(2014?龙岩)如图,我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形.(1)若四边形AB

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我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形. 如图, E、F、G、H分别是四边形ABCD各~

(1)连接AC、BD,因为H、G,分别为AD、DC的中点,所以HG∥AC,同理EF∥AC,所以HG∥EF;同理可知HE∥GF.于是四边形EFGH是平行四边形.(2)①由于对角线相等,因为H,G,分别为AD、DC的中点,所以HG= AC,同理EF= AC,所以HG=EF;同理可知HE= BD,GF= BD.又因为AC=BD所以HE=EF=FG=GH.又因为是四边形EFGH是平行四边形.所以四边形EFGH为菱形.②由于四边形EFGH是平行四边形.当AC⊥BD时,HE⊥EF,故四边形EFGH为矩形;③由于四边形EFGH是平行四边形.当AC⊥BD时,HE⊥EF,故四边形EFGH为矩形;AC=BD时,四边形EFGH为正方形. 先根据中位线定理证明:顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形;顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形;顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形;顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得四边形是正方形.

已知:如右图,四边形EFGH是矩形,且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,求证:四边形ABCD是对角线垂直的四边形.证明:由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,根据三角形中位线定理得:EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG;∵四边形EFGH是矩形,即EF⊥FG,∴AC⊥BD,故若一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形,则四边形ABCD一定是对角线互相垂直的四边形.故选:D.

解:(1)如图1,连接AC、BD.
∵E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点,
∴EH∥BD∥FG,EF∥AC∥HG,EH=FG=
1
2
BD,EF=HG=
1
2
AC,
∴四边形EFGH为平行四边形,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴EF⊥FG,
∴?EFGH是矩形;
故选:B.

(2)如图2,设AC与EH、FG分别交于点N、P,BD与EF、HG分别交于点K、Q,
∵E是AB的中点,EF∥AC,EH∥BD,
∴△EBK∽△ABM,△AEN∽△EBK,
S△EBK
S△ABM
=
1
4
,S△AEN=S△EBK
S四边形EKMN
S△ABM
=
1
2
,同理可得
S四边形KFPM
S△BCM
=
1
2
S四边形QGPM
S△DCM
=
1
2
S四边形HQMN
S△DAM
=
1
2

S四边形EFGH
S四边形ABCD
=
1
2

∴四边形ABCD的面积为S1,中点四边形EFGH的面积记为S2,则S1与S2的数量关系是S1=2S2

(3)如图3,四边形NEHM是平行四边形;
△MAH≌△GDH,△NAE≌△FBE,△CFG≌△ANM.


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