一道高中数学函数题,实在想不出来,求学霸解答!!
(-7,5)首先求出x取值范围,为(-2,2)即-2<x^2-1<3,然后<-7<3x-1<5,ok
已知函数f(x)=e^x+ax²+bx。设函数f(x)在点(t,f(t))(0<t<1)处的切线为l,且与y轴相交于点Q若点Q的纵坐标恒小于1,求实数a的取值范围。解:f'(x)=e^x+2ax+b;故f'(t)=e^t+2at+b;(0<t<1);
那么过(t,f(t))的切线方程为:y=(e^t+2at+b)(x-t)+e^t+at²+bt;
令x=0,得y=-t(e^t+2at+b)+e^t+at²+bt=(1-t)e^t-at²,即Q点的坐标为(0,(1-t)e^t-at²);
已知(1-t)e^t-at²<1,由此得a>[(1-t)e^t-1]/t²]...............(1);
设u=[(1-t)e^t-1]/t²;当0<t<1时:du/dt=[-(t²-2t+2)e^t+2]/t³={(e^t)[-(t-1)²-1]+2}/t³<0
即在0<t<1时u=[(1-t)e^t-1]/t²单调减,故应取a>u(0);但在区间(0,1]内,u(0)无定义,为此取u(0)=t→0limu=t→0lim{[(1-t)e^t-1]/t²}=t→0lim[-(e^t)/2]=-1/2;故为使不等式(1)恒成立,应取a>-1/2,这就是a的取值范围。
The answer is a>=-1/2。
The equation for the tangent line l is
y-f(t)=f'(t)(x-t).
So the y-coordinate y_Q of Q is
f(t)-tf'(t)=e^t+at^2+bt-t(e^t+2at+b)=(1-t)e^t-at^2.
Since y_Q<1, we have
a>((1-t)e^t-1)/t^2. (1)
Now consider the function
g(t)=((1-t)e^t-1)/t^2,
which is exactly the right hand side of (1). We compute
g'(t)=-h(t)/t^3,
where
h(t)=e^t*t^2+2*e^t-2*e^t*t-2.
Since h(0)=0 and h'(t)=e^t*t^2>0, we derive g'(t)<0, i.e., g is decreasing in the interval (0,1).
Therefore, the maximal value of g(t) is g(0).
By L'Hôpital's rule, we can deduce
lim_{t \to 0}g(t)=-1/2. (2)
In view of (1) and (2), we find a>=-1/2. This completes the solution.
f'(x)=e^x+2ax+b
所以 l 的斜率 为 e^t+2at+b
同样点(t,f(t))和点Q(0,y)在 l 上,所以l的斜率为 (f(t)-y)/t=e^t/t+at+b-y/t
e^t/t+at+b-y/t=e^t+2at+b
y=e^t-t*e^t-at^2
y'=e^t-t*e^t-e^t-2at=-2at-t*e^t=-t(2a+e^t)
当a>-1/2是 2a+e^t >0 y' 恒小于0
所以t=0时 y最大
y=e^0-0*e^0-2a0^2=1 成立
当a<-e/2 时 2a+e^t<0 y' 恒大于 0
所以t=1时 y最大
y=e-e-a=-a>e/2>1 不成立
当-e/2<a<-1/2 时 2a+e^t=0 时 y最小,y在 t=0或者 t=1时最大
y0=1
y1=e-e-a=-a
要让y一直小于1则 y1要小于1
-a<1 a>-1
综上 a>-1时 Q纵坐标恒小于1
高中数学函数题目,确定函数,判断增减。
∵函数f(x)=﹙ax2+1﹚\/﹙bx+c﹚(a,b,c∈N)是奇函数 ∴f﹙﹣x)=[a﹙-x﹚²+1]\/[b﹙﹣x﹚+c]≡﹣f(x)=﹣﹙ax2+1﹚\/﹙bx+c﹚即﹙ax²+1﹚\/﹙﹣bx+c﹚≡﹙ax²+1﹚\/﹙﹣bx-c﹚∴,c=-c ∴c=0 即f(x)=﹙ax2+1﹚\/﹙bx﹚∵f(1)=2,∴﹙...
