中考数学动点问题

中考数学动点问题的解决方法~

　　解决动点问题的关键是“动中求静”。
　　所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题。
　　“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
　　从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
　　考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）
　　函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容。动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系。
　　考点二：动态几何型题目
　　点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。
　　动态几何特点－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
　　考点三：双动点问题
　　动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点中的热点，双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能力要求更高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.

今年中考的数学动点问题往往是几何图形和函数的结合，或是把几何图形放在平面直角坐标系里，求函数解析式的问题或是求面积问题。

动点问题

动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。
一、例题:
如图，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .
(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN‖PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 .
① 求S关于t的函数关系式；② (附加题) 求S的最大值。

解题思路：
第（1）问比较简单，就是一个静态问题当点P运动2秒时，AP=2 cm，
由∠A=60°，知AE=1，PE= .
∴ SΔAPE=
第（2）问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论.
P点从A→B→C一共用了12秒，走了12 cm，
Q 点从A→B用了8秒，B→C用了2秒，
所以t的取值范围是 0≤t≤10
不变量：P、Q 点走过的总路程都是12cm，P点的速度不变，所以AP始终为：t+2
若速度有变化，总路程 =变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度×变化点所用时间+变化后的速度×（t－变化点所用时间）.
如当8≤t≤10时，点Q所走的路程AQ=1×8+2（t－8）=2t-8
① 当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，
设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，
则AQ=t，AF= ，QF= ，AP=t+2，AG=1+ ，PG= .
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形，
其面积为（PG + QF）×AG÷2 S= .
当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动.
设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，
则AQ=t，AF= ，DF=4- （总量减部分量），
QF= ，AP=t+2，BP=t-6（总量减部分量），
CP=AC- AP=12-（t+2）=10-t（总量减部分量），
PG= ，而BD= ，
故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为
平行四边形的面积减去两个三角形面积S= .
当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动.
设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，
则AQ=2t-8，CQ= AC- AQ= 12-（2t-8）=20-2t，（难点）
QF=(20-2t) ，CP=10-t，PG= .
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S= .
②(附加题)当0≤t≤6时，S的最大值为 ；
当6≤t≤8时，S的最大值为 ；
当8≤t≤10时，S的最大值为 ；
所以当t=8时，S有最大值为 .

二、练习：
1.如图，正方形ABCD的边长为5cm，Rt△EFG中，∠G＝90°，FG＝4cm，EG＝3cm，且点B、F、C、G在直线 上，△EFG由F、C重合的位置开始，以1cm/秒的速度沿直线 按箭头所表示的方向作匀速直线运动．
（1）当△EFG运动时，求点E分别运动到CD上和AB上的时间；
（2）设x（秒）后，△EFG与正方形ABCD重合部分的面积为y（cm ），求y与x的函数关系式；
（3）在下面的直角坐标系中，画出0≤x≤2时（2）中函数的大致图象；如果以O为圆心的圆与该图象交于点P（x， ），与x轴交于点A、B（A在B的左侧），求∠PAB的度数．

2.已知，如图，在直角梯形COAB中，CB‖OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒，
（1）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出S的最大值
（2）动点P从出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标

3.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥AC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。
（1）P点的坐标为（ ， ）；（用含x的代数式表示）
（2）试求 ⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。
（3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。

4.如图，在 中， ， ， 厘米，质点P从A点出发沿线路 作匀速运动，质点Q从AC的中点D同时出发沿线路 作匀速运动逐步靠近质点P，设两质点P、Q的速度分别为1厘米/秒、 厘米/秒（ ），它们在 秒后于BC边上的某一点E相遇。（1）求出AC与BC的长度；（2）试问两质点相遇时所在的E点会是BC的中点吗？为什么？（3）若以D、E、C为顶点的三角形与△ABC相似，试分别求出 与 的值；

5.在三角形ABC中, .现有动点P从点A出发,沿射线AB向点B方向运动;动点Q从点C出发,沿射线CB也向点B方向运动.如果点P的速度是 /秒,点Q的速度是 /秒,它们同时出发,求:(1)几秒钟后,ΔPBQ的面积是ΔABC的面积的一半? (2)在第(1)问的前提下,P,Q两点之间的距离是多少?

