函数的奇偶性

函数的奇偶性是什么~

是指函数在零点前后的数值是否相反，如果相反函数就是奇函数，相同就是偶函数，其它的不是奇函数也不是偶函数

如何判断函数的奇偶性

函数奇偶性　　1．定义
　　一般地，对于函数f(x)
　　（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)那么函数f(x)就叫做奇函数。
　　（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
　　（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x)，(x∈D,且D关于原点对称.)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
　　（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
　　说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。
　　②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。
　　（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
　　③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
　　④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
　　2．奇偶函数图像的特征：
　　定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图像关于y轴的轴对称图形。
　　f(x)为奇函数＜＝＞f(x)的图像关于原点对称
　　点（x,y）→（-x,-y）
　　f(x)为偶函数＜＝＞f(x)的图像关于Y轴对称
　　点（x,y）→（-x,y）
　　奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
　　偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
　　3.证明方法
　　先判断函数定义域是否关于原点对称,若不对称则函数既不是奇函数也不是偶函数,然后再证明f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)

一、关于函数的奇偶性的定义高中代数新教材（上册）（以下称教材）第61页，定义如下：⑴一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有， ，那么函数 就称偶函数；⑵一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 就称奇函数；定义说明：上述定义可等价地叙述为：对于函数 的定义域内任意一个 ：⑴ 是偶函数；⑵ 奇函数；理解定义是应用概念的前提，在教学中应注意引导学生认识以下两点：⑴、定义中要求“对于函数 的定义域内任意一个，都有 ”成立，可见 必有意义，即 也属于 的定义域，即自变量 的取值要保持任意性。于是有，奇（偶）函数的定义域是一个对称数集（在数轴上表示为关于原点对称的点集）。如果将教材中函数 ， 的定义域分别改为 与 ，学生能很快判断出它们为非奇非偶函数。也就是说：若一个函数的定义域不对称，则此函数不是奇（偶）函数，所以说，函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。1( )( )f(x)=⑵、定义中的等式 （或 ）是定义域上的恒等 式，而不是对部分 成立。如：函数 尽管当 时，都有 ,但它并是非偶函数。二、函数的奇偶性的几个性质①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 都必须成立；③、可逆性： 是偶函数；奇函数；④、等价性： ⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 轴对称；⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断 由前面可知，函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查 是否与 、 相等，判断步骤如下：①、定义域是否关于原点对称；②、数量关系 哪个成立；（ ①、②分别是函数具有奇偶性的两个必要条件，若两个条件同时成立，联袂作用，使成为充要条件。）具体步骤如下：若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系 怎样成立？若 成立，则为偶函数；若 成立，则为奇函数；若 成立，则为既是奇函数也是偶函数；若 都不成立，则为非奇非偶函数。例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、 （教材） ⑵、 （教材）⑶、 ⑷、 ⑸、 ⑹、 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例2：判断函数 的奇偶性学生解答： 的定义域是 ，当 时，有 是偶函数。其实上速的解答是不完整的，事实上，且 既是奇函数也是偶函数。1、 由此例题说明：若 的定义域是对称数集且表达式较复杂，在能化简时后再按定义进行判断。例3：判断函数 的奇偶性学生解答： 的定义域是 ，当 时，有 ……………………………………………① …………②且 为非奇非偶函数，由①②而断言 且 太草率了，事实上， 为奇函数这个错误的做法，告诉我们，当 的表达式较为复杂且不易化简时，直接判断 并不容易，怎么办？2、由此例题说明：若 的定义域是关于对称数集，若用定义判断较难不易化简时，可等价地验证 或当 时，验证 是否成立？如例2：我们有： 为奇函数在三角函数中更能体现前面所提到的两点。例如：判断 的奇偶性有两条途径。（1）化简得到 后知其为奇函数；（2） 时， 易得 ，从而 为奇函数。例4：判断函数 的奇偶性。 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x∈〔-1,1〕),g(x)=x(x∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|= 不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。此命题错误。如函数f(x)= 从图像上看，f(x)的图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故此函数非奇非偶。命题5 函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。此命题正确。由函数奇偶性易证。命题6 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。此命题正确。由奇函数的定义易证。命题7 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x0)=0，则f(-x0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。故原命题成立。五、关于函数按奇偶性的分类 由前面可知，全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征教材第62、63页给出奇偶函数的图像的特征：一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图像关于 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于 轴对称，那么这个函数是偶函数。 例5：已知偶函数 在 轴右则时的图像如图（一）试画出函数 轴右则的图像。2-111-2XY图（二）0121XY图（一）
解：由偶函数关于 轴对称图形得到：根据奇函数图像的对称性，从自变量取正值时的图像和性质，右以推测判断自变量取负值时的图像和性质。根据教材例5、例6、63页第2题、65页第8题，于是可以得到以下这个结论：奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反。（证略）七、关于函数奇偶性的简单应用函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之一，利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小，求函数的解析式，讨论函数的单调性，求参数的值等。现分别举例说明如下：1、利用奇偶性求函数值例6：已知 且 ，那么 解：设 ，则 为奇函数，于是有 ，从而有 即： 令 ，得 ，又 ，故 2、利用奇偶性比较大小例7：已知偶函数 在 上为减函数，比较 ， ， 的大小。解： 偶函数 在 上为减函数在 上为增函数,又 ， 2、 利用奇偶性求解析式例8：已知 为偶函数 ，求 的解析式？4、利用奇偶性讨论函数的单调性例9：若 是偶函数，讨论函数 的单调区间？ 5、利用奇偶性判断函数的奇偶性 例10：已知函数 是偶函数，判断 的奇偶性。6、利用奇偶性求参数的值 例11：定义在R上的偶函数 在 是单调递减，若 ，则 的取值范围是如何？又 即 或 7、利用奇偶性求代数式的值例12：已知 ，求 的值解：已知条件可变形为 ………（1）根据（1）式的结构特征，可构造函数 是奇函数。（1）式可写成 ………（2）又 是增函数，由（2）式有 ， 8、利用奇偶性解方程例13：在实数范围内解方程 解：原方程可化为： …………（1）令 则（1）式变形为 ………（2）设 ，则（2）式可变形为 函数 是奇函数， 又 是增函数， ， 原方程的解为