求解两道高中数学函数单调性难题,目前很少人能做对
这道题我做了一下,我感觉这道题就是比较麻烦,还有就是复合函数的单调性考虑的是:如果两个函数在某个区间上都是增函数,那么总的函数就是增函数,如果是一个增,一个减,那么复合函数就是减函数,如果两个函数都是减函数,那么复合函数就是增函数。我是按照这个原则做的,具体看下图 希望百度不...
高中数学,三角函数的题。题目发图片吧。。。
据题意得(1)f(x)=√3sinwx(√3sinwx+coswx)+t=(3\/2)(1-cos2wx)+(√3\/2)sin2wx+t =√3sin(2wx-π\/3)+3\/2+t 又因为T\/4=π\/4,所以T=π,w=1;最大值=√3+3\/2+t=1;t=-√3-1\/2 f(x)=√3sin(2x-π\/3)-1\/2 (2)f(x)=-(1+√3)\/2即:sin(2x-π\/3)...
几道高中数学题 1、若f(1\/X)=1\/1+X,则f(x)等于 2、函数y=1\/x⊃2...
1、f(1\/x)=1\/1+x (等式右边变到有1\/x)=(1+x-x)\/1+x =1- x\/1+x =1- 1\/ 1\/x+1 f(x)=1- 1\/ x+1 (化简后为x\/x+1)2、 x²+2的最小值为2,所以 1\/x²+2有最大值1\/2 函数y=1\/x²+2的值域为(-∞,1\/2]3、f(1-2x)=1-x²...
高中数学函数第16题
这是一个高度相似题,希望你能举一反三,灵活运用。
一道高中数学题,设f(x)是定义在[0, 1]上的函数
解;将0作为X1,X2的值分为两次代入方程关系式得到关于a的方程组解得a=1\/2.将该值代入原方程关系式,将X1,X2看作方程的的两个解,很容易看出该函数为线性函数,并且为Y=KX型,易知k=1,所以函数为F(X)=X,所以F(1\/7)=1\/7
3道高中函数数学题请教
1.由log函数性质有 x>0 且x-8>0;所以有x>8 (1)方程变形:log (下标是2)[上标是 x*(x-8)] =7 x*(x-8)= 2的7次方=128 x的平方-x*8-128=0 x的平方-x*8-16*8=0 (x-16)*(x+8)=0 结合式(1)x>8, 所以方程的解是x=16 2.设至少需要x年。方程:...
三道高中数学题 要有详细过程
1,a的最小值为5 这道题可以通过图像的性质来回答 要知道a在图像中的意义是什么?a代表开口的大小,a越大,开口越小 根据题意可以得到f(1)》1,且c》1 如果这个函数和x轴的交点都是《1的不等正根。那么函数在开口最大时则一定要过(1,1)点,并且满足c=1,这时候便可以得到 a+b=0...
高中数学三角函数问题?
这位同学,这道题考的是三角函数的图像及性质,对于2sinx=2,sinx=1,x=2kπ+π\/2,k∈Z,这是正弦函数的性质,需要理解记忆的,因为三角函数是周期函数,所以要加2kπ,k必须取整数,然后按照题目要求来取k的值,从而得到Ψ,其实这道题也很简单,把w求出来后可以排除C,D两项,再把点(π\/3,...
【急】求两道高中数学的函数题
即1\/a²≤t≤a,当t=a即x=1时,最小值-a²-2a+1=-7,解得 a=2,故y=-t²-2t+1,(t=2^x)当2^x=1\/4即x=-2时,最大值=7\/16.2、f(x)=ax+1\/a(1-x)=[(a²-1)x\/a]+(1\/a),当a>1时,函数递增,最小值是x=0时1\/a,此时最小值1\/a∈(0...
