一道高中数学函数题，实在想不出来，求学霸解答！！

求答案，实在想不出来~

（-7,5）首先求出x取值范围，为（-2,2）即-2<x^2-1<3,然后<-7<3x-1<5,ok

已知函数f(x)=e^x+ax²+bx。设函数f(x)在点(t,f(t))(0<t<1)处的切线为l，且与y轴相交于点Q若点Q的纵坐标恒小于1，求实数a的取值范围。

解：f'(x)=e^x+2ax+b；故f'(t)=e^t+2at+b；(0<t<1)；
那么过(t，f(t))的切线方程为：y=(e^t+2at+b)(x-t)+e^t+at²+bt；
令x=0，得y=-t(e^t+2at+b)+e^t+at²+bt=(1-t)e^t-at²，即Q点的坐标为(0，(1-t)e^t-at²)；
已知(1-t)e^t-at²<1，由此得a>[(1-t)e^t-1]/t²]...............(1)；
设u=[(1-t)e^t-1]/t²；当0<t<1时：du/dt=[-(t²-2t+2)e^t+2]/t³={(e^t)[-(t-1)²-1]+2}/t³<0
即在0<t<1时u=[(1-t)e^t-1]/t²单调减，故应取a>u(0)；但在区间(0，1]内，u(0)无定义，为此取u(0)=t→0limu=t→0lim{[(1-t)e^t-1]/t²}=t→0lim[-(e^t)/2]=-1/2；故为使不等式(1)恒成立，应取a>-1/2，这就是a的取值范围。

The answer is a>=-1/2。

The equation for the tangent line l is
y-f(t)=f'(t)(x-t).
So the y-coordinate y_Q of Q is
f(t)-tf'(t)=e^t+at^2+bt-t(e^t+2at+b)=(1-t)e^t-at^2.
Since y_Q<1, we have
a>((1-t)e^t-1)/t^2. (1)
Now consider the function
g(t)=((1-t)e^t-1)/t^2,
which is exactly the right hand side of (1). We compute
g'(t)=-h(t)/t^3,
where
h(t)=e^t*t^2+2*e^t-2*e^t*t-2.
Since h(0)=0 and h'(t)=e^t*t^2>0, we derive g'(t)<0, i.e., g is decreasing in the interval (0,1).
Therefore, the maximal value of g(t) is g(0).
By L'Hôpital's rule, we can deduce
lim_{t \to 0}g(t)=-1/2. (2)
In view of (1) and (2), we find a>=-1/2. This completes the solution.

f'(x)=e^x+2ax+b
所以 l 的斜率 为 e^t+2at+b
同样点（t，f(t))和点Q(0，y)在 l 上，所以l的斜率为 （f(t)-y)/t=e^t/t+at+b-y/t
e^t/t+at+b-y/t=e^t+2at+b
y=e^t-t*e^t-at^2
y'=e^t-t*e^t-e^t-2at=-2at-t*e^t=-t(2a+e^t)
当a>-1/2是 2a+e^t >0 y' 恒小于0
所以t=0时 y最大
y=e^0-0*e^0-2a0^2=1 成立
当a<-e/2 时 2a+e^t<0 y' 恒大于 0
所以t=1时 y最大
y=e-e-a=-a>e/2>1 不成立
当-e/2<a<-1/2 时 2a+e^t=0 时 y最小，y在 t=0或者 t=1时最大
y0=1
y1=e-e-a=-a
要让y一直小于1则 y1要小于1
-a<1 a>-1
综上 a>-1时 Q纵坐标恒小于1

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甘肃省18211173979： 高一数学最后一道总是有关函数综合题,总做不出,要怎么训练?讲讲方法,或推荐下书籍 - ？
郟诚金芪： 一般你要多函数的知识非常熟悉,最后一题往往是综合了几个知识点在里面,解答问题时要全面考虑,你遇到这样类型的题目你可以逆向思维,每做一题你想想出题的人要考你哪个知识点,再结合课本基础知识进行解答.

