数学一元二次方程的解法

高一数学 描述一元二次方程求解的算法~

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 　　1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 　　1、直接开平方法： 　　直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的 方程，其解为x=±√n+m . 　　2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0) 　　先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c 　　将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a 　　方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 　　方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚² 　　当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚² 　　∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式) 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 　　直接开平方法是最基本的方法。 　　公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。 　　配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 　　解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

一元二次方程公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
解：用求根公式法解一元二次方程的一般步骤如下。
1、把方程化简为一元二次方程的一般形式，即ax^2+bx+c=0（其中a≠0）。
2、求出△=b^2-4ac的值，判断该方程根的情况。
3、然后根据求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)进行计算，求出该一元二方程的解。
扩展资料：
1、一元二次方程的求解方法
（1）求根公式法
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)，可根据求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)进行求解。
（2）因式分解法
首先对方程进行移项，使方程的右边化为零，然后将方程的左边转化为两个一元一次方程的乘积，最后令每个因式分别为零分别求出x的值。x的值就是方程的解。
（3）开平方法
如果一元二次方程是x^2=p或者(mx+n)^2=p(p≥0)形式，则可采用直接开平方法解一元二次方程。可得x=±√p，或者mx+n=±√p。
参考资料：百度百科-一元二次方程

配方法
（直接开）
形如x=p或（nx+m）=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x²=p的形式，那么可得x=±p；(x²=p,x=±根号p）
如果方程能化成（nx+m）=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．（同上）
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方
（配方法）
（1）将一元二次方程配成（x+m）=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax²+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
配方法的应用：1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a²±2ab+b²=（a±b）
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
公式法
1）把 德尔塔=b²-4ac 叫做一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的判别式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b²-4ac的值（若b²-4ac<0，方程无实数根，b²-4ac>0 方程有两个不相等的实根，b²-4ac=0时方程有两个等根 ）；
③在b²-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b²-4ac≥0．
求根公式：

利用一元二次方程根的判别式（△=b-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△<0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
根与系数的关系：
利用一元二次方程根的判别式（△=b-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△<0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
特殊解法
开平方法，因式分解法（包括十字相乘法，双十字相乘法，拆项和添减项法等）
因式分解法：
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
　　因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
　　因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
　　（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
　　①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

数学一元二次方程的解法

答：一元二次方程有四种解法：
解法一：开平方法
解法二： 配方法
解法三： 求根公式法
解法四： 因式分解法（或十字相乘法）

上述四种解法的具体方法、相互联系、适用范围如下：

解法一：开平方法
适用范围：缺一次项的一元二次方程
如下列方程， 都可用开平方法求解：
（1）3x²-75=0 （2） 5y²-10=0
（3） （x-2)²-3=0

若把一元二次方程的常数项移到方程的右边，
再把左边配成一个完全平方式，使其成为缺一次项的一元二次方程，
就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解了，
这种解一元二次方程的方法叫 配方法。

解法二： 配方法
方法：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解.
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．

问题：设a≠0，a,b,c 都是已知数，并且
b²-4ac≥0，试用配方法解方程：
ax²+bx+c = 0.
由问题的解答（略）可得

解法三：
求根公式法
一元二次方程ax²+bx+c=0( a≠0)的
求根公式 ：
x=[-b±√（b²-4ac)]/2a （b²-4ac≥0）
一般步骤：
（1）先把方程化为一般形式
（2）确定a,b,c
（3）判定△=b²-4ac的值
（4）代入求根公式

解法四：
因式分解法（或十字相乘法）
特点与条件：在一元二次方程的一边是0， 而另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法来解。

例如：解方程：x²=3x
解：移项，得x²-3x=0
将方程左边分解因式，得x(x-3)=0
∴x=0 或x-3=0
∴原方程的解为：x1=0 ， x2=-3
（这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。）

又如下列方程，都可用因式分解法（或十字相乘法）来解：
（1） x²-3x-10=0
（2） （x+3）·（x-1）=5

其实还有十字相乘法,和因式分解法差不多,也是针对一些特殊的方程,初中一般很少用甚至不用,高中的话可以帮你减少很多时间,不过就是有点难凑,做多了会很快看出来的,如方程:2x^2-3x-2=0,则二次项系数2可以看成2x1,常数项-2可以看成1x(-2),十字相乘,相加正好等于一次项系数-3(这些步骤在草稿纸上做就行),所以原方程就是(2x加1)(x-2)=0,所以x1=-1/2,x2=2

数学一元二次方程的解法主要是配方法

---

东坡区15167625447： 一元二次方程的解法,需要详细的 - ？
空唯小儿： 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解法:1、直接开平方法; 2、配方法; 3、公式法; 4、因式分解法. 1、直接开平方法: 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方...

东坡区15167625447： 解一元二次方程的几种方法分别是什么(用简单清晰的文字表达,最好是通俗易懂的) - ？
空唯小儿： 一元二次方程常用的有4种解法: 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、十字相乘法.直接开平方法: 形如x²=p或(nx+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程.配方法的理论依据是完全平方公式a²+b²...

东坡区15167625447： 一元二次方程解法,举几个例子要过程 - ？
空唯小儿：[答案] 一元二次方程有四种解法: 1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法. 1、直接开平方法: 例.解方程(3x+1)^2;=7 (3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7(注意不要丢解符号) ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3 2.配方法: 例.用配方法解方程 ...

东坡区15167625447： 解一元二次式的各种方法 - ？
空唯小儿： 解一元二次方程一般有以下四种方法:直接开平方法,因式分解法,配方法,求根公式法.(1)当方程形如(x-a)2=b(b≥0)时,可用直接开平方法; 把方程变形:左边是一个含有x的式子的完全平方,而右边是一个非负数. 1:先移项:含有...

东坡区15167625447： 一元二次方程的解法有哪些? - ？
空唯小儿： 一元二次方程有四种解法,它们分别是直接开平方法,配方法,公式法和因式分解法.一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0).其中ax²叫作二次项,a是二次项系数;bx叫作一次项,b是一次项系数;c叫作常数项.只含有...

东坡区15167625447： 一元二次方程的解法公式(三个) - ？
空唯小儿：[答案] 一般来说,一元二次方程的解法有:(注:以下 ^ 是平方的意思.) 一、直接开平方法.如:x^2-4=0 x^2=4 x=±2(因为x是4的平方根) ∴x1=2,x2=-2 二、配方法.如:x^2-4x+3=0 x^2-4x=-3 配方,得(配一次项系数一半的平方) x^2-2*2*x+2^2=-3+2^2...

东坡区15167625447： 解一元二次方程的3种方法是什么?详细的.. - ？
空唯小儿： 一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法.

东坡区15167625447： 一元二次方程的几种解法 和因式分解的几种方法 - ？
空唯小儿：[答案] 一元二次方程的解法有:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法. 因式分解的几种方法:提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法、拆项和添项法、待定系数法、双十字相乘法、轮换对称法等.

东坡区15167625447： 一元二次方程的解法有哪几种 - ？
空唯小儿：[答案] 五种.十字相乘法 、提取公因式法、公式法、因式分解法,其实这几种都是代数方法,还有一种图象法,利用二次函数图象来解一元二次方程.

东坡区15167625447： 一元二次方程的解题技巧 - ？
空唯小儿：[答案] 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法.1、直接开平方法:直接开平方法就是用直接开平方求解一元二...