灌区地下水位变化驱动因子主成分分析

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影响灌区地下水动态的因素主要有地下水补给、排泄和径流的自然因素与人为因素，其中的自然因素包括气候、水文、地形、地貌、地质、士壤和植被等（蔡明科等，2011）。气候对地下水位变化的影响是起重要作用，气温影响降水形式和蒸发强度，降水和蒸发直接影响地下水的补给和排泄，尤其是对潜水更为突出。水文因素对地下水位变化的影响主要是在有水力联系的地表水体周围，其中河流的影响较大，河水渗漏补给地下水使得地下水位抬升，其影响程度随距离增大而减弱，影响的滞后时间随距离的增大而延长。地表植被为水分积聚和改善降水渗入补给地下水创造了有利条件，影响入渗补给时间的长短，可以增加地下水的补给量。灌区地下水开采和人工补给也使地下水水位发生变化，由于地下水开采量增加，人为因素对灌区的地下水系统的补、径、排条件的影响变得更加突出。

一、主成分分析数学模型

主成分概念首先是在1901年由Karl parson引进的，但当时仅用来讨论非随机变量。1933年Hotelling将其推广到随机变量。特别是近年来，随着计算机技术的发展，使得主成分分析得到广泛应用（鲍卫锋等，2007；麻荣永等，2008）。主成分分析采取一种数学降维的方法，寻找几个综合变量替代原有众多的变量，使这些综合变量能尽可能地表现原来变量的信息量，且彼此之间互不相关。这种把多个变量转换为少数几个互不相关的综合变量的统计分析方法即主成分分析或主分量分析（包和平等，2010；张体彬等，2012）。主成分分析常用的数学处理方法是将原来的变量做线性组合，作为新的综合变量，但是如果这种组合不加限制，那么可能有很多。如果将选取第一个线性组合，即第一个综合变量记为F₁，希望其尽可能多地反映原来的变量信息，用方差来测量其“信息”，即Var（F₁）越大，表示F₁包含的原来信息就越多。因此，在所有的线性组合中所选取方差最大的F₁，称F₁为第一主成分。若第一主成分F₁不足以代表p个变量原来的信息，再考虑选取F₂，即第二个线性组合，为了更有效地反映原来信息，F₁的已有信息就不要再出现在F₂中，用数学语言表达即要求Cov（F₁，F₂）＝0，称F₂为第二主成分，依此类推构造出第三，四，…，第p主成分。

对于一个样本资料，观测p个变量x1，x2，…，xp，n个样品的观测数据矩阵为

灌区农业节水对地下水空间分布影响及模拟

其中：

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主成分分析就是将p个观测变量综合成为p个新的变量（综合变量），即

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模型要求满足以下条件：①F_i，F_j互不相关（i≠j，i，j＝1，2，…，p）；②F₁的方差＞F₂的方差＞F₃的方差，依次类推；③

+

+…+

＝1 k＝1，2，…，p。其中F₁为第一主成分，F₂为第二主成分，依此类推，有第p个主成分。a_ij为主成分系数。

二、主成分分析计算步骤

第一步：对原始数据进行标准化处理。

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其中：

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第二步：计算样本相关系数矩阵。

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假定原始数据标准化后仍用X表示，则经标准化处理后数据的相关系数为

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第三步：用雅克比方法求相关系数矩阵R的特征值（λ_i1，λ_i2，…，λ_p）和相应的特征向量a_ip＝（a_i1，a_i2，…，a_ip），i＝1，2，…，p。

第四步：选择重要的主成分，并写出主成分表达式。

主成分分析可以得到p个主成分，但是各个主成分方差是递减的，包含的信息量也是递减的，实际分析时，一般不是选取p个主成分，而是根据各个主成分累计贡献率的大小选取前k个主成分，其贡献率是指某个主成分的方差占全部方差的比重，即某个特征值占全部特征值合计的比重。

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贡献率越大，说明该主成分所包含的原始变量信息越强。主成分个数k的选取，主要根据主成分的累积贡献率来决定，即一般要求累计贡献率达到85%以上，这样才能保证综合变量能包括原始变量的绝大多数信息。

第五步：计算主成分得分。

根据标准化的原始数据，按照各个样本，分别代入主成分表达式，可以得到各主成分下的各个样本的新数据，即为主成分得分。

三、地下水位变化驱动因子主成分分析

根据泾惠渠灌区多年地下水观测资料，选取年降水量（X₁）、年蒸发量（X₂）、渠首引水量（X₃）、年地下水开采量（X₄）、井渠灌水比例（X₅）、田间灌溉用水量（X₆）、灌溉水利用系数（X₇）、灌溉面积（X₈）作为主要影响因子，进行地下水位变化驱动因子主成分分析，各年的指标值见表4-20。

