三角形内一点，满足什么条件是重心？垂心？外心？内心？

三角形的重心、垂心、外心、内心的定义及性质分别是什么？~

三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。（重心定理），这个交点叫做三角形的重心。
三角形的三边的垂直平分线交于一点。（外心定理）这个点叫做三角形的外心。
三角形的三条高交于一点。（垂心定理）这个点叫做三角形的垂心。
三角形的三内角平分线交于一点。（内心定理）这个点叫做三角形的内心。

三角形的内心定义
　　在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心,
　　内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
　　内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
　　注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。
　　若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。
　　直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
　　双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
编辑本段
三角形内心的性质
　　设△ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
　　1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心．
　　2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．
　　3、r=S/p．
　　4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
　　5、∠BIC=90°+A/2．
　　6、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：
　　a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．
　　7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：
　　向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．
　　8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：
　　(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．
　　9、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
　　10、（内角平分线分三边长度关系）
　　△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
外心定义
　　三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．
编辑本段
三角形外心的性质
　　设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
　　1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
　　2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.
　　3、GA=GB=GC=R.
　　3、∠BGC=2∠A，或∠BGC=2(180°-∠A).
　　4、R=abc/4S⊿ABC.
　　5、点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：
　　(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0.
　　6、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：
　　向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).
　　7、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：
　　向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.
　　8、设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
　　重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
　　9、外心到三顶点的距离相等。
重心三角形重心
　　重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明。证明过程又是塞瓦定理的特例。
　　已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
　　求证：F为AB中点。

　　证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BO

C，再应用从中点得
AF=BF，命题得证。
　　重心的几条性质及证明方法：
　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
　　证明方法：
　　在▲ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知h1=1/3h 则，S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可证S(▲AOC)=1/3S(▲ABC)，S(▲AOB)=1/3S(▲ABC) 所以，S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB)
　　3、重心到三角形3个顶点距离的和最小。
　　证明方法：
　　设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
　　显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论
　　4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3
　　5、三角形内到三边距离之积最大的点。
　　重 心
　　三条中线定相交，交点位置真奇巧，
　　交点命名为“重心”，重心性质要明了，
　　重心分割中线段，数段之比听分晓；
　　长短之比二比一，灵活运用掌握好．
垂心定义
　　三角形三条边上的高交于一点，该点叫做三角形的垂心。
编辑本段
三角形垂心的性质
　　设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
　　1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.
　　2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
　　3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
　　4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
　　5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
　　6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
　　7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
　　8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
　　9、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
　　10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
　　11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
　　12、
　　西姆松(Simson)定理（西姆松线）
　　从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。
希望对你有帮助

---

岚皋县13590328753： 就平面向量的相关问题,证明一点是三角形内的重心需要满足什么条件? - ？
桑颖枢霖：[答案] 应该证明这点是三个角平分线的交点就可以,利用向量加减

岚皋县13590328753： 三角形内一点,满足什么条件是重心?垂心?外心?内心? - ？
桑颖枢霖： 三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.(重心定理),这个交点叫做三角形的重心. 三角形的三边的垂直平分线交于一点.(外心定理)这个点叫做三角形的外心. 三角形的三条高交于一点.(垂心定理)...

岚皋县13590328753： 三角形的内心,重心什么的是? - ？
桑颖枢霖： 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) .三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心).三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示).三角形的重心是三角形三条中线的交点.三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.

岚皋县13590328753： 证明一个点是重心的条件 - ？
桑颖枢霖： 证明一个点是三角形重心就是证明这点是三角形的两条中线的交点.

岚皋县13590328753： 三角形内一点到顶点的距离与这点到对边中点的距离之比为2∶1,这一点是重心吗? - ？
桑颖枢霖：[答案] 仅当这三点共线,又满足上面的条件时,这一点才是重心.

岚皋县13590328753： 三角形内重心 - ？
桑颖枢霖： 是的,根据重心定理:三角形的三条中线交于一点,该点称为三角形的重心.所以,重心只需两条中线即可.

岚皋县13590328753： 什么叫三角形的重心?????????? - ？
桑颖枢霖： 重心:首先你要知道什么是重心,通常会听到人们说,没有了重心就容易摔交.而三角形的重心就是一个三角形内部的点,并且可以可以给予它运动时平衡的点.也就是说,只要我找到了一个三角形的重心,我就可以用一个轴穿过它然后让它平衡...

岚皋县13590328753： 三角形的内心,外心,重心,垂心分别是什么啊? - ？
桑颖枢霖： 内心:三角形的三内角平分线交于一点.(内心定理)外心:三角形的三边的垂直平分线交于一点.(外心定理)中心:等边三角形的内心.外心.垂心.重心重合.则特指等边三角形的这个重合点垂心:三角形的三条高交于一点.(垂心定理)重心:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.(重心定理) 旁心: 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外交平分线交于一点.(旁心定理)三角形有三个

岚皋县13590328753： 三角形重心定理是什么 - ？
桑颖枢霖： 重心定理:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的 离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.

岚皋县13590328753： 三角形的重心垂心内心分别是什么的交点 - ？
桑颖枢霖：[答案] 重心:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.内心:三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.外心:三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角...