甘肃省18211173979： 一道高中数学函数题 - ？
郟诚金芪： 这个我似乎做过,首先f(0)=0,你的那些条件根本就接不下去了,要接着做的似乎要把函数定义为自然数,才行哟!自然数的话,可得F(1)=2,F(2)=3,F(3)=6,这样一次类推,得F(6)=9,F(9)=18, 在推下去,就可的答案吧!这个应该是有F(k)的通...

甘肃省18211173979： 帮忙一道高一数学题目,实在想不出 - ？
郟诚金芪： 设正面为X米,则侧面长为15/X米,设总造价为Y.Y=4x1500X+2x4x800x15/X+5800x15 Y=6000X+96000/X+87000 当且仅当6000X=96000/X时,即X=4时,或者X=-4(舍去) 所以长度为4时,Y=6000x4+96000/4+87000=12500

甘肃省18211173979： 高一数学函数的一道简单题.老师让我很纠结.？
郟诚金芪： 肯定是错的呀!这是函数题,与x轴没交点,若a=0,则b=0,才能满足条件!若a>0(或即f(x)=0这一元二次方程无解:b^2-8a<0 成立即可! 判断题,这题目肯定判断为:错. 你所说的必过(0,2)在那判别式中有体现,只是我这图画错了而已!并且,在考到这种题目时,你要有这种比较全面的思想!

甘肃省18211173979： 一道高中数学函数题,急？
郟诚金芪： 这种题f(p+q)=f(p)*f(q)的函数模型是a^x 此题a=3 话说你 直接带就行了 f(2)=f(1)^2 f(3)=f(1)^3 f(4)=f(1)^4 答案应该是 12补充个简便算法f(2)=f(1)^2 f(2)^2=f(1)^4 f(4)=f(1)^4 f(3)=f(1)^3 带回 化简 原式=4f(1)=12

甘肃省18211173979： 一道高一数学函数题？
郟诚金芪： 善用赋值发就可以,高中数学就是比以前抽象,你要把题目给你的条件,有什么就用什么,没有限制你的,就直接代个常数进去,像你那题,你可以根据题目,把a、b都=1,f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)=3 f(1)=3/2 ,也可以把f(3)想象为(1+2),f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=3+3/2=9/2关键就是大胆代数进去就得

甘肃省18211173979： 一道高一数学函数题,拜托大家了？
郟诚金芪： 都说是一次函数了还不简单啊 解题如下: 令f(x)=kx+b; ∵3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17; ∴令x=0;则:3f(1)-2f(-1)=17=3(k+b)-2(-k+b)=5k+b令x=1;则:3f(2)-2f(0)=2+17=3(2k+b)-2b=6k+b 解得: k=2,b=7 ∴f(x)=2x+7

甘肃省18211173979： 高一数学函数题一道？
郟诚金芪： 由f(x+2)=—f(x)得f(x+4)=-f(x+2)=f(x);所以函数周期为4;又因为奇函数f(0)=0;f(2)=-f(0)=0 f(6=f(2)=0

甘肃省18211173979： 一道高中数学函数小题？
郟诚金芪： 解: 其实很简单,用到的知识点为函数单调性性质 首先看充分条件:因x1<x2,f(x1)>f(x2)故此函数在R上为单调减函数 再由f(x)=f(5-x)因此有5-x1>x2由此可以推出x1+x2<5 再来看必要条件:反过来证就可以了 此题后面那个条件妹什么用处,只是用来证明函数的连续性而已,而这就保证了该函数的在定义R上得单调性质 望采纳,谢谢

甘肃省18211173979： 求解一道高中数学函数题.？
郟诚金芪： 设x+1=t x=t-1 f(x+1)=x^2+2x+3=(x+1)^2+2 f(t)=t^2+2 所以 f(x)=x^2+2 注意:^2是平方的意思