初中数学二次函数知识点总结
初中数学是迈向高等数学的重要一步。所以初中的数学的基础一定要打好,为了帮助同学们更好的学习知识点。下面是由我为大家整理的“初中数学二次函数知识点总结”,仅供参考,欢迎大家阅读。
初中数学二次函数知识点总结
I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A(x₁,0)和B(x₂,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为:P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
因此,研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).
3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时,y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
拓展阅读:初中数学学习方法
1、课前预习阅读。 预习课文时,要准备一张纸、一支笔,将课本中的关键词语、产生的疑问和需要思考的问题随手记下,对定义、公理、公式、法则等,可以在纸上进行简单的复述,推理。重点知识可在课本上批、划、圈、点。这样做,不但有助于理解课文,还能帮助我们在课堂上集中精力听讲,有重点地听讲。
2、课堂阅读。 预习时,我们只对所要学的教材内容有了一个大概的了解,不一定都已深透理解和消化吸收,因此有必要对预习时所做的标记和批注,结合老师的讲授,进一步阅读课文,从而掌握重点、关键,解决预习中的疑难问题。
3、课后复习阅读。 课后复习是课堂学习的延伸,既可解决在预习和课堂中仍然没有解决的问题,又能使知识系统化,加深和巩固对课堂学习内容的理解和记忆。一节课后,必须先阅读课本,然后再做作业,一个单元后,应全面阅读课本,对本单元的内容前后联系起来,进行综合概括,写出知识小结,进行查缺补漏。
二次函数的知识点
二次函数的表达式是f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。在这个多项式中,x是自变量,y是因变量,常数项是c,一次项系数是b,二次项系数是a。它的图像是一条主轴与y轴平行的抛物线。二次函数贯穿中学数学,我们从初中与二次函数初次接触,它将几何和代数有机结合,是中考重点内容,也是高中代数的奠基石。
数学二次函数考点有哪些
(2)知道常值函数;(3)知道函数的表示方法,知道符号的意义。考点8:用待定系数法求二次函数的解析式 (1)掌握求函数解析式的方法;(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法。注意求函数解析式的步骤:一设、二代、三列、四还原。考点9:画二次函数的图像 (1)知道函数图像的意义,会在平面直角坐标系...
初中数学--二次函数的三个表达式以及对应图像上点
在初中数学的精华课程中,二次函数是数与形结合的桥梁,它的三个表达形式——一般式、顶点式和两根式,犹如解析几何的三个视角,揭示了函数世界的奇妙。一、基本概念与特殊点 二次函数的三种常见表达形式如下:一般式:形如 ax^2 + bx + c,其中 a 决定开口方向和大小,b 影响对称轴位置,c 则...
二次函数知识点总结
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax^2+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称...
初三数学二次函数知识点?
初三数学中的二次函数是数学课程中的一个重要部分,它涉及到多项式函数,特别是二次多项式。以下是一些关键的二次函数知识点:定义:二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数,其中a \\neq 0。图像:二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。抛物线的开口方向由系数a的符号决定,如果a >...
初中二次函数知识点总结
作为九年级数学重难考点之一,二次函数一直被很多同学头疼。下面我整理了初中二次函数知识点总结,希望能帮到你!一、定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还...
[急]初中数学二次函数知识点有哪些
知识点1:二次函数的定义 一般地,如果,那么叫做的二次函数.[注意]⑴二次函数中,x,y都是变量,是常数,自变量x的取值范围是全体实数,b,c可以是任意实数,但是不为0的实数;⑵若,则变成,当时,是一次函数;当时,则为常数函数;⑶判断一个函数是否是二次函数必须满足三个条件:①函数关系式...
二次函数的初三数学知识点归纳
2.关于二次函数的几个概念:二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c叫二次函数在y轴上的截距,即二次函数图象必过(0,c)点.3. y=ax20)的特性:当y=ax2+bx+c (a0)中的.b=0且c=0时二次函数为y=...
数学中二次函数解析式和性质
我为大家整理了二次函数的数学知识点,大家跟随我一起来看一下吧。解析式形式 1.一般式:y=ax 2 +bx+c(a,b,c为常数,a≠0)。2.顶点式:y=a(x-h) 2 +k(a,h,k为常数,a≠0)。3.两根式:y=a(x-x 1 )(x-x 2 ),其中x 1 ,x 2 是抛物线与x轴的交点的横...
初中数学重要知识——二次函数
在初中数学中,理解二次函数是关键,它由公式[公式]定义,也可表示为顶点式和零点式:[公式] 顶点式:二次函数的顶点坐标是其对称轴与y轴的关系的核心,通常形式为(h,k),其中对称轴为x=h。h的正负决定了图像的移动方向:当h>0,图像向右或左移动;h<0,图像则向相反方向移动。零点式则涉及...
鲁蚂普司:[答案] 二次函数知识点 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如 ( 是常数, )的函数,叫做二次函数. 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 ,而 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数 的结构特征: ⑴ 等号左边是...
定南县18744515667: 九年级二次函数知识点总结及求根公式 - ?
鲁蚂普司:[答案] 二次函数 I.定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a0时,开口方向向上,a解析看不懂?免费查看同类题视频解析查看解答
定南县18744515667: [急]初中数学二次函数知识点有哪些? - ?
鲁蚂普司: 二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数.二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0).其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线.一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:一般式:1:y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数), 则称y为x的二次函数.顶点坐标(-b/2a,(4ac-b
定南县18744515667: 初三二次函数知识点总结 - ?
鲁蚂普司: 一次函数 一、定义与定义式: 自变量x和因变量y有如下关系: y=kx+b 则此时称y是x的一次函数.特别地,当b=0时,y是x的正比例函数. 即:y=kx (k为常数,k≠0)二、一次函数的性质: 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k 即:...
定南县18744515667: 初中二次函数有什么考点? - ?
鲁蚂普司:[答案] 二次函数求根,最大值/最小值 画图像,图像的平移 根据图像写函数式 如果难一点的 还有二次函数和一次函数相交图像求面积 不知道LZ具体要知道的考点是什么
定南县18744515667: 初中二次函数知识点回顾 - ?
鲁蚂普司:[答案] 二次函数 I.定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a0时,开口方向向上,a
定南县18744515667: 二次函数相关知识点全概括初三学二次函数,求相关知识点(不要例题)谢谢 - ?
鲁蚂普司:[答案] 二次函数 定义与定义表达式编辑本段一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数. 重要概念:(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a0时,函数在x= -b/...
定南县18744515667: 初中九年级二次函数知识点总结 - ?
鲁蚂普司: 二次函数 I.定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口...
定南县18744515667: 初三二次函数知识梳理.?
鲁蚂普司: 一般式Y=ax2+bx+c(a不等于0)a的作用,决定二次函数开口方向和开口大小b的作用,和a一起决定二次函数的对称轴c的作用,决定截距对称轴x=-b/2a顶点坐标[-b/2a,(4ac-b2)/4a]顶点式:y=a(x-k)2+h两根式:y=a(x-x1)(x-x2)知道二次函数的意义....
定南县18744515667: 初中二次函数的要点 - ?
鲁蚂普司: 二次函数 一般式:1:y=ax^2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数), 则称y为x的二次函数.顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) (若给出抛物线上两点及另一个条件,通常可设一般式) 2:顶点式:y=a(x-h)^2+k或y=a(x+m)^2+k (两个式子实质一样,但初...