如何证明欧氏空间中同构映射的传递性？
线性空间同构就是保持线性空间的构造，
就是说 f: V o W 是一个同构当且仅当
(1) f 是一个双射，(2) f(v+w) = f(v) +f(w)，(3) f(av) = a f(v)
把上面的三个条件一套进去，
都是显然的
设V是一个欧氏空间(n维实内积空间),f:v->v是一个映射. 如果对任意的a然后就利用这一性质来证明线性性。只需验证： (f(kx)-kf(x),f(kx)-kf
设两个同构映射，一个是v到v'的同构映射f，另一个是v'到v''的同构映射g。然后证明传递性也就是证明gf是v到v''的同构映射。首先证明双射：因为f(v)=v',g(v')=v'',所以g(f(v))=v'',满足满射；因为v里不同的元素在v'下的像也不同，而v'里不同的元素在v''下的像也不同，所以v里不同的元素在v''下的像也一定不同，满足单射。综上满足双射。
然后证明保持加法和数乘：设a，b属于v，则g(f(a+b))=g(f(a)+f(b))=g(f(a))+g(f(b))，保持加法；设k为常数，g(f(ka))=g(kf(a))=kg(f(a))，保持数乘。
最后证明保持内积：(g(f(a)),g(f(b)))=(f(a),f(b))=(a,b)，保持内积。
所以gf是v到v''的同构映射，所以同构映射满足传递性。
两个同构映射的乘积也是同构映射；
同构映射的逆映射也是同构映射。
同构作为欧式空间的关系满足：
自反性、对称性（同构变换的逆映射还是同构映射）、传递性（两个同构映射的乘积是同构映射）
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