下列各数中，___不能表示成两整数的平方差（第十一届“五羊杯”初中数学竞赛题）

五羊杯全国数学竞赛~

有点困难不知如何解答

1．分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x)－8＝ ．
2．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12= ．
3．分解因式：x2－xy－2y2－x－y= ． (重庆市中考题)
4．已知二次三项式 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m的可能取值为 ．
5．将多项式 分解因式，结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
(北京中考题)
6．下列5个多项式：
① ；② ；③ ；④ ；⑤
其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ）．
A．①、②、③ B．②、③ 、④ C．①③ 、④、⑤ D．①、②、④
7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．
A． B． C． D．
(“希望杯”邀请赛试题)
8．若 ， ，则 的值为( )．
A． B． C． D．0 (大连市“育英杯”竞赛题)
9．分解因式
（1）(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2；
(2)(2x2－3x+1)2一22x2+33x－1；
(3)x4+2001x2+2000x+2001；
(4)(6x－1)(2 x－1)(3 x－1)( x－1)+x2；
(5) ；
(6) ． (“希望杯”邀请赛试题)
10．分解因式： = ．
11．分解因式： = ．
12．分解因式： = ．（ “五羊杯”竞赛题）
13．在1~100之间若存在整数n，使 能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n有 个． (北京市竞赛题)
14． 的因式是( )
A． B． C． D． E．
15．已知 ，M= ，N= ，则M与N的大小关系是( )
A．M N C．M＝N D．不能确定
(第 “希望杯”邀请赛试题)
16．把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ； (湖北省黄冈市竞赛题)
(3) ； (天津市竞赛题)
(4) ；（“五羊杯”竞赛题）
(5) ． (天津市竞赛题)
17．已知乘法公式：
；
．
利用或者不利用上述公式，分解因式： (“祖冲之杯”邀请赛试题)
18．已知在ΔABC中， (a、b、c是三角形三边的长)．
求证： (天津市竞赛题)


学力训练
1．已知x+y＝3， ，那么 的值为 ．
2．方程 的整数解是 ． ( “希望杯”邀请赛试题)
3．已知a、b、c、d为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d＝ ．
4．对一切大于2的正整数n，数n5一5n3+4n的量大公约数是 ．
(四川省竞赛题)
5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )
A．41，48 B．45，47 C．43，48 D．4l，47
6，已知2x2－3xy+y2＝0(xy≠0)，则 的值是( )
A． 2， B．2 C． D．－2，
7．a、b、c是正整数，a>b，且a2-ac+bc=7，则a—c等于( )
A．一2 B．一1 C．0 D． 2
(江苏省竞赛题)
8．如果 ，那么 的值等于( )
A．1999 B．2001 C．2003 D．2005
（武汉市选拔赛试题）
9．(1)求证：8l7一279—913能被45整除；
(2)证明：当n为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；
（3）计算：
10．若a是自然数，则a4－3a+9是质数还是合数?给出你的证明．
(“五城市”联赛题)
11．已知a、b、c满足a+b＝5，c2＝ab+b－9，则c＝ ． (江苏省竞赛题)
12．已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c，则(a+1)(b+1)(c+1)= ．(北京市竞赛题)
13．整数a、b满足6ab＝9a—l0b+303，则a+b= ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)
14．已知 ，且 ，则 的值等于 ．
( “希望杯”邀请赛试题)
15．设a<b<c<d，如果x=(a＋b)(c＋d)，y=(a+c)(b+d)，z＝(a+d)(b+c)，那么x、y、z的大小关系为( )
A．x<y<z B． y<z<x C．z <x<y D．不能确定
16．若x+y=－1，则 的值等于( )
A．0 B．－1 C．1 D． 3
( “希望杯”邀请赛试题)
17．已知两个不同的质数p、q满足下列关系 ： ， ，m是适当的整数，那么 的数值是( )
A．4004006 B．3996005 C．3996003 D．4004004
18．设n为某一自然数，代入代数式n3－n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是( )
A．5814 B．5841 C．8415 D．845l (陕西省竞赛题)
19．求证：存在无穷多个自然数k，使得n4+k不是质数．
20．某校在向“希望工程”捐救活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数． (全国初中教学联赛题)
21．已知b、c是整数，二次三项式x2+bx＋c既是x4+6x2+25的一个因式，也是x3+4x2+28x+5的一个因式，求x＝1时，x2+bx＋c的值．
(美国中学生数学竞赛题)
22．按下面规则扩充新数：
已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……每扩充一个新数叫做一次操作．
现有数1和4，(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由． (重庆市竞赛题)


