数的知识

有关数的知识~

数学符号的起源

数学除了记数以外，还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量多得多。现在常用的有200多个，初中数学书里就不下20多种。它们都有一段有趣的经历。

例如加号曾经有好几种，现在通用"+"号。

"+"号是由拉丁文"et"（"和"的意思）演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文"più"（加的意思）的第一个字母表示加，草为"μ"最后都变成了"+"号。

"-"号是从拉丁文"minus"（"减"的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了"-"了。

到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定："+"用作加号，"-"用作减号。

乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是"×"，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是"· "，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为："×"号象拉丁字母"X"，加以反对，而赞成用"· "号。他自己还提出用"п"表示相乘。可是这个符号现在应用到集合论中去了。

到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把"×"作为乘号。他认为"×"是"+"斜起来写，是另一种表示增加的符号。

"÷"最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用"："表示除或比，另外有人用"-"（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将"÷"作为除号。

十六世纪法国数学家维叶特用"="表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号"="就从1540年开始使用起来。

1591年，法国数学家韦达在菱中大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了"="号，他还在几何学中用"∽"表示相似，用"≌"表示全等。

大于号"〉"和小于号"〈"，是1631年英国著名代数学家赫锐奥特创用。至于≯""≮"、"≠"这三个符号的出现，是很晚很晚的事了。大括号"{ }"和中括号"[ ]"是代数创始人之一魏治德创造的。

数学的起源和早期发展:
数学与其他科学分支一样，是在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累．其主要内容反映了现实世界的数量关系和空间形式，以及它们之间的关系和结构．这可以从数学的起源得到印证．

整数：表示物体个数的数。
负数：小于0的数。
正数：大于0的数。
自然数：用以计量事物的件数或表示事物次序的数。

1. 什么是十进制计数法？你能说出哪些计数单位？
每相邻的两个计数单位之间的进率都是10，10个较低的单位可以进成一个较高的单位。
2. 怎样比较两个数的大小？
分数：（1）先化成小数或整数再比较大小。（2）先通分，分母相同，分子越大，这个分数就越大。
小数：（1）从整位比起，如果整位相同，看小数点后面的那一位。（2）先同时乘10或100、1000，化成整数再比大小。
整数：先比较位数，位数多的就大，如果位数相同，就从最高位比起，如果最高位相同，就比下一位，依此类推。
3、 分数的基本性质和小数的基本性质有什么关系？
分数：分数的分母和分子同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），分数的大小不变。
分数的分母和分子同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
小数：小数的末尾添上0或去掉0，大小不变。
4、小数点移动位置，小数大小会发生什么变化？
小数点向左移动一位，这个小数就缩小10倍，小数点向右移动一位，小数就扩大10倍。
5、因数、倍数、质数、合数的含义是什么？
因数：在除法里，除数是被除数的因数。
倍数：在除法里，被除数是除数的倍数。
质数：质数又叫素数，除了1和它本身没有别的因数。
合数：一个数除了1和它本身外还有别的因数

（1）整数
十进制计数法：一（个）、十、百、千、万……都叫做计数单位。其中“一”是计数的基本单位。10个1是10，10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是十。这种计数方法叫做十进制计数法
整数的读法：从高位一级一级读，读出级名（亿、万），每级末尾0都不读。其他数位一个或连续几个0都只读一个“零”。
整数的写法：从高位一级一级写，哪一位一个单位也没有就写0。
四舍五入法：求近似数，看要求近似到哪一位数，再看其后一位的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。
整数大小的比较：位数多的数较大，数位相同最高位上数大的就大，最高位相同比看第二位较大就大，以此类推。
（2）小数
小数表示：把整数1平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……这些分数可以用小数表示。如1/10记作0.1,6/100记作0.06。
小数计数：小数点右边第一位叫十分位，计数单位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位，计数单位是百分之一（0.01）……小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。小数部分有几个数位，就叫做几位小数。如0.56是两位小数，4.067是三位小数。数位顺序表：
整数部分 小数点 小数部分
… 亿级 万级 个级
数位 … 千亿位 百亿位 十亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位 个位 · 十分位 百分位 千分位 …
计数单位 … 千亿 百亿 十亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 一（个） 十分之一 百分之一 千分之一 …

