证明两道代数题 （速度速度速度）
作者&投稿：职逸 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
（1）k=2 （2）-10
艰苦证出.....1-a=[(a+b+c)/2-a]=(b+c-a)/2,同理,1-b=(a+c-b)/2
1-c=(a+b-c)/2,下面证明它们都等于abc,
由a+b+c=2 知,4=a方+b方+c方+2bc+2ac+2ab
所以,2bc+2ac+2ab=2,故,
a[（1-a)方]=a[(b+c-a)/2]方=a(a方+b方+c方+2bc-2ac-2ab)/4=(2+2bc-2ac-2ab)/4=a[2+2bc-(2-2bc)]/4=abc同理,有b[(1-b)方]=abc,
c[(1-c)方] =abc,所以a[（1-a)方]=b[(1-b)方]=c[(1-c)方] =abc,证毕.
这个题目,不错.........
1）设f(x)=(x-m)(2x+t)+k 则k就是所求余数
而f(x)=(x-m)(2x+t)+k=2x^2+(t-2m)x-mt+k
=2x^2+8x+9
所以 t-2m=8, -mt+k=9
所以 t=2m+8, k=mt+9=m(2m+8)+9=2m^2+8m+9=2(m+2)^2+1>=1
所以 k>=1 即余数恒为正数
2）先看 a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3 是否有因式a-b
第3项为c(a-b)^3必有因式a-b 丢一边不管它
剩下的a(b-c)^3+b(c-a)^3
=a(b-c)(b-c)^2+b(c-a)(c-a)^2
=(ab-ac)(b-c)^2+(bc-ab)(c-a)^2
=ab(b-c)^2-ab(c-a)^2-{ac(b-c)^2-bc(c-a)^2}
=ab(b-c+c-a)(b-c-c+a)-{ac(b-c)^2-bc(c-a)^2}
=ab(b-a)(b+a-2c)-{ac(b-c)^2-bc(c-a)^2}
显然ab(b-a)(b+a-2c)是a-b的倍数 则只需考虑ac(b-c)^2-bc(c-a)^2
ac(b-c)^2-bc(c-a)^2
=ac(b^2-2bc+c^2)-bc(c^2-2ac+a^2)
=acb^2-2abc^2+ac^3-bc^3+2abc^2-a^2bc
=acb^2+ac^3-bc^3-a^2bc
=acb^2-a^2bc+ac^3-bc^3
=abc(b-a)+(a-b)c^3 明显为a-b的倍数
同理 b-c,c-a也是它的因式
综上 得证
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第一题余数就是f(m) 带进去配方得到 2(m+2)^2+1
第二题 比如说含有因子 a-b 把第一项中b-c写成(b-a)+(a-c) 展开含有(b-a)的先不管 剩下a(a-c)^3+b(c-a)^3 合并同类项出现因子（a-b）
其余两个同理拆项裂项
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