1．(1)完成下列配方问题：
（江西省中考题）
（2）分解因式： 的结果是 ．(郑州市竞赛题)
2．若 有一个因式是x+1，则 ＝ ．
3．若 是完全平方式，则 = ．
(2003年青岛市中考题)
4．已知多项式 可以i分解为 的形式，那么 的值是 ． ( “希望杯”邀请赛试题)
5．已知 ，则 的值为( )
A．3 B． C． D．
6．如果 a、b是整数，且 是 的因式．那么b的值为( )
A．－2 B．－l C．0 D．2
(江苏省竞赛题)
7． d分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
(北京市竞赛题)
8．把下列各式分解因式：
(1) ； (2) ；
(3) ；
（4） ； (昆明市竞赛题)
(5) ； （“祖冲之杯”邀请赛试题）
（6） (重庆市竞赛题)
9．已知 是 的一个因式，求 的值．
（第15届“希望杯”邀请赛试题）
10．已知 是多项式 的因式，则 ＝ ．
(第15届江苏省竞赛题)
11．一个二次三项式的完全平方式是 ，那么这个二次三项式是 ．
(重庆市竞赛题)
12．已知 ，则 = ．
(北京市竞赛题)
13．已知 为正整数，且 是一个完全平方数，则 的值为 ．
14．设m、n满足 ，则 =( )
A．(2，2)或(－2，－2) B．(2，2)或(2，－2)
C．(2，－2)或(－2，2) D．(－2，－2)或(－2，2)
15．将 因式分解得( )
A． B．
C． D．
16．若 a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是( )
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
17．把下列各式分解因式：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) (2003年河南省竞赛题)
18．已知关于x、y的二次式 可分解为两个一次因式的乘积，求m的值． (大原市竞赛题)
19．证明恒等式： (北京市竞赛题)
20．一个自然数a若恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数．如64＝82，64就是一个完全平方数，已知a＝20012+20012× 20022十20022，求证：a是一个完全平方数．(希望杯题)

当n为自然数时，2（2n+1）的形式的数能不能表示为两个整数的平方差 假设结论成立，设两个整数为a,b,a>b
2*(2n+1)=a^2-b^2=(a+b)(a-b)
显然a+b和a-b的奇偶性相同
左边为偶数，因此(a+b)(a-b)为偶数，
所以a+b和a-b都为偶数，等式右边能被4整除，而等式左边不能被4整除，矛盾。
因此2*(2n+1)不能表示成两个整数的平方差

解：能表示成两个数的平方差的数叫做智慧数令智慧数P=a^2 -b^2（P、a、b均为正整数）1、若a=2m（m≥1），b=2n（n≥1）
则P=4m^2 -4n^2=4(m^2 -n^2)，此时P为4k形式。
2、若a=2m（m≥1），b=2n+1（n≥0）
则P=4m^2 -4n^2-4n-1=4(m^2 -n^2 -n)-1，此时P为4k -1形式。
3、若a=2m+1（m≥1），b=2n（n≥1）
则P=4m^2+4m+1-4n^2=4(m^2+m- n^2)+1，此时P为4k+1形式。
4、若a=2m+1（m≥1），b=2n+1（n≥0）
则P=4m^2+4m+1-4n^2-4n-1=4(m^2+m- n^2-n)，此时P为4k形式。
又易知4k -1，4k+1包括了所有的奇数，即（4k+1）∪（4k -1）=2k+1
故P为2k+1或4k的形式，即智慧数为2k+1或4k的形式
又2k+1=（k+1）^2 –k^2，
4k=（k+1）^2 –(k-1)^2
故形如2k+1或4k的形式必为智慧数。那么以上四个答案中只有B不能表示成2k+1或4k的形式，所以选B

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乌苏市14748631327： 下面个数中,不能表示成两个整数的平方差的是()A.314159265B.31415826C.3141592D.31415 - ？
望韩醒脑： 设这两个整数分别为a,b,依题意有 K=a2-b2=(a+b)(a-b), 由于a,b为整数,那么(a+b)与(a-b)的奇偶性相同,即同为奇或同为偶. 且二者为一大一小,不会相等,根据以上分析,得 (1)所有的奇数除1之外,都符合要求,因为奇数总可以表示为其本身与1的乘积,同为奇,且一大一小,符合以上条件的有314159265、314159, (2)对于偶数K,它必须能分解成两个偶数的乘积,才有可能表示成两个整数的平方差的形式.即(a+b)与(a-b)都是偶数,所以K必定是4的倍数,符合以上条件的有3141592. 故选B.

