证明:若任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在0连续,则函数f(x)在R连续,且f(x)=ax,其中a=f(1)是常数
显然f(0)=0.
由f(x+y)-f(x)=f(y)-f(0)以及f在0点的连续性知f在任意一点x连续。
令a=f(1)。归纳可得f(nx)=nf(x)，n为整数。
于是f(n)=an, f(1/n)=a/n，令x=1/m得f(n/m)=an/m。
从而f(x)=ax对有理数成立，由连续性知对任意x∈R成立。
（1）令x=y=0，则有f（0）=2f（0）⇒f（0）=0．
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
2)由(1)知（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（3）任取x1＜x2，则x2-x1＞0．⇒f（x2-x1）＜0．
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）=-f（x2-x1）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴y=f（x）在R上为减函数．
f(x²-1)+f(x)=f(x²+x-1)>f(-1)=-f(1)=2
x²-1+x<-1. -1<x<0
对n用数学归纳法.
在条件中代入x = y = 0可得f(0) = 0, 即n = 0时结论成立.
假设n = k时结论成立, 取y = kx, 由条件得:
f((k+1)x) = f(x)+f(kx) = f(x)+kf(x) = (k+1)f(x), 即n = k+1时结论也成立.
由数学归纳法原理, 结论对任意自然数n成立.
而当n为负整数, 由0 = f(0) = f(nx)+f(-nx) = f(nx)-nf(x)得f(nx) = nf(x), 结论同样成立.
因此对任意整数n与实数x, 有f(nx) = nf(x).
当x为有理数, 可设x = m/n, 其中m, n为整数.
于是nf(x) = f(nx) = f(m) = mf(1) = am, 得f(x) = am/n = ax.
即f(x) = ax对任意有理数成立.
如果证明了f(x)的连续性, 则对任意实数x, 取有理数数列{x[n]}收敛到x,
可得f(x) = lim{n → ∞} f(x[n]) = lim{n → ∞} ax[n] = ax, 即得结论.
因此只需证明f(x)的连续性.
f(x)在0连续, 即lim{x → 0} f(x) = f(0) = 0,
也即对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使得|x| < δ时成立|f(x)| < ε.
于是对任意实数x0, 当|x-x0| < δ时成立|f(x)-f(x0)| = |f(x-x0)| < ε.
即得lim{x → x0} f(x) = f(x0), f(x)在x0处连续.
由x0的任意性, f(x)在R上连续.
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证明：①证明充分性：若R·S=S·R，则R · S具有对称性。对于任意的x，y∈A，若(x，y)∈R · S，则存在a∈A，满足(x，a)∈R，(a，y)∈S，又R，S具有对称性，所以有(y，a)∈S，(a，x)∈R，所以(y，x)∈S · R，又S · R=R · S，故(y，x)∈R · S，因此R · S...
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（1）令x=y=1，则f（1）=2f（1），∴f（1）=0（2）证明：令y= 1 x ，则f（1）=f（x）+f（ 1 x ），∴ f( 1 x )=-f(x) （3）证明：设任意x，y∈R + ，且x＜y， y x =a＞1则f（x）-f（y）=f（x）-f（x?a）=f（x）...
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∵义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0；令y=-x，f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），∴函数f（x）为R上的奇函数；∵x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，∴当-3≤x 1 ＜x 2 ≤...
连续函数f(x)满足:对于任何x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)⋅f(y)成立,且...
首先要准备几个预备定理，先证明函数方程f（x+y）=f（x）+f（y）所确定的连续解为f（x）=xf(1)，这个是容易的，先证明有理数处满足上述结果，再由连续性可得在无理数处也满足结论，值得指出的是，在证明过程中很容易发现，函数方程f（x+y）=f（x）+f（y）所确定的解或者处处连续，或者...
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由题意知:设x2＞x1，所以x2-x1＞0，所以f(x2-x1)＝f(x2)-f(x1)＞0，所以f(x2)＞f(x1)又因为x2＞x1，所以f(x)为定义域上的增函数，因为f(1)＝2，所以f(2)＝f(1)+f(1)＝4，f(3)＝f(1)+f(2)＝6，因为对于任意x∈[-3,3]都有f(x)≤a成立，所以a≥[f(x)的最大...
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商耐甲苯： 证明:在R上任取x1,x2,设x1∵ f(x)+f(y)=f(x+y) 令x=x1, x+y=x2,则y=x2-x1 ∴ f(x1)+f(x2-x1)=f(x2) 即 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1) ∵ x2-x1>0,∴ f(x2-x1)<0 ∴ f(x2)-f(x1)<0 即 f(x2)∵ x1∴ f(x)是R上的减函数.