应该只有f(x)=0，不过因为可以取无数个关于原点对称的定义域，例如：x∈{-1,1}，x∈{-2,0,2}......所以就算他们的解析式和值域都相同，但定义域不同，它们就是不同的函数。所以问题的答案是有无数个。

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洛江区18711811962： 函数的奇偶性 - 搜狗百科？
蔺荷小芯： 一般地,对于函数f(x) ⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(-x)或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x)就叫做偶函数.关于y轴对称,f(-x)=f(x). ⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)或f(x)/f(-x)=-1,那么函数f(x)就叫做奇函数....

洛江区18711811962： 怎样证明函数的奇偶性啊 - ？
蔺荷小芯：[答案] 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 只能定义证,只此一法. 例如,证f(x)=x+1/x是奇函数,只要用-x替换x,得f(-...

洛江区18711811962： 什么叫函数的奇偶性?？
蔺荷小芯： 数的奇偶性:在函数y=f(x)中,如果对于函数定义域内的任意一个x. (1)若都有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇函数; (2)若都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数. 如果函数y=f(x)在某个区间上是奇函数或者偶函数,那么称函数y=f(x)在该区间上具有奇偶性.

洛江区18711811962： 函数的奇偶性 - ？
蔺荷小芯： 函数奇偶性1.定义 一般地,对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)那么函数f(x)就叫做奇函数. (2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. (3)如果对于函数定义域内的任意一个x...

洛江区18711811962： 怎么判断函数的奇偶性? - ？
蔺荷小芯： ....这是个概念问题.首先奇偶性是对于函数整体来说的,不是哪个局部的特性;其次重点来了:奇函数:f(x)=-f(-x) ∴①若定义域包括原点,则必有f(0)=0②若定义域不包括原点,就..就没什么特别偶函数:f(x)=f(-x) 简而言之 ,奇函数图像关于原点对称,而偶函数图像关于y轴对称.所以由概念可知,判定奇偶性, 先看定义域必须得关于0对称,如(2,8)或(7,7]就是非奇非偶 然后再由以上奇偶函数性质判定即可.把x,-x分别代入同一个函数,看符合哪个性质(取特值更快). 综上,一眼B,大概就是靠概念的题.(别说你A.C函数不认识...)

洛江区18711811962： 一次函数的奇偶性怎么判断? - ？
蔺荷小芯：[答案] 首先判断一个函数的奇偶性要先看定义域是否关于y轴或原点对称,若否,就非奇非偶 一次函数定义域为R可判断奇偶性 函数图象关于y轴对称的就是偶函数,满足f(x)=f(-x) 关于原点对称的就是奇函数,满足f(-x)= - f(x) 既不关于原点对称也不关于y轴对...

洛江区18711811962： 函数的奇偶性 奇偶函数 - ？
蔺荷小芯： 1)试判断函数y=f(x)的奇偶性 解:(ⅰ) 由于f(2-x)= f(2+x), f(7-x)= f(7+x) 可知f(x)的对称轴为x=2和x=7,即f(x)不是奇函数. 联立f(2-x)= f(2+x)f(7-x)= f(7+x) 推得f(4-x)= f(14-x)= f(x) 即f(x)=f(x+10),t=10 又 f(1)= f(3)=0 ,而f(7)≠0 故函数为非奇非偶函数

洛江区18711811962： 举例 函数的奇偶性 - ？
蔺荷小芯：[答案] 奇函数:F(x)=x^3 奇函数以原点为对称点,就是(0,0)这个坐标 偶函数:F(x)=x^2 偶函数以Y轴为对称线左右对称.

洛江区18711811962： 函数的奇偶性和单调性? - ？
蔺荷小芯： 函数奇偶性,单调性及其判别方法 一般函数单调性判别: 1.定义法: 设在定义域内 x1<x2 ,计算f(x1)-f(x2) ,若它大于0,则单调递增;若小于0,则单调的递减 2.导数法:对可导的函数y=f(x) 进行求导,若y' >0,则y单调递增;若y'<0 则y单调递...