎么证 - ？
澄叶培哚：[答案] 设f(x),g(x)在区间[a,b]可积,a≤b ∵对任意t∈R,有(tf(x)-g(x))²≥0 =>∫[a,b](tf(x)-g(x))²dx≥0 =>t²∫[a,b]f²(x)dx-2t∫[a,b]f(x)g(x)dx+∫[a,b]g²(x)dx≥0 记A=∫[a,b]f²(x)dx,B=2∫[a,b]f(x)g(x)dx,C=∫[a,b]g²(x)dx 则上式变为At²-Bt+C≥0,对任意t∈R成...

封开县18412977669： f(x),g(x)在[a,b]上可积,证明:(∫[a,b]f(x)g(x)dx)^2 - ？
澄叶培哚：[答案] 方法很多 LS的柯西不等式可以 参考资料中式最容易理解的方法 最简单的是内积法

封开县18412977669： 若f(x)在[a,b]上连续,且对任何[a,b]上连续函数g(x),恒有∫(a到b)f(x)g(x)=0,求证f(x)恒等于0. - ？
澄叶培哚：[答案] 取g(x)=f(x)即可(如果是复函数则取共轭),这样 |f(x)|^2 的积分为零,由连续性知 f(x)=0

封开县18412977669： 高数证明题,求详解设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且f(x)扫码下载搜索答疑一搜即得 - ？
澄叶培哚：[答案] f(x)

封开县18412977669： 高等数学定积分一题证明:设函数f(x)在区间[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上连续且不变号,则在[a,b]存在一点E使得∫(a,b)f(x)g(x)dx=f(e)∫(a,b)g(x)dx - ？
澄叶培哚：[答案] 函数f(x)在区间[a,b]上连续,所以有最大值与最小值,分别设为M,N.不妨设g(x)≥0N≤f(x)≤M Ng(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)∫[a,b] Ng(x)dx≤ ∫[a,b]f(x)g(x)dx≤ ∫[a,b]Mg(x)dxN∫[a,b] g(x)dx≤ ∫[a,b]f(x)g(x)dx≤ M∫[a...

封开县18412977669： 定积分的柯西不等式怎么证?[∫(a~b) f(x)g(x)dx]^2≤∫(a~b) [f(x)]^2 dx *∫(a~b) [g(x)]^2 dx - ？
澄叶培哚：[答案] 写成和式极限的形式,应用柯西不等式

封开县18412977669： 在区间a,b上f(x≥g(x),证明∫(a,b)f(x)dx≥∫(a,b)g(x)dx - ？
澄叶培哚： 证明:做变量替换a+b-x=t,则dx=-dt,当x=b,t=a,当x=a,t=b 于是 ∫(a,b)f(a+b-x)dx =-∫(b,a)f(t)dt= ∫(a,b)f(t)dt=∫(a,b)f(x)dx 即∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(a+b-x)dx 命题得证.【注:紧跟积分符号后面的为积分区间】

封开县18412977669： 高等数学定积分一题证明:设函数f(x)在区间[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上连续且不变号,则在[a,b]存在一点E - ？
澄叶培哚： 函数f(x)在区间[a,b]上连续,所以有最大值与最小值,分别设为M,N.不妨设g(x)≥0 N≤f(x)≤M Ng(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x) ∫[a,b] Ng(x)dx≤ ∫[a,b]f(x)g(x)dx≤ ∫[a,b]Mg(x)dx N∫[a,b] g(x)dx≤ ∫[a,b]f(x)g(x)dx≤ M∫[a,b]g(x)dx N≤ {∫[a,b]f(x)g(x)dx}/∫[a,b]g(x)dx≤ M, 所以存在ξ∈[a,b],使得,f(ξ)={∫[a,b]f(x)g(x)dx}/∫[a,b]g(x)dx, 即f(ξ)∫[a,b]g(x)dx,=∫[a,b]f(x)g(x)dx

封开县18412977669： 这个解答步骤①是怎么来的,有没有错误? - ？
澄叶培哚： 没错,这个用的是积分第一中值定理,定理内容:如果函数f(x)、g(x)在闭区间[a,b]上均可积, 且g(x)在[a,b]上不变号, 则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ, 使下式成立:∫(a,b...

封开县18412977669： 若fx在(a,b)连续 则fx的平方在(a,b)一致连续 - ？
澄叶培哚：[答案] ab是常数吧,你这应该是定积分吧 其实不就是证明∫ f(x)g(x)dx=f(ζ)∫g(x)dx 用柯西中值定理吧,因为fx,gx在[a,b]上连续,所以他们的原函数也应该是连续的 积分上限为b积分下限为a ∫ f(x)g(x)dx/∫g(x)dx=f(ζ)g(ζ)/g(ζ) =f(ζ)(ζ在[a,b]上) 其实这个就是推广的...