安远县13763141032： 设定义在R上的函数f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)*f(y),且当x>0时,恒有f(x)>1.证明: - ？
商耐甲苯： 证明:1) 令x=1,y=0则有 f(x+y)=f(1+0)=f(1)*f(0)=f(1)∵当x>0时,00∴f(0)=12)当x>0时,00.当x=0时f(0)=1>0 当xf(x+y)=f(x-x)=f(x)*f(-x)=f(0)=1∴f(x)=1/f(-x) ∵x0∴f(-x)>0∴f(x)=1/f(-x)>0 综上所述:当x∈R,恒有f(x)>0.3)当x>0 y>0时xf(x+y)=f(x)*f(y) f(x)=...
安远县13763141032： 若函数y=f(x)对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y) - ？
商耐甲苯： 1. ∵函数y=f(x)对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y) 那么取x=y=0,有f(0)=f(0)+f(0) 即f(0)=0 再取y=-x,有f(x+y)=f(x-x)=f(0)=f(x)+f(-x)=0 即f(-x)=-f(x) ∴函数y=f(x)为奇函数.2. 任取0<x1<x2 又因为函数y=f(x)为奇函数,那么有f(-x)=-f(x) 那么f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1...
安远县13763141032： 求证一个数学问题已知函数f(x)对任意x,y∈R 恒有f(x)+f(y)=f(x+y)+2 当x>0时 f(x)>2 f(3)=5能否证明f(x)=x+2不能也说下原因谢谢 - ？
商耐甲苯：[答案] 不能,举个反例:x≠3时,f(x)=2x+2;x=3时,f(x)=5
安远县13763141032： 定义在R上的增函数y=f(x),对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求f(0);(2)判断f(x)的奇偶性并给予证明;(3)若f(k3x)+f(3x - 9x - 2)<0,对任意的x∈R恒成立... - ？
商耐甲苯：[答案] (1)令y=x=0得 f(0)=2f(0) ∴f(0)=0 (2)f(x)为奇函数,理由如下: 令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x) 故f(-x)=-f(x) 又函数的定义域为R ∴f(x)为... <0 ∴若f(k3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2) 又函数f(x)是R上的增函数 ∴k3x<-3x+9x+2 即(3x)2-(k+1)3x+2>0 令t=3x,则t>0 故...
安远县13763141032： 已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)= - 2/3. - ？
商耐甲苯： 1)求证:f(x)是奇函数,(2)f(x)在R上是减函数,(3)求函数f(x)在区间【-3,3】上的最大和最小值.已知f(x+y)=f(x)+f(y)∴令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x) 所以奇函数 第二问设存在x1,x2∈R且x2...
安远县13763141032： 证明:若任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在0连续,则函数f(x)在R连续,且f(x)=ax,其中a=f(1)是常数 - ？
商耐甲苯： 显然f(0)=0.由f(x+y)-f(x)=f(y)-f(0)以及f在0点的连续性知f在任意一点x连续.令a=f(1).归纳可得f(nx)=nf(x),n为整数.于是f(n)=an, f(1/n)=a/n,令x=1/m得f(n/m)=an/m.从而f(x)=ax对有理数成立,由连续性知对任意x∈R成立.
安远县13763141032： 定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),求证:f(x)为奇函数. - ？
商耐甲苯：[答案] 证明:令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y)式, 得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令y=-x,代入f(x+y)=f(x)+f(y), 得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x). 即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立, 所以f(x)是奇函数.
安远县13763141032： 设函数f(x)对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=2. (1)证明:f(x)为奇函数; (2)证明f(x)在R上为减函数;？
商耐甲苯： 1.令x=y=0 所以f(0+0)=f(0)+f(0) 所以f(0)=2f(0) f(0)=0 令y=-x, f(x)+f(-x)=f(0)=0所以f(x)=-f(-x) 所以f(x)是奇函数 2.令x2>x1 ;x1,x2是实数 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1) 因为x2>x1 所以x2-x1>0 又因为x>0时,f(x)
安远县13763141032： 已知函数F(X)对于任意X,Y∈R,总有F(X)+F(y)=F(X+Y),且当X>0时,F(x)<0,F(1)= - 3/2 求证F(X)在R上是减函数 - ？
商耐甲苯： 任意X1,x2∈R,x1则x2-x1>0 f(x2)-f(x1)=f(x2+x1-x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-f(x1) =f(x2-x1) ∵当X>0时,F(x)<0 而x2-x1>0 ∴f(x2-x1)∴f(x2)∴F(X)在R上是减函数