郟诚金芪: 一般你要多函数的知识非常熟悉,最后一题往往是综合了几个知识点在里面,解答问题时要全面考虑,你遇到这样类型的题目你可以逆向思维,每做一题你想想出题的人要考你哪个知识点,再结合课本基础知识进行解答.
甘肃省18211173979: 一道高中数学函数题 - ?
郟诚金芪: 这个我似乎做过,首先f(0)=0,你的那些条件根本就接不下去了,要接着做的似乎要把函数定义为自然数,才行哟!自然数的话,可得F(1)=2,F(2)=3,F(3)=6,这样一次类推,得F(6)=9,F(9)=18, 在推下去,就可的答案吧!这个应该是有F(k)的通...
甘肃省18211173979: 帮忙一道高一数学题目,实在想不出 - ?
郟诚金芪: 设正面为X米,则侧面长为15/X米,设总造价为Y.Y=4x1500X+2x4x800x15/X+5800x15 Y=6000X+96000/X+87000 当且仅当6000X=96000/X时,即X=4时,或者X=-4(舍去) 所以长度为4时,Y=6000x4+96000/4+87000=12500
甘肃省18211173979: 高一数学函数的一道简单题.老师让我很纠结.?
郟诚金芪: 肯定是错的呀!这是函数题,与x轴没交点,若a=0,则b=0,才能满足条件!若a>0(或即f(x)=0这一元二次方程无解:b^2-8a<0 成立即可! 判断题,这题目肯定判断为:错. 你所说的必过(0,2)在那判别式中有体现,只是我这图画错了而已!并且,在考到这种题目时,你要有这种比较全面的思想!
甘肃省18211173979: 一道高中数学函数题,急?
郟诚金芪: 这种题f(p+q)=f(p)*f(q)的函数模型是a^x 此题a=3 话说你 直接带就行了 f(2)=f(1)^2 f(3)=f(1)^3 f(4)=f(1)^4 答案应该是 12补充个简便算法f(2)=f(1)^2 f(2)^2=f(1)^4 f(4)=f(1)^4 f(3)=f(1)^3 带回 化简 原式=4f(1)=12
甘肃省18211173979: 一道高一数学函数题?
郟诚金芪: 善用赋值发就可以,高中数学就是比以前抽象,你要把题目给你的条件,有什么就用什么,没有限制你的,就直接代个常数进去,像你那题,你可以根据题目,把a、b都=1,f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)=3 f(1)=3/2 ,也可以把f(3)想象为(1+2),f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=3+3/2=9/2关键就是大胆代数进去就得
甘肃省18211173979: 一道高一数学函数题,拜托大家了?
郟诚金芪: 都说是一次函数了还不简单啊 解题如下: 令f(x)=kx+b; ∵3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17; ∴令x=0;则:3f(1)-2f(-1)=17=3(k+b)-2(-k+b)=5k+b令x=1;则:3f(2)-2f(0)=2+17=3(2k+b)-2b=6k+b 解得: k=2,b=7 ∴f(x)=2x+7
甘肃省18211173979: 高一数学函数题一道?
郟诚金芪: 由f(x+2)=—f(x)得f(x+4)=-f(x+2)=f(x);所以函数周期为4;又因为奇函数f(0)=0;f(2)=-f(0)=0 f(6=f(2)=0
甘肃省18211173979: 一道高中数学函数小题?
郟诚金芪: 解: 其实很简单,用到的知识点为函数单调性性质 首先看充分条件:因x1<x2,f(x1)>f(x2)故此函数在R上为单调减函数 再由f(x)=f(5-x)因此有5-x1>x2由此可以推出x1+x2<5 再来看必要条件:反过来证就可以了 此题后面那个条件妹什么用处,只是用来证明函数的连续性而已,而这就保证了该函数的在定义R上得单调性质 望采纳,谢谢
甘肃省18211173979: 求解一道高中数学函数题.?
郟诚金芪: 设x+1=t x=t-1 f(x+1)=x^2+2x+3=(x+1)^2+2 f(t)=t^2+2 所以 f(x)=x^2+2 注意:^2是平方的意思