小数的读法：整数部分整数读，小数点读点，小数部分顺序读。
小数的写法：小数点写在个位右下角。
小数的性质：小数末尾添0去0大小不变。化简
小数点位置移动引起大小变化：右移扩大左缩小，1十2百3千倍。
小数大小比较：整数部分大就大；整数相同看十分位大就大；以此类推。
（3）分数和百分数
①分数和百分数的意义
分数的意义：把单位“　1”　平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。在分数里，表示把单位“　1”　平均分成多少份的数，叫做分数的分母；表示取了多少份的数，叫做分数的分子；其中的一份，叫做分数单位。
百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数的形式，而用特定的“%”来表示。百分数一般只表示两个数量关系之间的倍数关系，后面不能带单位名称。
百分数表示两个数量之间的倍比关系，它的后面不能写计量单位。
成数：几成就是十分之几。
②分数的种类
按照分子、分母和整数部分的不同情况，可以分成：真分数、假分数、带分数
③分数和除法的关系及分数的基本性质
除法是一种运算，有运算符号；分数是一种数。因此，一般应叙述为被除数相当于分子，而不能说成被除数就是分子。
由于分数和除法有密切的关系，根据除法中“商不变”的性质可得出分数的基本性质。
分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质，它是约分和通分的依据。
④约分和通分
分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
通分的方法：先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
⑤倒数
乘积是1的两个数互为倒数。
求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。
1的倒数是1，0没有倒数。
⑥分数的大小比较
分母相同的分数，分子大的那个分数就大。
分子相同的分数，分母小的那个分数就大。
分母和分子都不同的分数，通常是先通分，转化成通分母的分数，再比较大小。
如果被比较的分数是带分数，先要比较它们的整数部分，整数部分大的那个带分数就大；如果整数部分相同，再比较它们的分数部分，分数部分大的那个带分数就大。
⑦百分数与折数、成数的互化：
例如：三折就是30％，七五折就是75％，成数就是十分之几，如一成就是10%，则六成五就是65%。
⑧纳税和利息：
税率：应纳税额与各种收入的比率。
利率：利息与本金的百分率。由银行规定按年或按月计算。
利息的计算公式：利息=本金×利率×时间
⑨百分数与分数的区别主要有以下三点：
意义不同。百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。如：可以说1米是5米的 20％，不可以说“一段绳子长为20％米。”因此，百分数后面不能带单位名称。分数是“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或几份的数”。分数不仅可以表示两数之间的倍数关系，如：甲数是3，乙数是4，甲数是乙数的?；还可以表示一定的数量。
应用范围不同。百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测量、计算中，得不到整数结果时使用。
书写形式不同。百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“％”来表示。如：百分之四十五，写作：45％；百分数的分母固定为100，因此，不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；百分数的分子可以是自然数，也可以是小数。而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：真分数、假分数、带分数，计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数。
（4）数的整除
①整除的意义
整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）
除尽的意义 甲数除以乙数，所得的商是整数或有限小数而余数也为0时，我们就说甲数能被乙数除尽，（或者说乙数能除尽甲数）这里的甲数、乙数可以是自然数，也可以是小数（乙数不能为0）。
②约数和倍数
如果数a能被数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的是它本身，它没有最大的倍数。
③奇数和偶数
能被2整除的数叫偶数。例如：0、2、4、6、8、10……注：0也是偶数 2、不能被2整除的数叫奇数。例如：1、3、5、7、9……
④整除的特征
能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8。
能被5整除的数的特征：个位上是0或5。
能被3整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3整除，这个数就能被3 整除。
⑤质数和合数
在正整数集合里分为质数、合数和1。
一个数只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数（素数）。
一个数除了1和它本身外，还有别的约数，这个数叫做合数。
1既不是质数，也不是合数。
自然数按约数的个数可分为：质数、合数
自然数按能否被2整除分为：奇数、偶数
⑥分解质因数
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。例如：18=3×3×2，3和2叫做18的质因数。
把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法来分解质因数。
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫这几个数的最大公因数。公因数只有1的两个数，叫做互质数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数。
特殊情况下几个数的最大公约数和最小公倍数。（1）如果几个数中，较大数是较小数的倍数，较小数是较大数的约数，则较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大公约数。（2）如果几个数两两互质，则它们的最大公约数是1，小公倍数是这几个数连乘的积。
⑦奇数和偶数的运算性质
相邻两个自然数之和是奇数，之积是偶数。
奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数；
奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-奇数=奇数，偶数-偶数=偶数；
奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。

