为什么三角形的重心到三角形3个顶点距离的平方和最小？

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三角形的重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。这是三角形重心的一个性质，证明如下：

设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x0，y0） 则该点到三顶点距离平方和为：

(x1-x0)^2+(y1-y0)^2+(x2-x0)^2+(y2-y0)^2+(x3-x0)^2+(y3-y0)^2

=3x0^2-2x0(x1+x2+x3)+3y02-2y0(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2

=3[x0-1/3*(x1+x2+x3)]^2+3[y0-1/3*(y1+y2+y3)]^2+x12+x22+x32+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时

上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

最终得出结论，重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

扩展资料：

三角形重心的性质

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）

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常宁市19128999072： 重心定理的性质:重心到三角形3个顶点距离的平方和最小,为什么?我觉得是重心到三条边的距离的平方和最小 - ？
鲁律可达： 重心到三角形3个顶点距离的平方和最小,意思是说在三角形内任一点,连接这一点与三个顶点,则这一点到三个顶点的平方和最小的话,这一点是重心, 首先你明白这句话是说三角形一点到三个顶点的距离,然后是这些距离平方和的最小值,明白不?或者我这样说:在这三角形中找无数个点,连接着无数个点与三个顶点,那么重心是这无数个点中 到三角形3个顶点距离的平方和最小的点.而垂心是到三条边的距离的平方和最小的点, 它的意思是在这三角形中找无数个点,过着无数个点分别作三遍的垂线,那么垂心是这无数个点中 到三角形三边距离的平方和最小的点.

常宁市19128999072： 为什么三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等? - ？
鲁律可达：[答案] 重心到三个点距离相等,而且夹角都是一百二十度…当然相等了…

常宁市19128999072： 三角形重心坐标公式的几何理解? - ？
鲁律可达： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1. 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等. 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小. 三角形重心是三角形三边每一边的三条中线的交点.当几何体为匀质物体时,重心与该形中心重合. 在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数, 即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]; 空间直角坐标系——X坐标:(X1+X2+X3)/3,Y坐标:(Y1+Y2+Y3)/3,Z坐标:(Z1+Z2+Z3)/3 涉及燕尾定理和塞瓦尔定理

常宁市19128999072： 为什么三角形的重心是到三角形三顶点距离的平方和最小的点 - ？
鲁律可达： 设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为(x,y) 则该点到三顶点距离平方和为: (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3...

常宁市19128999072： 三角形的重心有什么性质? - ？
鲁律可达： 解答: 1)重心分中线成两段,它们的长度比为2:1. 2)三条中线将三角形分成六个小块,六个小块面积相等,也就是说重心和三顶点的连线,将三角形的面积三等分.[证明: 用等底等高的三角形面积相等.高2兜滓槐兜娜

常宁市19128999072： 为什么过三角形的重心做的底边平行线是底边的2/3 - ？
鲁律可达：[答案] 三角形的重心是三条中线的交点 三角形重心的特点 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等 3、重心到三角形3个顶点距离的和最小(等边三角形) 4、三角形内到三边距离之积最...

常宁市19128999072： 关于三角形重心的几个重要定理是什么 - ？
鲁律可达： 2,等积: 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.

常宁市19128999072： 为什么重心是三角形内到三边距离之积最大的点.我还想问问为什么重心到三角形3个顶点距离的平方和最小?还有两条中线的夹角与这个三角形的形状,边角... - ？
鲁律可达：[答案] 这个是数学问题. 你可以以重心为原点构造直角坐标系来证明(可以使BC平行于X轴),应该不难.两条中线的夹角也可以通过构造直角坐标系,通过斜率的转化得到. 若其他方法可能就是平行线分线段陈比例、斯坦沃特定理和三角正余弦定理了.

常宁市19128999072： 三角形的重心定理是什么?？
鲁律可达： 重心的性质:1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3.

常宁市19128999072： 三角形的重心定理 - ？
鲁律可达： 参考百度百科 http://baike.baidu.com/view/3274759.htm 三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单.(重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三...