一个线性代数题，请问，为什么说齐次线性方程组只有零解，就线性无关，有很多解，则线性相关，最好可以

齐次线性方程组只有零解就说明线性无关，为什么呀，想不通~

方程组的向量形式
x1a1+.....+xnan=0
只有零解恰好说明a1，.... ，an线性无关（定义）
即系数矩阵的列向量组线性无关

因为如果齐次方程组只有零解，说明r(A)=n，也就是方程系数构成的矩阵的秩是满秩。如果变为非齐次，当r(A)=r(A，b)=n时，方程组解是唯一的，但是如果r(b)不等于r(A，b)，方程组无解。
常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。
设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r。
扩展资料：
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若mr,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。
若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组。
参考资料来源：百度百科--齐次线性方程组

因为如果齐次方程组只有零解，说明r(A)=n（其中r（A）为矩阵A的秩），对应的非齐次方程组有如下两种情况：

1、当r(A)=r(A，b)=n时，说明非齐次方程组有解，且是唯一的。

2、当r(b)不等于r(A，b)时，非齐次方程组无解。

非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）。

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

1、对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

2、若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

简介：

线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。

“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。因此，线性代数在工程技术和国民经济的许多领域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。

如果进入科研领域，你就会发现，只要不是线性的东西，我们基本都不会！线性是人类少数可以研究得非常透彻的数学基础性框架。学好线性代数，你就掌握了绝大多数可解问题的钥匙。有了这把钥匙，再加上相应的知识补充，你就可以求解相应的问题。

前半段对，后半段不对
证明很简单，矩阵A乘以x，就相当于把矩阵的列向量乘以x各个分量后求和
A=(a1,a2,...,an), x=(x1,x2,...,xn)T
Ax= a1 x1 + a2x2 +...+anxn
如果Ax=0只有0解，这就是向量组(a1,a2,...,an)线性无关的定义，你查一下定义就可以看出完全满足

后半段不对是因为如果A的行数小于n时，Ax=0肯定有很多解，但是A的列向量依然线性相关

一组向量 x1,x2,x3,.xn,若存在一组不全为零的数 k1,k2,k3,.kn,使
k1x1+k2x2+k3x3+.+knxn=0
成立,称这组向量线性相关,否则称这组向量线性无关.
也就是说若使 k1x1+k2x2+k3x3+.+knxn=0,则只有k1=k2=k3=.=kn=0成立.那么这组向量线性无关.

简单分析一下即可，详情如图所示

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秦州区15912278066： 线性代数里面经常说到”齐次多项式”,到底”齐次”是什么意思? - ？
哈软白葡： 每一个单项式都是由幂次相等的项组成的

秦州区15912278066： 齐次线性方程组为什么要叫齐次? - ？
哈软白葡： 齐次线性方程组中的＂齐次＂表示各个未知数的次数是相同的.并不是你说的那个意思.

秦州区15912278066： 线性代数中＂平凡解＂的命名怎么来的? - ？
哈软白葡： 齐次线性方程组,齐次,就是说未知量的次数都是1,且方程中不含常数项(0除外). 平凡解,就是普通的,容易想到的解,尤指零解.因为零解必然是齐次线性方程组的一个解.

秦州区15912278066： 线性代数为什么齐次线性方程有非零解的充要条件是系数行列式不等于零? - ？
哈软白葡：[答案] 注:是系数行列式等于零. 因为齐次线性方程一定存在零解(齐次线性方程组为AX=0,其中A为矩阵) 而系数行列式不等于零那么线性方程必然只有1个解组(0). 所以对于齐次方程来说有非0解则系数行列式一定要等于零.

秦州区15912278066： 齐次的意思是什么? - ？
哈软白葡： 齐次是指代数式中所有的项都同次的. 右端的函数f(x,y)可以改为写为y/x的函数h(y/x),则称方程为齐次方程 例如:微分方程 可以分别改写成 所以它们是齐次方程,而微分方程 则不是齐次方程. 扩展资料:齐次”从词面上解释是“次数...

秦州区15912278066： 什么叫齐次线性方程? - ？
哈软白葡： 在代数方程,如y =2 x +7,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程.这种方程的函数图象为一条直线,所以称为线性方程. 在一个线性代数方程中,如果其常数项(即不含有未知数的项)为零,就称为齐次线性方程.

秦州区15912278066： 线性代数问题什么叫做齐次线性方程组的解空间 - ？
哈软白葡： 就是齐次线性方程组的基础解系,所生成的线性空间,实际上就是基础解系中的解向量的所有线性组合,构成的集合

秦州区15912278066： 请问什么叫齐次线性方程,怎样求解? - ？
哈软白葡： 如果一阶微分方程:dy/dx=f(x,y) 中的函数f(x,y)可写成y/x的函数,即 f(x,y)=φ(y/x),则称这个方程为齐次方程.

秦州区15912278066： 线性代数中,什么叫齐次线性方程组? - ？
哈软白葡： 齐次是指幂次方整齐可以写成矩阵形式可不可以写成矩阵形式

秦州区15912278066： 线性代数中的“齐次”是指什么? - ？
哈软白葡： 指N元一次方程组的常数项等于0