（1）整数
十进制计数法：一（个）、十、百、千、万……都叫做计数单位。其中“一”是计数的基本单位。10个1是10，10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是十。这种计数方法叫做十进制计数法
整数的读法：从高位一级一级读，读出级名（亿、万），每级末尾0都不读。其他数位一个或连续几个0都只读一个“零”。
整数的写法：从高位一级一级写，哪一位一个单位也没有就写0。
四舍五入法：求近似数，看要求近似到哪一位数，再看其后一位的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。
整数大小的比较：位数多的数较大，数位相同最高位上数大的就大，最高位相同比看第二位较大就大，以此类推。
（2）小数
小数表示：把整数1平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……这些分数可以用小数表示。如1/10记作0.1,6/100记作0.06。
小数计数：小数点右边第一位叫十分位，计数单位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位，计数单位是百分之一（0.01）……小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。小数部分有几个数位，就叫做几位小数。如0.56是两位小数，4.067是三位小数。数位顺序表：
整数部分 小数点 小数部分
… 亿级 万级 个级
数位 … 千亿位 百亿位 十亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位 个位 · 十分位 百分位 千分位 …
计数单位 … 千亿 百亿 十亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 一（个） 十分之一 百分之一 千分之一 …
小数的读法：整数部分整数读，小数点读点，小数部分顺序读。
小数的写法：小数点写在个位右下角。
小数的性质：小数末尾添0去0大小不变。化简
小数点位置移动引起大小变化：右移扩大左缩小，1十2百3千倍。
小数大小比较：整数部分大就大；整数相同看十分位大就大；以此类推。
（3）分数和百分数
①分数和百分数的意义
分数的意义：把单位“　1”　平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。在分数里，表示把单位“　1”　平均分成多少份的数，叫做分数的分母；表示取了多少份的数，叫做分数的分子；其中的一份，叫做分数单位。
百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数的形式，而用特定的“%”来表示。百分数一般只表示两个数量关系之间的倍数关系，后面不能带单位名称。
百分数表示两个数量之间的倍比关系，它的后面不能写计量单位。
成数：几成就是十分之几。
②分数的种类
按照分子、分母和整数部分的不同情况，可以分成：真分数、假分数、带分数
③分数和除法的关系及分数的基本性质
除法是一种运算，有运算符号；分数是一种数。因此，一般应叙述为被除数相当于分子，而不能说成被除数就是分子。
由于分数和除法有密切的关系，根据除法中“商不变”的性质可得出分数的基本性质。
分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质，它是约分和通分的依据。
④约分和通分
分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
通分的方法：先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
⑤倒数
乘积是1的两个数互为倒数。
求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。
1的倒数是1，0没有倒数。
⑥分数的大小比较
分母相同的分数，分子大的那个分数就大。
分子相同的分数，分母小的那个分数就大。
分母和分子都不同的分数，通常是先通分，转化成通分母的分数，再比较大小。
如果被比较的分数是带分数，先要比较它们的整数部分，整数部分大的那个带分数就大；如果整数部分相同，再比较它们的分数部分，分数部分大的那个带分数就大。
⑦百分数与折数、成数的互化：
例如：三折就是30％，七五折就是75％，成数就是十分之几，如一成就是10%，则六成五就是65%。
⑧纳税和利息：
税率：应纳税额与各种收入的比率。
利率：利息与本金的百分率。由银行规定按年或按月计算。
利息的计算公式：利息=本金×利率×时间
⑨百分数与分数的区别主要有以下三点：
意义不同。百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。如：可以说1米是5米的 20％，不可以说“一段绳子长为20％米。”因此，百分数后面不能带单位名称。分数是“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或几份的数”。分数不仅可以表示两数之间的倍数关系，如：甲数是3，乙数是4，甲数是乙数的?；还可以表示一定的数量。
应用范围不同。百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测量、计算中，得不到整数结果时使用。
书写形式不同。百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“％”来表示。如：百分之四十五，写作：45％；百分数的分母固定为100，因此，不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；百分数的分子可以是自然数，也可以是小数。而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：真分数、假分数、带分数，计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数。
（4）数的整除
①整除的意义
整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）
除尽的意义 甲数除以乙数，所得的商是整数或有限小数而余数也为0时，我们就说甲数能被乙数除尽，（或者说乙数能除尽甲数）这里的甲数、乙数可以是自然数，也可以是小数（乙数不能为0）。
②约数和倍数
如果数a能被数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的是它本身，它没有最大的倍数。
③奇数和偶数
能被2整除的数叫偶数。例如：0、2、4、6、8、10……注：0也是偶数 2、不能被2整除的数叫奇数。例如：1、3、5、7、9……
④整除的特征
能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8。
能被5整除的数的特征：个位上是0或5。
能被3整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3整除，这个数就能被3 整除。
⑤质数和合数
在正整数集合里分为质数、合数和1。
一个数只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数（素数）。
一个数除了1和它本身外，还有别的约数，这个数叫做合数。
1既不是质数，也不是合数。
自然数按约数的个数可分为：质数、合数
自然数按能否被2整除分为：奇数、偶数
⑥分解质因数
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。例如：18=3×3×2，3和2叫做18的质因数。
把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法来分解质因数。
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫这几个数的最大公因数。公因数只有1的两个数，叫做互质数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数。
特殊情况下几个数的最大公约数和最小公倍数。（1）如果几个数中，较大数是较小数的倍数，较小数是较大数的约数，则较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大公约数。（2）如果几个数两两互质，则它们的最大公约数是1，小公倍数是这几个数连乘的积。
⑦奇数和偶数的运算性质
相邻两个自然数之和是奇数，之积是偶数。
奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数；
奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-奇数=奇数，偶数-偶数=偶数；
奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。