6.如图,已知直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠A=90o，∠C=60o，AD=3cm，BC=9cm．⊙O1的圆心O1从点A开始沿A—D—C折线以1cm/s的速度向点C运动，⊙O2的圆心O2从点B开始沿BA边以 cm/s的速度向点A运动，如果⊙O1半径为2cm，⊙O2的半径为4cm，若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts
（1）请求出⊙O2与腰CD相切时t的值；
（2）在0s<t≤3s范围内，当t为何值时，⊙O1与⊙O2外切？

7.如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点），AC‖OB，OC⊥BC，AC，OB的长是关于x的方程x2－(k+2)x+5=0的两个根，且S△AOC：S△BOC=1：5。
（1）填空：0C=________，k=________；
（2）求经过O，C，B三点的抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O→B运动，点Q沿DC由D→C运动，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连结PM，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△PMB是直角三角形

连CD ，CD’，CD=CD’=1/2AB =1 ，故中点D的运动轨迹为以C为圆心，1/2AB=1 为半径的圆弧，
因∠ABC=60° AB=2 ，即 AC=√3 ，故A’C=AC-AA’=√3 -（√3-√2）=√2，
即∠A’B’C= 30° ，即 ∠DCD’=30°
所以中点D随之运动所经过的路程=2πR *30/360= 2π/12= π /6≈0.524 米

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佛坪县15362023964： 初中数学解决动点问题有几种方法? - ？
牢蓉安普：[答案] 初中数学的动点问题一般与图形的面积、图形的判定有关,属于一类比较综合的题目. 可以与方程、函数、不等式结合起来考查. 并且可以分为“单个动点”及“两个动点”的题型,不是几句话能解决的. 建议你提个具体的问题.

佛坪县15362023964： 动点问题的一般解决方法是什么? - ？
牢蓉安普：[答案] 初中数学的动点问题大致可以分为两种动点1.运动的动点:此类动点给出的有运动方向和运动速度,我们主要根据运动速度*时间=路程,来表示某些线段的长.根据动点的位置可以将线段分为走过的(根据速度*时间来进行表示)、剩下未走的(用动...

佛坪县15362023964： 初三数学动点问题方法是什么? - ？
牢蓉安普：[答案] 一 题目比较简单时 比如可以判断动点轨迹为圆或椭圆,则直接列出圆或椭圆等动点(含参数)等式. 二 题目稍有难度 首先,理解题意; 其次,将动点的坐标设为(x,y)(或别的形式),根据题意列等式; 最后,整理各等式,则大部分题目可以搞定...

佛坪县15362023964： 初中数学动点问题怎样解 - ？
牢蓉安普：[答案] 初中数学的动点问题大致可以分为两种动点1.运动的动点:此类动点给出的有运动方向和运动速度,我们主要根据运动速度*时间=路程,来表示某些线段的长.根据动点的位置可以将线段分为走过的(根据速度*时间来进行表示)...

佛坪县15362023964： 初二数学动点问题. - ？
牢蓉安普： 初二动点没怎么接触,初三的动点类型比较全 1.利用图形想到三角形全等,相似及三角函数 2.分析题目,了解有几个动点,动点的路程,速度(动点怎么动) 3.结合图形和题目,得出已知或能间接求出的数据 4.分情况讨论,把每种可能情况列出来,不要漏 5.动点一般在中考都是压轴题(至少河北是这样),步骤不重要,重要的是思路 6.动点类题目一般都有好几问,前一问大都是后一问的提示,就像几何探究类题一样,如果后面的题难了,可以反过去看看前面问题的结论 就这些吧,中考前老师都讲过,现在都忘差不多了,想起来再补充吧

佛坪县15362023964： 初三数学动点问题求几道初三以二次函数为载体的动点问题(最好是中考大题里的.要有答案和图) - ？
牢蓉安普：[答案] 如图,点P从O点出发,以每秒一个单位的速度沿X轴正方向移动,过P作X轴的垂线与y=1/2x交于点A,以PA为一边向右作正方形PABC,当P点运动4秒的时候,点Q从P出发,沿PA-AB-BC运动,速度是每秒2个单位,当Q与C重合时,P、...

佛坪县15362023964： 关于数学的动点问题的典型例题以及解析 - ？
牢蓉安普：[答案] 动点题,那种基本图形是四边形的,在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等等中所出现的动点问题.另一种可能是抛物线与动点相结合的,你可以看其他省市的中考题,象天利38套等带答案的那种,自己看几道同类型的答案...

佛坪县15362023964： 初中数学动点问题详解.怎么解动点问题 ,还有t到底是什么啊. - ？
牢蓉安普：[答案] 关于动点问题的总结 “动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静 关键:动中求静. 数学思想:分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 一、建...

佛坪县15362023964： 2010年中考数学动点题目固定解题思路+题目答案 - ？
牢蓉安普： 1.(2004安徽芜湖)如图①,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知:A(-2,-6),C(1,-3)(1) 求证:E点在y轴上;(2) 如果有一抛物线经过A,E,C三点,求此抛物线方程.(3) 如果AB位置不变,再将...

佛坪县15362023964： 初中动点问题的解题方法 - ？
牢蓉安普：[答案] 初中动点问题解题时要注意分类讨论. 根据点的运动情况,正确画出图形,思考时可以多画几张草图. 注意数形结合、分类讨论等数学思想的应用. 如果本题有什么不明白可以追问,如果满意请点击“选为满意答案” 如果有其他问题请采纳本题后另发...