初三一道数学题，求解！

求解一道初三数学题！！~

如图所示，取AE的中点F，连接PF、EM。
因为在矩形ABCD中AB=AE=AP=2，AD=4，即点E为AD中点，且点F为AE中点，
所以有AF/AP=AP/AD=1/2，又因为∠FAP=∠PAD，所以△FAP∽△PAD，
有PF/DP=1/2，即PF=(1/2)DP，则题意为在弧BE上取一点P使得PM+PF取得最小值，
显然当点P与点F、M在同一直线上时取得最小值，
此时因为点E、M分别为AD、BC中点，易知EM⊥AD，AF=EF=1，EM=AB=2，
在直角△EFM中由勾股定理算得FM=√5，所以PM+PF的最小值为√5，
即PM+(1/2)DP的最小值为√5。

一.由题意易知抛物线过O(0,0)和A(170,0)点，代入方程易知b=170，c=0
∴抛物线方程为y=-x^2+170x


二.不管是用求导的方法还是用几何的方法可以知道x=85时达到最高点，此时y=7225(cm)，也就是大约72米。


三.ABP是直角三角形时有三种情况，①A是直角；②B是直角；③P是直角
①A是直角时
直线AP与AB垂直，方程为y=-x*sin60°+170*sin60°，与抛物线方程联立，容易解得x=0或sin60°
一个解即为A点，另一解即为所求P坐标（sin60°，170*sin60°-3）【注：根号三换成sin60°】
②B是直角时
首先得到B坐标为(170-40*sin60°，-40）
直线BP与AB垂直，方程为y=-x*sin60°+170*sin60°-160，等于是AP向下平移了160cm
同理与抛物线联立得(x-sin60°)(x-170)=160
从这个方程的形式可以看出，该方程在x＜sin60°和x＞170各有一个解，而且BP和x轴的交点在0点右侧，所以在抛物线的上半部分一定有一个满足B为直角的P点，下侧的不太满足题意，想不想要随你便。又考虑到小明TMD在逗人玩，这个难解的方程就交给他自己解吧
③P是直角时
根据几何关系可知，以AB为直角边的直角三角形顶点P的轨迹是除去AB两点之外以AB为直径的一个圆，那么P要想满足题意，就必须同时在这个圆和抛物线上。
容易得到，以AB为直径的圆的方程为(x+20*sin60°-170)^2+(y+20)^2=40^2
和抛物线方程联立，消去y就可以得到关于x的高次方程，由于我们知道这个圆与抛物线已经有一个交点A(170,0)，根据曲率的关系可知抛物线在A点附近的曲率远小于圆在A点附近的曲率，也就是说圆在A点附近的弯曲程度远大于抛物线，这就表明以AB为直径的圆会完全被抛物线“包”住，即圆与抛物线只在A点相切，也便没有第二个交点。细致的分析还表明抛物线要想曲率比圆大，x要在x=85cm附近，而此时小彩旗的裙摆早就和以AB为直径的圆离了十万八千毫米的数量级，根本不会相交。所以在这种情况下，满足条件的P点不存在。

解：
（1）四边形OABC为矩形，OA=BC=3，OC=AB=4，NP⊥BC，所以NP平行AB，则△CPN与△CAB相似，有CN：CB=PN：AB，即PN=CN*AB/CB=(3-x)*4/3，P点的纵坐标为4-(3-x)*4/3=4x/3，
P点的横坐标为3-x，所以点P的坐标是（3-x，4x/3）
（2）M的坐标为（x，0），AM=3-x，S△MPA=0.5*(3-x)*4x/3=(-2/3)(x-3/2)^2+3/2，所以当x=3/2时，△MPA面积的最大值为3/2；
（3）△MPA是一个等腰三角形：当AM=AP时，有(3-x)^2=x^2+(4x/3)^2，解得x=9/8(x=-9/2舍去);
当PM=PA时，有x^2+(4x/3)^2=(3-2x)^2+(4x/3)^2，解得x=1(x=3舍去)；当AM=PM时，有
(3-x)^2=(3-2x)^2+(4x/3)^2，解得x=18/11，
故综上所述，当x=9/8、x=1、x=18/11时，△MPA是一个等腰三角形。

这不是很简单吗？
（1）OPE是等腰三角形，∠POE就是是45°，那∠OPE就是45°，∠CPE是直角退出∠CPO就是45°，F坐标（0，3）
（2）E的纵坐标只0，那就说明t的取值范围在0到4之间了，OE是t，P垂直叫OA与P`垂直交OC于P``，△PEP`=△PFP``，这个很简单，因为PP`=PP``,∠EPP`=∠ FPP``,又都是直角三角形。
抠过来一补，就成正方形了。面积S=9，t取值范围（0，4)

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