表4-20 泾惠渠灌区地下水变化驱动因子指标值 Table4-20 Groundwater changes driving factors index in Jinghui Canal Irrigation District

以8个因子的34年指标值构成8×34的矩阵，利用SPSS13.0软件进行主成分分析。其相关系数矩阵见表4-21，规格化的特征向量矩阵见表4-22，相关矩阵的特征值见表4-23。

表4-21 相关系数矩阵 Table4-21 Correlation coefficient matrix

表4-22 规格化的特征向量 Table4-22 Normalization characteristic vector

表4-23 相关矩阵的特征值 Table4-23 Eigenvalues of the correlation matrix

根据主成分分析原理，选取特征值累计贡献率＞80%，或者特征值＞1的主成分，结合专业背景进行解释。由表4-23 可知，前5个主成分所构成的信息量占总信息量的95.0168%，基本保留了原来的变量信息。

通过主成分的初始因子，对载荷矩阵做方差最大旋转进行因子分析，在方差极大旋转过程中，因子轴相互正交，始终保持初始解中因子间互不相关的特点。然而在实际研究中，斜交因子是普遍存在的现象，即互相影响的各种因素不太可能彼此毫无关系，地下水位变化的各种因素之间始终存在着错综复杂的联系。因此对这类问题的分析引入斜交因子解，即用相关因子对变量进行线性描述，使得到的新因子模型最大限度地反映实际问题。

从主成分法提取方差极大正交旋转因子载荷矩阵及斜交参考因子结构矩阵见表4-24和表4-25，可以得出5个主分量表达式：

F₁＝0.0065x₁-0.0559x₂+0.9115x₃+0.214x₄-0.840 x₅+0.9149x₆-0.0894x₇+0.9044x₈

F₂＝-0.1489 x₁+0.067 x₂+0.2023 x₃+0.9321 x₄+0.3498 x₅+0.2059 x₆-0.111 x₇+0.1914 x₈

F₃＝-0.0778 x₁+0.2575 x₂-0.3152 x₃-0.2026 x₄+0.1932 x₅-0.086 x₆+0.9528 x₇-0.0661 x₈

F₄＝0.9569 x₁-0.2051 x₂-0.0581 x₃-0.1659 x₄-0.0478 x₅-0.1741 x₆-0.0173 x₇+0.2267 x₈

F₅＝0.1907 x₁-0.9356 x₂-0.0228 x₃-0.0617 x₄-0.3202 x₅+0.0322 x₆-0.01295 x₇-0.0316 x₈

由表4-24和表4-25可以看出，第一主因子F₁在主要由渠首引水量X₃、井渠灌水比例X₅、田间灌溉用水量X₆、灌溉面积X₈这4个变量上有较大的负荷，第二主因子F₂在年地下水开采量X₄有较大载荷，第三主因子F₃在灌溉水利用系数X₇上有较大载荷，第四主因子F₄在年降水量X₁上有较大载荷，第五主因子 F₅在年蒸发量X₂上有较大载荷。

表4-24 方差极大正交旋转因子载荷矩阵 Table4-24 Variance biggest orthogonal rotating factor loading matrix

表4-25 斜交参考因子结构矩阵 Table4-25 Oblique reference factor structure matrix

其中第一主因子F₁在主要由渠首引水量X₃、井渠灌水比例X₅、田间灌溉用水量X₆、灌溉面积X₈这4个变量所决定，这4个变量反映的信息量占总体的46.8%，第二主因子F₂由年地下水开采量X₄所决定，第三主因子F₃由灌溉水利用系数X₇所决定，第四主因子F₄由年降水量X₁所决定，第五主因子F₅由年蒸发量X₂所决定。综上所述，基本可以认为，渠首引水量和田间灌溉用水量的减少、地下水开采量的增加是灌区地下水位下降变化驱动的主要因子，其次井渠灌水比例、灌溉水利用系数、降水量等因子也不同程度地影响地下水位变化。

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文圣区15851758845： 主成分分析和因子分析的异同及应用 - ？
伏盛西艾： 第一:两种的函数构成相反,因子分析在于发现潜在的影响因素,是可观测自变量之外潜在的因素,主成分则是自变量的系数聚合; 第二:因子分析给出zhidao的重要结果又两个,第一个是因子的命名,也就是潜在的因素,需要命名.第二个是每个因子所占的权重,附加的可以得到每个变量所占的权重.而主成分分析则主要是综合得分和得分的比较. 第三:如果仅从因子综合得分和主成分得分用于综合评价的话,没什么大地区别,计算出各自得分后进行大小排序,比较,就是结果了.