乌苏市14748631327： 下列各数中, - --不能表示成两整数的平方差(第十一届“五羊杯”初中数学竞赛题)？
望韩醒脑： 当n为自然数时,2(2n+1)的形式的数能不能表示为两个整数的平方差 假设结论成立,设两个整数为a,b,a>b 2*(2n+1)=a^2-b^2=(a+b)(a-b) 显然a+b和a-b的奇偶性相同 左边为偶数,因此(a+b)(a-b)为偶数, 所以a+b和a-b都为偶数,等式右边能被4整除,而等式左边不能被4整除,矛盾. 因此2*(2n+1)不能表示成两个整数的平方差

乌苏市14748631327： 在2012.2013.2014.2015这4个数中,不能表示为两个整数平方差的是哪一个 - ？
望韩醒脑：[答案] 如果一个数可以表示成两个正整数的平方差,记为x=a^2-b^2=(a+b)(a-b) 则x比可以分解为a+b,a-b的积,且注意到这两个因子差2a,即同奇同偶 所以,大于1的奇数可以分解为两个奇数之积,(1和他自身), 必可以写成两数平方之差(可以反求出来...

乌苏市14748631327： 在2004,2005,2006,2007这四个数中,不能表示为两个整数平方差的数是() A.2004 B.2005 C - ？
望韩醒脑： 由于a 2 -b 2 =(a-b)(a+b), 2004=502 2 -500 2 , 2005=1003 2 -1002 2 , 2007=1004 2 -1003 2 , 而2006=2*1003, a-b与a+b的奇偶性相同,2*1003一奇、一偶, 故2006不能表示为两个整数平方差. 故选C.

乌苏市14748631327： 在2004,2005,2006,2007这四个数中,不能表示为两个整数平方差的是? - ？
望韩醒脑： 2m+1=m^2+2m+1-m^2=(m+1)^2-m^2,故奇数都可以表示成两个相邻整数的平方差 事实上,2005=1003^2-1002^2,2007=1004^2-1003^24m=(m+1)^2-(m-1)^2,故4的倍数的数都可以表示成某两个相邻整数的平方差,事实上,2004=502^2-501^2 所以,不能表示成两个整数的平方差的数是2006

乌苏市14748631327： 在2004、2005、2006、2007这四个数中不能表示为两个整数平方差的是哪个 - ？
望韩醒脑： 两个整数平方差的数, 所以设为x和y, 即(x+y)*(x-y)=2006 而2006=1003*2 所以让x+y=1003,x-y=2 解得x,y不为整数. 所以2006不行.把其他的也说说好了: (x+y)*(x-y)=2004 2004=2*2*3*167 所以让x+y=2*3*167,x-y=2 或x+y=2*167,x-y=3*2 解得x,y为整数.(x+y)*(x-y)=2005 2005=5*401 所以让x+y=401,x-y=5 解得x,y为整数.(x+y)*(x-y)=2007 2007=3*3*223 所以让x+y=3*3*223,x-y=2 或x+y=3*223,x-y=3 解得x,y为整数

乌苏市14748631327： 在2004.2005.2006.2007这4个数中不能表示为两个整数平方差的数是 - ？
望韩醒脑： 2004.2005.2006.20072004可写成两个偶数的积. 2*1002=2004=502^2-500^22005可写成两个奇数的积 5*401=2005=203^-198^22006,则不能写成同偶数或同奇数相乘.2007可以写成两个奇数的积:9*223=2007=116^2-107^2

乌苏市14748631327： 在2004.2005.2006.2007.这四个数中,不能表示为两个整数平方差的数是( )？
望韩醒脑： 2004=502^2-500^2 2005=203^2-198^2 2007=336^2-333^2 所以选3.2006欢迎追问!!!

乌苏市14748631327： 在2011,2012,2013,2014这四个数中,不能表示为两个整数平方差的数是 (A)2011 (B)2012 (C)2013 (D)2014？
望韩醒脑： (D)2014 两个整数的平方差 A² - B² = (A + B) * (A - B) 显然,A+B、A-B 这两数的奇偶性相同,则 A+B、A-B都是奇数,(A + B) * (A - B) 是奇数 A+B、A-B都是偶数,(A + B) * (A - B) 是被4整除的偶数 则A、C是奇数OK,B是被4整除的偶数OK,唯独D不符合.

乌苏市14748631327： 在2007、2008、2009.2010这四个数中,不能表示为两个整数平方差的数是？
望韩醒脑： 2010 2007是1004和1003 2008是503和501 2009是1005和1004