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福安市13895131566： 小学四年级到六年级关于数的知识 - ？
大叔通活血： 数分为来整数,小数,分数,百分数四大类.小数里面有有限小自数,无限小数无限小数又分为无限不循环小数和无限循环小数.分数又分为真分数,假分数和百带分数.还有一些数是整数里面的:奇数,偶数,质数和合数,倍数和约数. 就这些~~数度的范围很广的哦!

福安市13895131566： 小学数学关于数字的知识 - ？
大叔通活血：[答案] 数 整数、自然数、正数、负数、分数、小数 计数单位和数位 计数单位、数位、十进制计数法.数的改写(省略)1.把多位数改写成“万”、“亿”直接改写: 先把原数小数点向左移动4位或8位(小数部分的末尾是0要划掉),然后再加万...

福安市13895131566： 数有哪些知识和数的认识 - ？
大叔通活血：[答案] 正整数} 正有理数{正分数}整数}无限循环小树 有理数{0 负整数}分数}有限小数 分类{ 负有理数{负分数} 无理数实数{ 数轴:数...

福安市13895131566： 数的认识问题1、小学阶段都学过哪几种数?2、整数怎么分类?整数的个数是多少?关于整数你还了解了哪些知识?3、什么叫分数?分数单位?分数怎么分... - ？
大叔通活血：[答案] 整数 分数 小数 质数 合数 奇数 偶数 负数整数 小数 分数 整数分为奇数 偶数 质数 合数 正数 负数 分数真分数 假分数 小数 有限小数 无限小数 循环小数 不循环小数 循环小数 纯循环小数 混循环小数5度是5℃,零下5度...

福安市13895131566： 数学方面的知识 - ？
大叔通活血：[答案] 数学的起源和早期发展: 数学与其他科学分支一样,是在一定的社会条件下,通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一... 产品交换等等长期实践活动中积累了丰富的经验,并逐渐形成了相应的技术知识和有关的数学知识. 数学符号的起源 数学除...

福安市13895131566： 关于数学的小知识?(10个) - ？
大叔通活血：[答案] 数学小知识 -------------------------------------------------------------------------------- 数学符号的起源 数学除了记数以外,还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系.数学符号的发明和使用比数字晚,但是数量多得多.现在常用的有200多个,初中数学书...

福安市13895131566： 关于数字的一些小知识例如发展史,当今社会的一些数字文化这些我当然都知道啦...有没有更详细一点的知识呢... - ？
大叔通活血：[答案] 数字的由来 数字可谓是数学大厦的基石,也是人们最早研究的数学对象.在几百万年前.我们的祖先还只知道“有”、“无”、“多”、 “少”的概念,而不知道数为何物.随着文明的进步,这些模糊不清 的概念无法满足生产、生...

福安市13895131566： 小学数的概念 - ？
大叔通活血： 自然数 :我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1.2.3....叫做自然数.一个物体也没有用0表示,0也是自然数.整数 :指小数部分为0的数,包括正整数和负整数 .自然数和整数的关系 :自然数一定是整数,整数不一定是自然数.分数(真...

福安市13895131566： 小学数学所有的知识 - ？
大叔通活血：[答案] 小学数学复习考试知识点汇总一、小学生数学法则知识归类(一)笔算两位数加法,要记三条1、相同数位对齐;2、从个位加起;3、个位满10向十位进1.(二)笔算两位数减法,要记三条1、相同数位对齐;2、从个位减起;3、个位不够减从十位...

福安市13895131566： 小学数学“数”的知识？
大叔通活血： 实数完备性,包括七个相互等价的定理,即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则.