文圣区15851758845： 主成份分析和因子分析的区别 - ？
伏盛西艾： 因子分析与主成分分析的异同点: 都对原始数据进行标准化处理; 都消除了原始指标的相关性对综合评价所造成的信息重复的影响; 构造综合评价时所涉及的权数具有客观性; 在信息损失不大的前提下,减少了评价工作量 公共因子比主成分更容易被解释; 因子分析的评价结果没有主成分分析准确; 因子分析比主成分分析的计算工作量大主成分分析仅仅是变量变换,而因子分析需要构造因子模型. 主成分分析:原始变量的线性组合表示新的综合变量,即主成分; 因子分析:潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量.

文圣区15851758845： 主成分因子分析不通过,验证性因子分析能通过吗 - ？
伏盛西艾： 如果是使用验证性因子分析可直接操作,探索性因子分析也是.

文圣区15851758845： 主成分分析与因子分析的区别和联系 - ？
伏盛西艾： 以下是我自己通俗的理解哈. 主成分分析,就是多个变量综合起来反应一个指标,要把这个指标找出来. 因子分析就是其实潜在的有几个指标,而表现出来的是这几个指标随机组合作用出来的结果. 因子分析不好理解是吧,举个例子:给人做智力测验,得到了算数成绩,迷宫成绩,脑筋急转弯成绩等等.但这些成绩是由潜在的因子即这个人的记忆力、反应能力等等方面综合作用出来的.

文圣区15851758845： 主成分分析和正交实验分析的区别 - ？
伏盛西艾： 主成分分析法和层次分析法异同1.基于相关性分析的指标筛选原理 两个指标之间的相关系数,反映了两个指标之间的相关性.相关系数越大,两个指标反映的信息相关性就越高.而为了使评价指标体系简洁有效,就需要避免指标反映信息重复....

文圣区15851758845： 如何用spss做主成分分析和因子分析 - ？
伏盛西艾： 如何用SPSS软件进行主成分分析郭显光摘要文章指出《统计分析软件SPSS/PC+》中主成分分析举例中的一处错误,比较了主成分分析和因子分析的异同,进而指出用SPSS软件不能直接进行主成分分析.作者根据主成分分析和因子分析的关...

文圣区15851758845： 单因子指数法的主成分分析方法 - ？
伏盛西艾： 地理环境是多要素的复杂系统,在我们进行地理系统分析时,多变量问题是经常会遇到的.变量太多,无疑会增加分析问题的难度与复杂性,而且在许多实际问题中,多个变量之间是具有一定的相关关系的.因此,我们就会很自然地想到,能否...

文圣区15851758845： 如何找出某个因子对主成分的贡献度 - ？
伏盛西艾： 贡献度,是指主成分得分吗?如果是这样可以直接选择保存主成分得分即可.但一般没有这样进行的. 反倒是可以直接使用因子载荷系数值查看因子和分析项之间的相关关系情况.

文圣区15851758845： SPSS主成分分析时,是不是得到的方差百分比就是贡献率,累计百分比就是累计贡献率?? - ？
伏盛西艾： 得到的方差百分比就是贡献率,累计百分比就是累计贡献率,成分矩阵用来判定主成分. 贡献率指有效或有用成果数量与资源消耗及占用量之比,即产出量与投入量之比,或所得量与所费量之比.计算公式:贡献率(%)=贡献量(产出量,所...

文圣区15851758845： 主成分分析与因子分析有什么作用 - ？
伏盛西艾： 主成分分析和因子分析都是信息浓缩的方法,即将多个分析项信息浓缩成几个概括性指标. 因子分析在主成分基础上,多出一项旋转功能,该旋转目的即在于命名,更容易解释因子的含义.如果研究关注于指标与分析项的对应关系上,或是希望将得到的指标进行命名,SPSSAU建议使用因子分析. 主成分分析目的在于信息浓缩(但不太关注主成分与分析项对应关系),权重计算,以及综合得分计算.如希望进行排名比较,计算综合竞争力,可使用主成分分析. SPSSAU可直接使用这两种方法,支持自动保存因子得分及综合得分,不需要手动计算.